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Leis de Kirchhoff para Corrente Alternada

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Teoria

A gente viu que as Leis de Kirchhoff é válida para corrente alternada. Agora, vamos ver na prática a sua utilização para análise de circuitos CA. Para isso, vamos utilizar as técnicas de análise nodal e análise de malhas que serão executadas de maneira igual a quando estudamos circuitos CC.

Análise Nodal

Lembrando que a lei das correntes de Kirchhoff (LCK) é a base da análise nodal. Vamos fazer um exemplo passo-a-passo desse método em um circuito CA.

Então, vamos começar! No circuito abaixo, queremos determinar a corrente i utilizando análise nodal.

Passo 1:

De cara, temos que passar o circuito para o domínio da frequência, ou seja, para forma fasorial. Passando cada elemento, temos:

10 cos ⁡ 2 t       →       1 0 ∠ 0 °   ,         ω = 2   r a d / s

2   H       →       j ω L = j 4

1   H       →       j ω L = j 2

0,2   F       →   -   j 1 ω C   = - j 2,5

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 2:

Agora, vamos preparar o circuito para utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó 1:

I 1 = I + I 2

Como,

I 1 = 10 ∠ 0 ° - V 1 5   ;

I = V 1 - j 2,5   ;

I 2 = V 1 - V 2 j 4   ;

Substituindo,

10 ∠ 0 ° - V 1 5 = V 1 - j 2,5 + V 1 - V 2 j 4

Lembrando que

1 j = - j

Temos:

2 - 0,2 V 1 = j 0,4 V 1 - j 0,25 V 1 + j 0,25 V 2

0,2 + j 0,15 V 1 + j 0,25 V 2 = 2

Agora, aplicando a LCK ao nó 2:

I 2 + 4 I = I 3

Como,

I 3 = V 2 j 2

Logo,

V 1 - V 2 j 4 + 4 V 1 - j 2,5 = V 2 j 2

Simplificando a equação,

- j 0,25 V 1 + j 0,25 V 2 + j 1,6 V 1 = - j 0,5 V 2

j 1,35 V 1 + 0,75 V 2 = 0

1,35 V 1 + 0,75 V 2 = 0

Chegamos a um sistema:

0,2 + j 0,15 V 1 + j 0,25 V 2 = 2 1,35 V 1 + 0,75 V 2 = 0

Isolando V 2 na segunda equação e substituindo na primeira, temos:

0,2 + j 0,15 V 1 + j 0,25 - 1,8 V 1 = 2

0,2 + j 0,15 V 1 - j 0,45 V 1 = 2

0,2 - j 0,3 V 1 = 2

Passando para fórmula polar:

0,2 - j 0,3       →       0,36 ∠ - 56,31 °

Portanto,

V 1 = 2 0,36 ∠ - 56,31 °

V 1 = 5,55 ∠ 56,31 °   V

Logo, a corrente será:

I = V 1 - j 2,5

I = 5,55 ∠ 56,31 °   2,5 ∠ - 90 ° = 2,22 ∠ 146,31 °   A

Passo 3:

Agora é só voltar para o domínio do tempo:

i t = 2,22 cos ⁡ 2 t + 146,31 °   A

Análise de Malha

Assim como a LCK é a base da análise nodal, a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) é a base para a análise de malha. Então, no circuito abaixo, vamos determinar a corrente i x utilizando análise de malha.

Passo 1:

Primeiro, temos que passar o circuito para o domínio da frequência. Passando cada elemento, temos:

5 cos ⁡ 4 t       →       5 ∠ 0 °   ,         ω = 4   r a d / s

20 cos ⁡ ( 4 t + 90 ° )       →       20 ∠ 90 °   ,         ω = 4   r a d / s

2   H       →       j ω L = j 8

0,5   F       →   -   j 1 ω C   = - j 0,5

0,25   F       →   -   j 1 ω C   = - j 1

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 2:

Agora, vamos preparar o circuito para utilizar a análise de malha:

Aplicando a LTK na malha 1:

10 I 1 + j 8 I 1 - I 3 + - j I 1 - I 2 = 0

10 I 1 + j 8 I 1 - j 8 I 3 - j I 1 + j I 2 = 0

Se analisarmos a malha 3, vemos que

I 3 = 5

Substituindo e simplificando, temos:

