Leis de Kirchhoff para Corrente Alternada

Teoria Completa

A gente viu que as Leis de Kirchhoff é válida para corrente alternada. Agora, vamos ver na prática a sua utilização para análise de circuitos CA. Para isso, vamos utilizar as técnicas de análise nodal e análise de malhas que serão executadas de maneira igual a quando estudamos circuitos CC.

Análise Nodal

Lembrando que a lei das correntes de Kirchhoff (LCK) é a base da análise nodal. Vamos fazer um exemplo passo-a-passo desse método em um circuito CA.

Então, vamos começar! No circuito abaixo, queremos determinar a corrente i utilizando análise nodal.

Passo 1:

De cara, temos que passar o circuito para o domínio da frequência, ou seja, para forma fasorial. Passando cada elemento, temos:

10 cos ⁡ 2 t       →       1 0 ∠ 0 °   ,         ω = 2   r a d / s

2   H       →       j ω L = j 4

1   H       →       j ω L = j 2

0,2   F       →   -   j 1 ω C   = - j 2,5

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 2:

Agora, vamos preparar o circuito para utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó 1:

I 1 = I + I 2

Como,

I 1 = 10 ∠ 0 ° - V 1 5   ;

I = V 1 - j 2,5   ;

I 2 = V 1 - V 2 j 4   ;

Substituindo,

10 ∠ 0 ° - V 1 5 = V 1 - j 2,5 + V 1 - V 2 j 4

Lembrando que

1 j = - j

Temos:

2 - 0,2 V 1 = j 0,4 V 1 - j 0,25 V 1 + j 0,25 V 2

0,2 + j 0,15 V 1 + j 0,25 V 2 = 2

Agora, aplicando a LCK ao nó 2:

I 2 + 4 I = I 3

Como,

I 3 = V 2 j 2

Logo,

V 1 - V 2 j 4 + 4 V 1 - j 2,5 = V 2 j 2

Simplificando a equação,

- j 0,25 V 1 + j 0,25 V 2 + j 1,6 V 1 = - j 0,5 V 2

j 1,35 V 1 + 0,75 V 2 = 0

1,35 V 1 + 0,75 V 2 = 0

Chegamos a um sistema:

0,2 + j 0,15 V 1 + j 0,25 V 2 = 2 1,35 V 1 + 0,75 V 2 = 0

Isolando V 2 na segunda equação e substituindo na primeira, temos:

0,2 + j 0,15 V 1 + j 0,25 - 1,8 V 1 = 2

0,2 + j 0,15 V 1 - j 0,45 V 1 = 2

0,2 - j 0,3 V 1 = 2

Passando para fórmula polar:

0,2 - j 0,3       →       0,36 ∠ - 56,31 °

Portanto,

V 1 = 2 0,36 ∠ - 56,31 °

V 1 = 5,55 ∠ 56,31 °   V

Logo, a corrente será:

I = V 1 - j 2,5

I = 5,55 ∠ 56,31 °   2,5 ∠ - 90 ° = 2,22 ∠ 146,31 °   A

Passo 3:

Agora é só voltar para o domínio do tempo:

i t = 2,22 cos ⁡ 2 t + 146,31 °   A

Análise de Malha

Assim como a LCK é a base da análise nodal, a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) é a base para a análise de malha. Então, no circuito abaixo, vamos determinar a corrente i x utilizando análise de malha.

Passo 1:

Primeiro, temos que passar o circuito para o domínio da frequência. Passando cada elemento, temos:

5 cos ⁡ 4 t       →       5 ∠ 0 °   ,         ω = 4   r a d / s

20 cos ⁡ ( 4 t + 90 ° )       →       20 ∠ 90 °   ,         ω = 4   r a d / s

2   H       →       j ω L = j 8

0,5   F       →   -   j 1 ω C   = - j 0,5

0,25   F       →   -   j 1 ω C   = - j 1

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 2:

Agora, vamos preparar o circuito para utilizar a análise de malha:

Aplicando a LTK na malha 1:

10 I 1 + j 8 I 1 - I 3 + - j I 1 - I 2 = 0

10 I 1 + j 8 I 1 - j 8 I 3 - j I 1 + j I 2 = 0

Se analisarmos a malha 3, vemos que

I 3 = 5

Substituindo e simplificando, temos:

10 + j 7 I 1 + j I 2 = j 40

Agora, aplicando LTK na malha 2:

- j I 2 - I 1 + - j 0,5 I 2 - I 3 + 5 I 2 + 20 ∠ 90 ° = 0

- j I 2 + j I 1 - j 0,5 I 2 + j 0,5 I 3 + 5 I 2 = - j 20

Como I 3 = 5 , temos:

j I 1 + 5 - j 1,5 I 2 = - j 20 - j 2,5

Chegamos a um sistema:

10 + j 7 I 1 + j I 2 = j 40 j I 1 + 5 - j 1,5 I 2 = - j 22,5

Isolando I 1 na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

j j 40 - j I 2 10 + j 7 + 5 - j 1,5 I 2 = - j 22,5

Passando para forma polar:

1 ∠ 90 ° 40 ∠ 90 ° - I 2 ∠ 90 ° 12,2 ∠ 35 ° + 5,22 I 2 ∠ - 16,69 ° = 22,5 ∠ - 90 °

40 ∠ 180 �� 12,2 ∠ 35 ° - I 2 ∠ 180 ° 12,2 ∠ 35 ° + 5,22 I 2 ∠ - 16,69 ° = 22,5 ∠ - 90 °

3,28 ∠ 145 ° - 0,082 I 2 ∠ 145 ° + 5,22 I 2 ∠ - 16,69 ° = 22,5 ∠ - 90 °

I 2 5,22 ∠ - 16,69 ° - 0,082 ∠ 145 ° = 22,5 ∠ - 90 ° - ( 3,28 ∠ 145 ° )

Voltando para retangular:

I 2 5 - j 1,5 + 0,067 - j 0,047 = - j 22,5 + 2,68 - j 1,88

I 2 = 2,68 - j 24,38 5,067 - j 1,547  

Agora é passar para forma polar e efetuar a divisão:

I 2 = 24,53 ∠ - 83,72 ° 5,3 ∠ - 16,97 ° = 4,63 ∠ - 66,75 °   A

Como I x =   - I 2 , temos:

I x = -   4,63 ∠ - 66,75 ° = 4,63 ∠ 113,25 °   A

Passo 3:

Agora é só voltar para o domínio do tempo:

i x t = 4,63 cos ⁡ 4 t + 113,25 °   A

É isso! Missão cumprida!

Então, temos que seguir esses 3 passos para analisar o circuito em CA:

  1. Passar o circuito para o domínio da frequência;
  2. Resolver utilizando as técnicas que conhecemos (análise nodal, análise de malha, etc)
  3. Converter a resposta para o domínio do tempo.

Seguindo esses passos não tem erro! Separei exercícios para você fixar tudo isso. Agora é praticar.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.395, Problema 10.1

Determine i no circuito abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

De cara, temos que passar o circuito para o domínio da frequência, ou seja, para forma fasorial. Passando cada elemento, temos:

2 cos ⁡ 10 t       →       2 ∠ 0 °   ,         ω = 10   r a d / s