Introdução à Circuitos CA

Resumo Completo

Funções Senoidais

Agora, nosso estudo é de circuitos alimentados por fontes de tensão ou corrente alternadas. Ou seja, fontes em que a tensão ou corrente variam com o tempo. Mais especificamente, estamos interessados em fontes que possuam sinais senoidais.

Por exemplo, no circuito abaixo vamos considerar que a fonte de tensão é

v t = V m   s e n   ( ω t + ϕ )

Onde,

V m é a amplitude da senóide;

ω é a frequência angular e tem a seguinte relação com a frequência f da senóide:

ω = 2 π f ;

ϕ é a fase.

Portanto, ela tem a seguinte forma de onda:

Como a função senoidal é periódica, ela apresenta um período T que é o tempo necessário para se completar um ciclo. Portanto,

T = 1 f

Então, para ver se estamos sabendo, vamos determinar a amplitude, fase, frequência e período da senóide abaixo:

v t = 4   c o s   ( 20 t + 60 ° )

Comparando com a expressão genérica que vimos

v t = V m   s e n   ( ω t + ϕ )

Temos,

A amplitude é V m = 4   V ;

A fase é ϕ = 60 ° ;

A frequência angular é ω = 20   r a d / s ;

A frequência é

f = ω 2 π = 20 2 π = 3,183   H z ;

O período é

T = 1 f = 1 3,183 = 0,3142 s

Agora, vamos ver como cada elemento do circuito se comporta quando são alimentandos por fontes senoidas.

Circuito Puramente Resistivo

No circuito abaixo estamos aplicando no resistor uma fonte de tensão alternada da seguinte forma

v t = V m cos ( ω t + ϕ )

Aplicando a lei de Ohm encontraremos a corrente que circula pelo resistor,

i = v R

Logo,

i t = V m R cos ( ω t + ϕ )

Sendo, V m / R a amplitude da corrente, temos

i t = I m cos ( ω t + ϕ )

Neste circuito, observamos que tensão e corrente variam da mesma forma no tempo e não existe diferença de fase entre ambas. Ou seja, não há defasagem entre elas, já que apresentam a mesma fase ϕ .

Em circuitos CA, é apresentado um novo termo: a impedância ( Z ) .

Ela é medida em ohms ( ) e, em módulo, é dada pela razão entre os valores de amplitude da tensão ( V m ) e da corrente I m .

Z = V m I m = R

Portanto, neste caso, a impedância é simplesmente a resistência do circuito.

Circuito Puramente Capacitivo

Agora, vamos aplicar no capacitor a mesma tensão

v t = V m cos ( ω t + ϕ )

Sabemos que a relação de corrente no capacitor é

i = C d v d t

Logo, para encontrarmos a expressão para a corrente precisamos derivar a tensão v ( t ) .

i t = C d d t   V m cos ω t + ϕ

i t = - ω C V m   s e n   ω t + ϕ

Sendo, ω C V m a amplitude da corrente, temos

i t = - I m   s e n   ω t + ϕ

Relembrando as identidades trigonométricas, temos que

- s e n   ω t + ϕ = cos ( ω t + ϕ + 90 ° )

Logo, a expressão da corrente é

i t = I m cos ( ω t + ϕ + 90 ° )

Neste caso, a tensão e a corrente variam no tempo, mas estão fora de fase por um ângulo de 90 ° .

v t = V m cos ( ω t + ϕ )                           i t = I m cos ( ω t + ϕ + 90 ° )

Então, no circuito puramente capacitivo a corrente é adiantada em relação à tensão. Ou seja, o ponto de partida de i ocorre antes no tempo do que o ponto de partida de v , e o pico de máxima corrente ocorre antes da máxima tensão.

Esse adiantamento pode ser explicado pelo que estudamos sobre capacitor até aqui. Assim que o capacitor descarregado é ligado no circuito a corrente é máxima e a tensão é mínima, pois o capacitor está descarregado e a tensão em seus terminais não varia instantaneamente.

À medida que o tempo passa o capacitor vai se carregando e, consequentemente, a corrente vai diminuindo e a tensão aumentando. Até que o capacitor esteja completamente carregado, onde a corrente é zero e a tensão é máxima.

Vimos que a o módulo da impedância é dada pela razão entres os valores de amplitude da tensão ( V m ) e da corrente I m . No caso de capacitores a impedância tem um nome específico. Ela é chamada de reatância capacitiva ( X C ) .

X C = V m I m

Como,

I m = ω C V m

Temos que o módulo da reatância capacitiva é

X C = 1 ω C

Então, vamos supor que temos um circuito puramente capacitivo, com um capacitor de 0,1   F e queremos calcular a reatância capacitiva. Sabendo que a frequência do circuito é 60   H z .