10 + j 7 I 1 + j I 2 = j 40

Agora, aplicando LTK na malha 2:

- j I 2 - I 1 + - j 0,5 I 2 - I 3 + 5 I 2 + 20 ∠ 90 ° = 0

- j I 2 + j I 1 - j 0,5 I 2 + j 0,5 I 3 + 5 I 2 = - j 20

Como I 3 = 5 , temos:

j I 1 + 5 - j 1,5 I 2 = - j 20 - j 2,5

Chegamos a um sistema:

10 + j 7 I 1 + j I 2 = j 40 j I 1 + 5 - j 1,5 I 2 = - j 22,5

Isolando I 1 na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

j j 40 - j I 2 10 + j 7 + 5 - j 1,5 I 2 = - j 22,5

Passando para forma polar:

1 ∠ 90 ° 40 ∠ 90 ° - I 2 ∠ 90 ° 12,2 ∠ 35 ° + 5,22 I 2 ∠ - 16,69 ° = 22,5 ∠ - 90 °

40 ∠ 180 �� 12,2 ∠ 35 ° - I 2 ∠ 180 ° 12,2 ∠ 35 ° + 5,22 I 2 ∠ - 16,69 ° = 22,5 ∠ - 90 °

3,28 ∠ 145 ° - 0,082 I 2 ∠ 145 ° + 5,22 I 2 ∠ - 16,69 ° = 22,5 ∠ - 90 °

I 2 5,22 ∠ - 16,69 ° - 0,082 ∠ 145 ° = 22,5 ∠ - 90 ° - ( 3,28 ∠ 145 ° )

Voltando para retangular:

I 2 5 - j 1,5 + 0,067 - j 0,047 = - j 22,5 + 2,68 - j 1,88

I 2 = 2,68 - j 24,38 5,067 - j 1,547  

Agora é passar para forma polar e efetuar a divisão:

I 2 = 24,53 ∠ - 83,72 ° 5,3 ∠ - 16,97 ° = 4,63 ∠ - 66,75 °   A

Como I x =   - I 2 , temos:

I x = -   4,63 ∠ - 66,75 ° = 4,63 ∠ 113,25 °   A

Passo 3:

Agora é só voltar para o domínio do tempo:

i x t = 4,63 cos ⁡ 4 t + 113,25 °   A

É isso! Missão cumprida!

Então, temos que seguir esses 3 passos para analisar o circuito em CA:

  1. Passar o circuito para o domínio da frequência;
  2. Resolver utilizando as técnicas que conhecemos (análise nodal, análise de malha, etc)
  3. Converter a resposta para o domínio do tempo.

Seguindo esses passos não tem erro! Separei exercícios para você fixar tudo isso. Agora é praticar.

Análise de Malha

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.395, Problema 10.1

Determine i no circuito abaixo:

Passo 1

De cara, temos que passar o circuito para o domínio da frequência, ou seja, para forma fasorial. Passando cada elemento, temos:

2 cos ⁡ 10 t       →       2 ∠ 0 °   ,         ω = 10   r a d / s

1   H       →       j ω L = j 10

1   F       →   -   j 1 ω C   = - j 0,1

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 2

Agora, vamos preparar o circuito para utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó:

I = I 1 + I 2 + I 3

Como,

I = 2 ∠ 0 ° - V 1 1   ;

I 1 = V 1 - j 0,1   ;

I 2 = V 1 j 10   ;

I 3 = V 1 1

Substituindo,

2 ∠ 0 ° - V 1 1 = V 1 - j 0,1 + V 1 j 10 + V 1 1

Lembrando que

1 j = - j

Temos:

2 - V 1 = j 10 V 1 - j 0,1 V 1 + V 1

2 V 1 + j 9,9 V 1 = 2

2 + j 9,9 V 1 = 2

V 1 = 2 2 + j 9,9

Passando para fórmula polar:

2 + j 9,9       →       r = 2 2 + 9,9 2 = 10,1   ;         ϕ = tan - 1 ⁡ 9,9 2 = 78,58 °       →     1 0 , 1 ∠ 78,58 °

Portanto,

V 1 = 2 10,1 ∠ 78,58 °

V 1 = 0,198 ∠ - 78,58 °   V

Passo 3

Como,

I = 2 ∠ 0 ° - V 1 1

Substituindo,

I = 2 ∠ 0 ° - 0,198 ∠ - 78,58 ° 1

Passando para forma retangular:

0,198 ∠ - 78,58 °       →       0,198 cos ⁡ - 78,58 ° + j 0,198 sen ⁡ - 78,58 ° = 0,039 - j 0,194

Logo,

I = 2 - 0,039 - j 0,194

I = 1,961 + j 0,194   A

Passando a corrente para forma polar:

1,961 + j 0,194       →       r = 1,961 2 + 0,194 2 = 1,97   ;       ϕ = tan - 1 ⁡ 0,194 1,961 = 5,65 °

Portanto,

I = 1,97 ∠ 5,65 °   A

Passo 4

Agora é só voltar para o domínio do tempo:

i t = 1,97 cos ⁡ 10 t + 5,65 °   A

Resposta

i t = 1,97 cos ⁡ 10 t + 5,65 °   A

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, p.395, Problema 10.3

Determine v 0 no circuito abaixo:

Passo 1

Primeiro, temos que passar o circuito para o domínio da frequência, ou seja, para forma fasorial. Como o a fonte de tensão está expressa em seno, antes de passar para forma fasorial precisamos escrever em termos de cosseno:

16 sen ⁡ 4 t = 16 cos ⁡ ( 4 t - 90 ° )

Passando cada elemento, temos:

16 cos ⁡ ( 4 t - 90 ° )       →       16 ∠ - 90 °   ,         ω = 4   r a d / s  

2 cos ⁡ 4 t       →       2 ∠ 0 °   ,         ω = 4   r a d / s

2   H       →       j ω L = j 8

1   F       →   -   j 1 ω C   = - j 3

Logo, redesenhando o circuito e passando para o domínio da frequência, temos:

Passo 2

Agora, vamos preparar o circuito para utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó:

I 1 + 2 ∠ 0 ° = I 2 + I 3

Como,

I 1 = 16 ∠ - 90 ° - V 0 4 - j 3   ;

I 2 = V 0 1   ;

I 3 = V 0 6 + j 8

Substituindo,

16 ∠ - 90 ° - V 0 4 - j 3 + 2 ∠ 0 ° = V 0 1 + V 0 6 + j 8

16 ∠ - 90 ° 4 - j 3 + 2 ∠ 0 ° = V 0 1 + 1 6 + j 8 + 1 4 - j 3

Agora é só simplificar, para isso vamos precisar ficar passando os números complexos da forma polar para retangular e vice-versa.

16 ∠ - 90 ° 5 ∠ - 36,87 ° + 2 ∠ 0 ° = V 0 1 + 1 10 ∠ 53,13 ° + 1 5 ∠ - 36,87 °

3 , 2 ∠ - 53,13 ° + 2 ∠ 0 ° = V 0 1 + 0,1 ∠ - 53,13 ° + 0,2 ∠ 36,87 °

1,92 - j 2,56 + 2 = V 0 ( 1 + 0,06 - j 0,08 + 0,16 + j 0,12 )

V 0 = 3,92 - j 2,56 1,22 + j 0,04

V 0 = 4,68 ∠ - 33,15 ° 1,22 ∠ 1,88 °  

V 0 = 3,84 ∠ - 35,03 °     V

Passo 3

Agora é só voltar para o domínio do tempo:

v t = 3,84 cos ⁡ 4 t - 35,03 °   V

Resposta

v t = 3,84 cos ⁡ 4 t - 35,03 °   V

Exercício Resolvido #3

Livro Sadiku, p.395, Problema 10.7

Use a análise nodal para determinar V no circuito abaixo:

Passo 1

O circuito já está pronto para a gente trabalhar com fasores, pois já está no domínio da frequência. Além disso, precisamos determinar o fasor V . Logo, nosso resultado final não precisará ser escrito no domínio do tempo.

Passo 2

Agora, vamos preparar o circuito para utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó:

I 1 = 6 ∠ 30 ° + I 2 + I 3

Como,

I 1 = ( 120 ∠ - 15 ° ) - V 40 + j 20   ;

I 2 = V - j 30   ;

I 3 = V 50

Substituindo,

( 120 ∠ - 15 ° ) - V 40 + j 20 = 6 ∠ 30 ° + V - j 30 + V 50

( 120 ∠ - 15 ° ) 40 + j 20 - 6 ∠ 30 ° = V 40 + j 20 + V - j 30 + V 50

( 120 ∠ - 15 ° ) 40 + j 20 - 6 ∠ 30 ° = V 1 40 + j 20 + 1 - j 30 + 1 50

Passo 3

Agora é só simplificar, para isso vamos precisar ficar passando os números complexos da forma polar para retangular e vice-versa.

