Superposição, Thévenin e Norton para Corrente Alternada

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Teoria

Nesse tópico vamos ver como funcionam as técnicas de Superposição, Circuito equivalente de Thévenin e Norton para CA. Você vai ver que esses métodos serão executados de maneira igual a quando estudamos circuitos CC.

Superposição

O teorema da superposição também pode ser aplicado em circuitos CA, pois, assim como os circuitos CC, eles são lineares. O procedimento é exatamente o mesmo: calcular a contribuição de cada fonte e depois somar.

Além disso, esse teorema é muito importante para o caso de um circuito possuir fontes com frequências diferentes. Nesse caso, para cada frequência teremos um circuito no domínio da frequência.

Vamos fazer um exemplo para você entender melhor. No circuito abaixo, vamos calcular v usando o teorema da superposição:

Passo 1:

Aplicando o princípio da superposição, a tensão v será dada por:

v = v 1 + v 2

Onde v 1 é a contribuição da fonte de tensão e v 2 é a contribuição da fonte de corrente.

Passo 2:

Para determinar v 1 , temos que desligar a fonte de corrente, ou seja, considerá-la um circuito aberto e passar o circuito para o domínio da frequência.

20 sen ⁡ 5 t = 20 cos ⁡ ( 5 t - 90 ° )       →       20 ∠ - 90 °   ,         ω = 5   r a d / s

1   H       →       j ω L = j 5

0,2   F       →   -   j 1 ω C   = - j

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 3:

Agora, vamos utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó:

20 ∠ - 90 ° - V 1 8 = V 1 - j + V 1 j 5

- j 2,5 - 0,125 V 1 = j V 1 - j 0,2 V 1

- j 2,5 = j 0,8 V 1 + 0,125 V 1

0,125 + j 0,8 V 1 = - j 2,5

V 1 = - j 2,5 0,125 + j 0,8

V 1 = 2,5 ∠ - 90 ° 0,81 ∠ 81,12 °

V 1 = 3,09 ∠ - 171,12 °   V

Voltando para o domínio do tempo:

v 1 = 3,09 cos ⁡ 5 t - 171,12 ° V

Passo 4:

Para determinar v 2 , temos que desligar a fonte de tensão, ou seja, considerá-la um curto-circuito e passar o circuito para o domínio da frequência.

4 cos ⁡ 10 t       →       4 ∠ 0 °   ,         ω = 10   r a d / s

1   H       →       j ω L = j 10

0,2   F       →   -   j 1 ω C   = - j 0,5

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 5:

Para encontrarmos V 2 , vamos utilizar análise nodal mais uma vez.

Aplicando a LCK ao nó:

V 2 8 + V 2 - j 0,5 + V 2 j 10 = 4 ∠ 0

0,125 V 2 + j 2 V 2 - j 0,1 V 2 = 4

0,125 + j 1,9 V 2 = 4

V 2 = 4 0,125 + j 1,9

V 2 = 4 ∠ 0 ° 1,904 ∠ 86.24 °

V 2 = 2,101 ∠ - 86,24 °   V

Voltando para o domínio do tempo:

v 2 = 2,101 cos ⁡ ( 10 t - 86,24 ° )   V

Passo 6:

Logo, pelo princípio da superposição, a tensão v é dada por:

v = v 1 + v 2

v = [ 3,09 cos ⁡ 5 t - 171,12 ° + 2,101 cos ⁡ ( 10 t - 86,24 ° ) ]   V

Pronto! Missão cumprida!

Transformação de fontes

Lembra de transformação de fontes? Para circuitos CA ela também é válida. Só que para esse caso, a transformação de fontes ocorre no domínio da frequência e significa transformar uma fonte de tensão em série com uma impedância em uma fonte de corrente em paralelo com a mesma impedância.

Sempre lembrando que a transformação tem que respeitar a lei de Ohm:

V = Z I       ↔       I = V Z

Teorema de Thévenin e Norton

Adivinha só! Esses teoremas também são válidos em circuitos CA. Além disso, eles são aplicados da mesma maneira que são aplicados em circuitos CC, só que no caso CA analisamos fasorialmente o circuito e os circuitos equivalentes são:

Circuito Equivalente de Thévenin:

Circuito Equivalente de Norton:

Lembrando que V T h é tensão de circuito aberto, I N é a corrente de curto-circuito e Z T h = Z N é a impedância equivalente vista pelos terminais a - b . Além disso, os circuitos equivalentes se relacionam como em uma transformação de fonte:

V T h = Z N I N

Para você relembrar como funciona esses teoremas, vamos fazer um exemplo. No circuito abaixo, vamos obter o circuito equivalente de Thévenin e Norton:

Passo 1:

Nosso primeiro passo é determinar a impedância de Thévenin ( Z T h ) . Para isso, desligamos a fonte independente e calculamos a impedância equivalente vista pelos terminais a - b . Logo, analisando o circuito abaixo, temos:

Z T h = 6 + j 2 - j 4 + 5

Z T h = 6 + j 2   ×   ( - j 4 ) ( 6 + j 2 - j 4 ) + 5

Z T h = 6,32 ∠ 18,43 °   ×   ( 4 ∠ - 90 ° ) ( 6 - j 2 ) + 5

Z T h = 6,32 ∠ 18,43 °   ×   ( 4 ∠ - 90 ° ) ( 6 - j 2 ) + 5

Z T h = 25,28 ∠ - 71,57 ° 6,32 ∠ - 18,43 ° + 5

Z T h = 4 ∠ - 53,14 ° + 5

Z T h = 2,4 - j 3,2 + 5

Z T h = 7,4 - j 3,2   Ω

Passo 2:

Agora, precisamos encontrar a tensão de circuito aberto aplicada nos terminais a - b . Para isso, vamos analisar o circuito abaixo:

Como o circuito está aberto, não tem circulação de corrente pelo resistor de 5   Ω e, consequentemente, não há queda de tensão no mesmo. Portanto, podemos considerar o circuito abaixo:

Aplicando divisor de tensão, temos:

V T h = - j 4 6 + j 2 - j 4 × 10 ∠ 30 °

V T h = - j 4 6 - j 2 × 10 ∠ 30 °

V T h = 4 ∠ - 90 ° 6,32 ∠ - 18,43 ° × 10 ∠ 30 °

V T h = 6,33 ∠ - 41,57 °     V

Passo 3:

Logo, o circuito equivalente de Thévenin é:

Aplicando tranformação de fontes podemos obter o circuito equivalente de Norton:

I N = V T h Z T h

I N = 6,33 ∠ - 41,57 ° 7,4 - j 3,2 = 6,33 ∠ - 41,57 ° 8,06 ∠ - 23,38 °  

I N = 0,785 ∠ - 18,19 °     A

Pronto! Agora é partir para os exercícios!

Transformação de fontes

Teorema de Thévenin e Norton

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine i 0 no circuito abaixo usando superposição.

Passo 1

Aplicando o princípio da superposição, a corrente i 0 será dada por:

i 0 = i 1 + i 2

Onde i 1 é a contribuição da fonte de tensão alternada e i 2 é a contribuição da fonte de tensão CC.

Passo 2

Para determinar i 1 , temos que desligar a fonte de tensão CC, ou seja, considerá-la um curto-circuito e passar o circuito para o domínio da frequência.

10 cos ⁡ 4 t       →       10 ∠ 0 °   ,         ω = 4   r a d / s

1   H       →       j ω L = j 4

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a análise nodal:

10 ∠ 0 ° - V 4 = V j 4 + V 2

2,5 - 0,25 V = - 0 , 25 j V + 0,5 V

2,5 = - 0 , 25 j V + 0,75 V

0,75 - 0 , 25 j V = 2,5

V = 2,5 0,79 ∠ - 18,43 °  

V = 3,16 ∠ 18,43 °     V

Logo, pela lei de Ohm:

I 1 = V j 4

I 1 = 3,16 ∠ 18,43 ° 4 ∠ 90 °

I 1 = 0,79 ∠ - 71,57 °     A

Voltando para o domínio do tempo:

i 1 = 0,79 cos ⁡ ( 4 t - 71,57 ° )   A

Passo 4

Para determinar i 2 , temos que desligar a fonte de tensão CA, ou seja, considerá-la um curto-circuito e considerar apenas a fonte CC. Além disso, temos que lembrar que em regime permanente CC o indutor é um curto-circuito. Portanto, temos que analisar o seguinte circuito:

Toda a corrente fornecida pela fonte passa pelo curto-circuito. Logo, não tem circulação de corrente no resistor 4   Ω e i 2 será:

i 2 = 8 2 = 4   A

Passo 5

Logo, pelo princípio da superposição, a corrente i 0 é dada por:

i 0 = i 1 + i 2

i 0 = [ 0,79 cos ⁡ ( 4 t - 71,57 ° ) + 4 ]   A

Resposta

i 0 = [ 0,79 cos ⁡ ( 4 t - 71,57 ° ) + 4 ]   A

Exercício Resolvido #2

Determine v 0 ( t ) no circuito abaixo usando superposição.