Como,

ω = 2 π f = 2 π 60 = 377

Substituindo,

X C = 1 377 × 0,1 = 0,0265  

Circuito Puramente Indutivo

Agora, vamos aplicar no indutor a mesma tensão

v t = V m cos ( ω t + ϕ )

Sabemos que a corrente que circula pelo indutor pode ser calculada da seguinte forma:

i = 1 L v   d t

Logo, para encontrarmos a expressão para a corrente, precisamos integrar a tensão v ( t ) .

i t = 1 L V m cos ( ω t + ϕ )

i t = V m ω L   sen ( ω t + ϕ )

Sendo a amplitude da corrente

I m = V m ω L

Temos,

i t = I m sen ( ω t + ϕ )

Relembrando as identidades trigonométricas, temos que

s e n   ω t + ϕ = cos ( ω t + ϕ - 90 ° )

Logo, a expressão da corrente é

i t = I m cos ( ω t + ϕ - 90 ° )

Então, no indutor, assim como nos casos anteriores, a tensão e a corrente variam periodicamente no tempo. Mas, nesse caso a corrente é atrasada em relação à tensão por um ângulo de 90 ° .

v t = V m cos ( ω t + ϕ )                           i t = I m cos ( ω t + ϕ - 90 ° )

Isso pode ser explicado de maneira análoga ao que ocorre no capacitor. Como no indutor a corrente não varia instantaneamente, o pico de máxima tensão no indutor ocorre antes da máxima corrente e, portanto, a tensão está adiantada em relação à corrente.

Assim como no caso de capacitores, em indutores a impedância também tem um nome específico. Ela é chamada de reatância indutiva ( X L ) .

X L = V m I m

Como,

I m = V m ω L

Temos que o módulo da reatância indutiva é

X L = ω L

Agora é praticar! Vamos nessa!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Livro Sadiku, p.360, Problema 9.1

Dada a tensão senoidal v t = 50 cos 3 t + 10 °   V , determine:

a   a amplitude V m ;

( b ) o período T ;

( c ) a frequência f ;

( d ) v ( t ) em t = 10   m s .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Basicamente, temos que comparar

v t = 50 cos 3 t + 10 °

com a expressão genérica

v t = V m   c o s   ( ω t + ϕ )

e aplicar fórmulas.

Passo 2

Comparando, vemos de cara que a amplitude é

V m = 50   V

Passo 3

Podemos encontrar o período pela relação abaixo:

T = 2 π ω

Comparando as expressões vemos que ω = 3   r a d / s

Portanto,

T = 2 π 3 = 2,09   s

Passo 4

A frequência é o inverso do período. Logo,

f = 1 T

f = 1 2,09 = 0,47   H z

Passo 5

Para terminar, precisamos calcular v ( t ) , para quando t = 10   m s . Portanto,

v 0,01 = 50 cos 3 ( 0,01 ) + 10 °

Simplificando,

v 0,01 = 50 cos 0,03 + 10 °

Precisamos ter cuidado agora! Não podemos somar os argumentos que estão dentro dos parênteses, pois estão em unidades diferentes. Um está em radiano e o outro em graus.

Então, precisamos converter um desses ângulos antes de calcular o cosseno.

Passando 0,03   r a d para graus:

0,0 3 × 180 π = 1,72 °  

Passo 6

\Substituindo,

v 0,01 = 50 cos 1,72 ° + 10 °

v 0,01 = 50 cos 11,72 °

v 0,01 = 48,95   V

Resposta

a   V m = 50   V

b   T = 2,09   s

c   f = 0,47   H z

d   v 0,01 = 48,95   V

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Livro Sadiku, p.361, Problema 9.3

Expresse as seguintes funções na forma de cosseno:

a   10   s e n   ( ω t + 30 ° )

b - 9   s e n   ( 8 t )

c - 20   s e n   ( ω t + 45 ° )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para expressarmos as funções na forma de cosseno, precisamos relembrar de trigonometria e saber das seguintes relações:

-   s e n   ω t + ϕ = cos ( ω t + ϕ + 90 ° )

+   s e n   ω t + ϕ = cos ( ω t + ϕ - 90 ° )

É só lembrar que se o sinal que acompanha o seno for negativo, a gente soma 90 ° no argumento do ângulo. Enquanto que se o sinal que acompanha o seno for positivo a gente subtrai 90 ° .