120 ∠ - 15 ° 44,72 ∠ 26,56 ° - 6 ∠ 30 ° = V 1 44,72 ∠ 26,56 ° + 1 30 ∠ - 90 ° + 1 50

2,68 ∠ - 41,56 ° - 6 ∠ 30 ° = V 0,022 ∠ - 26,56 ° + 0,033 ∠ 90 ° + 0,02

2 - j 1,78 - ( 5,2 + j 3 ) = V 0,0197 - j 0,0098 + j 0,033 + 0,02

- ( 3,2 + j 4,78 ) = V ( 0,0397 + j 0,0232 )

V = - 3,2 + j 4,78 0,0397 + j 0,0232

V = - 3,2 + j 4,78 0,0397 + j 0,0232

V = - 5,75 ∠ 56,2 ° 0,046 ∠ 30,3 °

V = - 5,75 ∠ 56,2 ° 0,046 ∠ 30,3 °

V = - 125 ∠ 25,9 °     V

Passo 4

Agora, para terminar, precisamos deixar o fasor com módulo positivo. Para isso, basta somar ou subtrair 180 ° ao ângulo. Nesse caso, vamos subtrair:

V = 125 ∠ - 154,1 °     V

Resposta

V = 125 ∠ - 154 , 1 °     V

Exercício Resolvido #4

Livro Sadiku, p.395, Problema 10.6

Determine V x no circuito abaixo:

Passo 1

O circuito já está pronto para a gente trabalhar com fasores, pois já está no domínio da frequência. Além disso, precisamos determinar o fasor. Logo, nosso resultado final não precisará ser escrito no domínio do tempo.

Passo 2

Agora, vamos preparar o circuito para utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó:

I 1 + 3 ∠ 0 ° = I 2

Como,

I 1 = 4 V x - V 0 20   ;

I 2 = V 0 20 + j 10   ;

Substituindo,

4 V x - V 0 20 + 3 ∠ 0 ° = V 0 20 + j 10       i

Passo 3

Precisamos encontrar mais uma equação que relacione V x e V 0 para podemos encontrar o que queremos. Para isso, vamos utilizar divisor de tensão:

V x = 20 20 + j 10 V 0

Logo,

V 0 = 20 + j 10 20 V x     ( i i )

Passo 4

Agora temos duas equações:

4 V x - V 0 20 + 3 ∠ 0 ° = V 0 20 + j 10       i

V 0 = 20 + j 10 20 V x     ( i i )

Substituindo i i em ( i ) :

4 V x 20 - 1 20 20 + j 10 20 V x + 3 = 1 20 + j 10 20 + j 10 20 V x

4 V x 20 - 20 + j 10 400 V x + 3 = V x 20

4 V x 20 - 20 + j 10 400 V x - V x 20 = - 3

V x 4 20 - 20 + j 10 400 - 1 20 = - 3

V x = - 3 0,15 - 0,056 ∠ 26,56 °

V x = - 3 0,15 - 0,05 + j 0,025

V x = - 3 0,1 - j 0,025

V x = - 3 0,103 ∠ - 14 °

V x = - 29,12 ∠ 14 °     V

Passo 5

Agora, para terminar, precisamos deixar o fasor com módulo positivo. Para isso, basta subtrair 180 ° ao ângulo:

V x = 29,12 ∠ - 166 °     V

Resposta

V x = 29,12 ∠ - 166 °     V

Exercício Resolvido #5

Livro Sadiku, p.397, Problema 10.25

Determine i 0 no circuito abaixo usando a análise de malhas:

Passo 1

Primeiro, temos que passar o circuito para o domínio da frequência, ou seja, para forma fasorial. Como uma das fontes de tensão está expressa em seno, antes de passar para forma fasorial precisamos escrever em termos de cosseno:

6 sen ⁡ 2 t = 6 cos ⁡ ( 2 t - 90 ° )