Passo 1

Aplicando o princípio da superposição, a tensão v 0 será dada por:

v 0 = v 1 + v 2 + v 3

Onde v 1 é a contribuição da fonte de tensão alternada, v 2 é a contribuição da fonte de corrente e v 3 da fonte de tensão CC.

Passo 2

Para determinar v 1 , temos que desligar a fonte de tensão CC e a fonte de corrente, ou seja, considerar a fonte CC um curto-circuito e a fonte de corrente um circuito aberto. Passando o circuito para o domínio da frequência, temos:

12 cos ⁡ 3 t       →       12 ∠ 0 °   ,         ω = 3   r a d / s

2   H       →       j ω L = j 6

1 12   F       →   -   j 1 ω C   = - j 4

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó:

12 ∠ 0 ° - V 1 6 = V 1 - j 4 + V 1 j 6

2 - 0,167 V 1 = 0 , 25 j V 1 - j 0,167 V 1

2 = ( 0,167 + j 0,083 ) V 1

V 1 = 2 0,167 + j 0,083

V 1 = 2 ∠ 0 ° 0,186 ∠ 26,43 °

V 1 = 10,75 ∠ - 26,43 °     V

Voltando para o domínio do tempo:

v 1 = 10,75 cos ⁡ ( 3 t - 26,43 ° )   V

Passo 4

Para determinar v 2 , vamos considerar apenas a fonte de corrente. Portanto, substituindo as fontes de tensão por curtos-circuitos e passando o circuito para o domínio da frequência, temos:

4 sen ⁡ 2 t = 4 cos ⁡ ( 2 t - 90 ° )       →       4 ∠ - 90 °   ,         ω = 2   r a d / s

2   H       →       j ω L = j 4

1 12   F       →   -   j 1 ω C   = - j 6

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 5

Agora, vamos utilizar a análise nodal mais uma vez:

Aplicando a LCK ao nó:

4 ∠ - 90 ° = V 2 6 + V 2 - j 6 + V 2 j 4

- j 4 = 1 6 + 1 - j 6 + 1 j 4 V 2

V 2 = - j 4 0,1667 - j 0,0833

V 2 = 4 ∠ - 90 ° 0,186 ∠ - 26,55 °

V 2 = 21,5 ∠ - 63,4 °     V

Voltando para o domínio do tempo:

v 2 = 21,5 cos ⁡ ( 2 t - 63,4 ° )   V

Passo 6

Para terminar, precisamos calcular a contribuição da fonte de tensão CC. Desligando as outras fontes e lembrando que em regime permanente CC o capacitor é um circuito aberto e o indutor um curto-circuito, temos o circuito abaixo:

Logo,

v 3 = 10   V

Passo 7

Logo, pelo princípio da superposição, a tensão v é dada por:

v 0 = v 1 + v 2 + v 3

v 0 = [ 10,75 cos ⁡ 3 t - 26,43 ° + 21,5 cos ⁡ ( 2 t - 63,4 ° ) + 10 ]   V

Resposta

v 0 = [ 10,75 cos ⁡ 3 t - 26,43 ° + 21,5 cos ⁡ ( 2 t - 63,4 ° ) + 10 ]   V

Exercício Resolvido #3

Usando a transformação de fontes, determine i no circuito abaixo:

Passo 1

De cara, temos que passar o circuito para o domínio da frequência:

8 sen ⁡ ( 2 00 t + 30 ° ) = 8 cos ⁡ ( 200 t - 6 0 ° )       →       8 ∠ - 6 0 °   ,         ω = 2 00   r a d / s

5   m H       →       j ω L = j

1   m F       →   -   j 1 ω C   = - j 5

Portanto, o circuito no domínio da frequência será:

Passo 2

Agora, vamos utilizar transformação de fontes. Transformando a fonte de corrente em paralelo com o resistor de 5   Ω em uma fonte de tensão em série com o mesmo resistor, temos:

V = 5   ×   8 ∠ - 60 °

V = 40 ∠ - 60 °     V

Passo 3

Portanto, a impedância do circuito é:

Z = 5 + 3 + j - j 5 = 8 - j 4

Aplicando a lei de Ohm encontramos a corrente:

I = 40 ∠ - 60 ° 8 - j 4

I = 40 ∠ - 60 ° 8,94 ∠ - 26,56 °

I = 4,47 ∠ - 33,44 °     A

Voltando para o domínio do tempo, temos:

i = 4,47 cos ⁡ ( 200 t - 33,44 ° ) = 4,47 sen ⁡ ( 200 t + 56,56 ° )     A

Resposta

i = 4,47 sen ⁡ ( 200 t + 56,56 ° )     A

Exercício Resolvido #4

Utilize o método da transformação de fontes para determinar I x no circuito abaixo:

Passo 1

O circuito já está na forma fasorial. Então, podemos partir direto para as transformações de fonte. Primeiro, vamos considerar:

Z 1 = 2 + j 4   Ω

Transformando a fonte de tensão em série com a impedância Z 1 em uma fonte de corrente em paralelo com Z 1 , temos que a fonte de corrente terá o seguinte valor:

I 1 = 60 ∠ 0 ° 2 + j 4 = 60 ∠ 0 ° 4,47 ∠ 63,43 °

I 1 = 13,42 ∠ - 63,43 °   A

Portanto, temos o seguinte circuito:

Passo 2

Considerando:

Z 2 = ( 2 + j 4 ) 6

Z 2 = 4,47 ∠ 63,43 ° × 6 ∠ 0 2 + j 4 + 6

Z 2 = 26,83 ∠ 63,43 ° 8,94 ∠ 26,56 ° = 3 ∠ 36,87 °   Ω

Z 2 = 2,4 + j 1,8   Ω

Usando mais uma vez transformação de fontes. Vamos transformar a fonte de corrente em paralelo com Z 2 em uma fonte de tensão em série com Z 2 . O valor da fonte de tensão será:

V 2 = 3 ∠ 36,87 °   × 13,42 ∠ - 63,43 °  

V 2 = 40,26 ∠ - 26,56 °     V

Portanto, o circuito fica assim:

Passo 3

Agora, vamos considerar:

Z 3 = Z 2 - j 2

Z 3 = 2,4 + j 1,8 - j 2

Z 3 = 2,4 - j 0,2   Ω

Então, vamos transformar a fonte de tensão em série com Z 3 em uma fonte de corrente em paralelo com Z 3 . O valor da fonte de corrente será:

I 3 = 40,26 ∠ - 26,56 ° 2,4 - j 0,2

I 3 = 40,26 ∠ - 26,56 ° 2,41 ∠ - 4,76 °

I 3 = 16,7 ∠ - 21,8 °     A

Logo, temos o seguinte circuito:

Passo 4

Para terminar, vamos aplicar divisor de corrente:

I x = Z 3 Z 3 + 4 - j 3 × ( 5 ∠ 90 ° + I 3 )

I x = 2,4 - j 0,2   2,4 - j 0,2 + 4 - j 3 × ( j 5 + 16,7 ∠ - 21,8 ° )

I x = 2,41 ∠ - 4,76 °   6,4 - j 3,2 × j 5 + 15,5 - j 6,2

I x = 2,41 ∠ - 4,76 °   7,16 ∠ - 26,56 ° × j 5 + 15,5 - j 6,2

I x = 2,41 ∠ - 4,76 °   7,16 ∠ - 26,56 ° × 15,5 - j 1,2

I x = 0,336 ∠ 21,8 °   ×   15,55 ∠ - 4,43 °

I x = 5,2 ∠ 17,37 °     A

Resposta

I x = 5,2 ∠ 17,37 °     A

Exercício Resolvido #5

Para o circuito abaixo, obtenha os circuitos equivalentes de Thevenin e de Norton nos terminais a - b .

Passo 1

O circuito já está no domínio da frequência. Além disso, se o analisarmos e o redesenharmos vemos que ele já pode ser considerado o circuito equivalente de Norton. Olha só:

Passo 2

Calculando a impedância de Norton, temos:

Z N = 6 + ( j 4 - j 2 )

Z N = 6 + 4 ∠ 90 °   × 2 ∠ - 90 ° j 4 - j 2

Z N = 6 + 8 ∠ 0 ° j 2

Z N = 6 + 8 ∠ 0 ° 2 ∠ 90 °

Z N = 6 + 4 ∠ - 90 °

Z N = 6 - j 4   Ω

Passo 3

Logo, o circuito equivalente de Norton é:

Passo 4

Para encontrarmos o circuito equivalente de Thevenin basta utilizarmos transformação de fontes. Vamos transformar a fonte de corrente I N em paralelo com a impedância em uma fonte de tensão V T h em série com a mesma impedância ( Z N = Z T h ) .

V T h = Z N I N

V T h = 6 - j 4 2 ∠ 0 °