Passo 2

Logo, aplicando a segunda relação em 10   s e n   ( ω t + 30 ° ) , temos:

10   s e n   ω t + 30 ° = 10   c o s   ( ω t + 30 ° - 90 ° )

Logo,

10   s e n   ω t + 30 ° = 10   c o s   ( ω t - 60 ° )

Passo 3

Para expressarmos - 9   s e n   ( 8 t ) em forma de cosseno, vamos utilizar a primeira relação. Então,

- 9   s e n   8 t = 9 cos ( 8 t + 90 ° )

Passo 4

Para terminar, temos que expressar - 20   s e n   ( ω t + 45 ° ) em forma de cosseno. Para isso, vamos utilizar a primeira relação:

- 20   s e n   ω t + 45 ° = 20 cos ω t + 45 ° + 90 °

Logo,

- 20   s e n   ω t + 45 ° = 20 cos ω t + 135 °

Resposta

a   10   c o s   ( ω t - 60 ° )

b   9 cos ( 8 t + 90 ° )

c   20 cos ω t + 135 °

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Livro Sadiku, p.361, Problema 9.5

Dado v 1 = 45   s e n   ω t + 30 °   V e v 2 = 50 cos ω t - 30 °   V , determine o ângulo de fase entre as duas senoides e indique qual delas está atrasada em relação à outra.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para a gente comparar v 1 e v 2 , precisamos que elas estejam expressas da mesma forma. Então, primeiramente, vamos expressar v 1 na forma de cosseno. Sabendo que:

s e n ω t + ϕ = cos ω t + ϕ - 90 °

Temos,

v 1 = 45   s e n   ω t + 30 ° = 45   c o s   ω t - 60 °

Que também podemos escrever assim:

v 1 = 45   c o s   ω t + 300 °

Passo 2

Para ajudar na visualização, vamos expressar v 2 com ângulo de fase positivo. Para isso, somamos 360 ° .

v 2 = 50 cos ω t - 30 ° + 360 °

v 2 = 50 cos ω t + 330 °

Passo 3

Agora, para determinar o ângulo de fase entre as tensões, basta subtrair as fases.

330 ° - 30 0 ° = 30 °

Como a fase de v 1 é menor do que a fase de v 2 , dizemos que v 1 está atrasada em relação a v 2 .

Resposta

O ângulo de fase entre as tensões é 30 ° e v 1 está atrasada em relação a v 2 .

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria

Calcular a reatância de um capacitor de 5   µ F nas frequências de 60   H z e 500   H z .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sabemos que a reatância capacitiva tem a seguinte fórmula:

X C = 1 ω C

Ou seja, ela só depende da frequência e do valor da capacitância.

Passo 2

Sabemos que

ω = 2 π f

Logo,

X C = 1 2 π f C

Passo 3

O enunciado nos disse que C = 5   µ F . Portando, quando a frequência é de 60   H z , temos:

X C = 1 2 π ( 60 ) ( 5 × 10 - 6 )

X C = 530,5  

Passo 4

Agora, vamos calcular a reatância capacitiva na frequência de 500   H z .

X C = 1 2 π ( 50 0 ) ( 5 × 10 - 6 )

X C = 63,7  

Resposta

f = 60   H z   X C = 530,5  

f = 50 0   H z   X C = 63,7  

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Calcular a reatância de uma bobina sabendo que ela tem 0,1   H de indutância e está sendo ligada a uma tensão de 127   V , 60   H z .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sabemos que a reatância indutiva tem a seguinte fórmula:

X L = ω L

Ou seja, ela só depende da frequência e do valor da indutância.

Passo 2

O enunciado nos disse que L = 0,1   H e f = 60   H z . Então, só precisamos calcular a frequência angular ω .

Como,

ω = 2 π f

Logo,

ω = 2 π 60 = 377   r a d / s

Passo 3

Portando, substituindo na fórmula, temos:

X L = 377 × 0,1

X L = 37,7  

Resposta

X L = 37,7  

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração própria

Em que frequência um capacitor de 5   µ F apresenta uma reatância de 100   ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vimos na teoria que a reatância capacitiva tem a seguinte fórmula:

X C = 1 ω C

Passo 2

O enunciado nos disse que C = 5   µ F e X C = 100   . Logo, isolando a frequência angular:

ω = 1 X c C

Portanto,

ω = 1 100 5 × 10 - 6 = 2000   r a d / s

Passo 3

Como a frequência tem a seguinte relação com a frequência angular,

ω = 2 π f

Temos,

f = ω 2 π

Logo,

f = 2000 2 π = 318,3   H z

Resposta

f = 318,3   H z

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Elaboração própria

Em que frequência uma indutância de 10   m H apresenta uma reatância de 200   ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vimos na teoria que a reatância indutiva tem a seguinte fórmula:

X L = ω L

Passo 2

O enunciado nos disse que L = 10   m H e X L = 200   . Logo, isolando a frequência angular:

ω = X L L

Portanto,

ω = 200 0,01 = 20000   r a d / s

Passo 3

Como a frequência tem a seguinte relação com a frequência angular,

ω = 2 π f

Temos,

f = ω 2 π

Logo,

f = 20000 2 π = 3183   H z

Resposta

f = 3183   H z

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