Superposição, Thévenin e Norton para Corrente Alternada

Teoria Completa

Nesse tópico vamos ver como funcionam as técnicas de Superposição, Circuito equivalente de Thévenin e Norton para CA. Você vai ver que esses métodos serão executados de maneira igual a quando estudamos circuitos CC.

Superposição

O teorema da superposição também pode ser aplicado em circuitos CA, pois, assim como os circuitos CC, eles são lineares. O procedimento é exatamente o mesmo: calcular a contribuição de cada fonte e depois somar.

Além disso, esse teorema é muito importante para o caso de um circuito possuir fontes com frequências diferentes. Nesse caso, para cada frequência teremos um circuito no domínio da frequência.

Vamos fazer um exemplo para você entender melhor. No circuito abaixo, vamos calcular v usando o teorema da superposição:

Passo 1:

Aplicando o princípio da superposição, a tensão v será dada por:

v = v 1 + v 2

Onde v 1 é a contribuição da fonte de tensão e v 2 é a contribuição da fonte de corrente.

Passo 2:

Para determinar v 1 , temos que desligar a fonte de corrente, ou seja, considerá-la um circuito aberto e passar o circuito para o domínio da frequência.

20 sen ⁡ 5 t = 20 cos ⁡ ( 5 t - 90 ° )       →       20 ∠ - 90 °   ,         ω = 5   r a d / s

1   H       →       j ω L = j 5

0,2   F       →   -   j 1 ω C   = - j

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 3:

Agora, vamos utilizar a análise nodal:

Aplicando a LCK ao nó:

20 ∠ - 90 ° - V 1 8 = V 1 - j + V 1 j 5

- j 2,5 - 0,125 V 1 = j V 1 - j 0,2 V 1

- j 2,5 = j 0,8 V 1 + 0,125 V 1

0,125 + j 0,8 V 1 = - j 2,5

V 1 = - j 2,5 0,125 + j 0,8

V 1 = 2,5 ∠ - 90 ° 0,81 ∠ 81,12 °

V 1 = 3,09 ∠ - 171,12 °   V

Voltando para o domínio do tempo:

v 1 = 3,09 cos ⁡ 5 t - 171,12 ° V

Passo 4:

Para determinar v 2 , temos que desligar a fonte de tensão, ou seja, considerá-la um curto-circuito e passar o circuito para o domínio da frequência.

4 cos ⁡ 10 t       →       4 ∠ 0 °   ,         ω = 10   r a d / s

1   H       →       j ω L = j 10

0,2   F       →   -   j 1 ω C   = - j 0,5

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 5:

Para encontrarmos V 2 , vamos utilizar análise nodal mais uma vez.

Aplicando a LCK ao nó:

V 2 8 + V 2 - j 0,5 + V 2 j 10 = 4 ∠ 0

0,125 V 2 + j 2 V 2 - j 0,1 V 2 = 4

0,125 + j 1,9 V 2 = 4

V 2 = 4 0,125 + j 1,9

V 2 = 4 ∠ 0 ° 1,904 ∠ 86.24 °

V 2 = 2,101 ∠ - 86,24 °   V

Voltando para o domínio do tempo:

v 2 = 2,101 cos ⁡ ( 10 t - 86,24 ° )   V

Passo 6:

Logo, pelo princípio da superposição, a tensão v é dada por:

v = v 1 + v 2

v = [ 3,09 cos ⁡ 5 t - 171,12 ° + 2,101 cos ⁡ ( 10 t - 86,24 ° ) ]   V

Pronto! Missão cumprida!

Transformação de fontes

Lembra de transformação de fontes? Para circuitos CA ela também é válida. Só que para esse caso, a transformação de fontes ocorre no domínio da frequência e significa transformar uma fonte de tensão em série com uma impedância em uma fonte de corrente em paralelo com a mesma impedância.

Sempre lembrando que a transformação tem que respeitar a lei de Ohm:

V = Z I       ↔       I = V Z

Teorema de Thévenin e Norton

Adivinha só! Esses teoremas também são válidos em circuitos CA. Além disso, eles são aplicados da mesma maneira que são aplicados em circuitos CC, só que no caso CA analisamos fasorialmente o circuito e os circuitos equivalentes são:

Circuito Equivalente de Thévenin:

Circuito Equivalente de Norton:

Lembrando que V T h é tensão de circuito aberto, I N é a corrente de curto-circuito e Z T h = Z N é a impedância equivalente vista pelos terminais a - b . Além disso, os circuitos equivalentes se relacionam como em uma transformação de fonte:

V T h = Z N I N

Para você relembrar como funciona esses teoremas, vamos fazer um exemplo. No circuito abaixo, vamos obter o circuito equivalente de Thévenin e Norton:

Passo 1:

Nosso primeiro passo é determinar a impedância de Thévenin ( Z T h ) . Para isso, desligamos a fonte independente e calculamos a impedância equivalente vista pelos terminais a - b . Logo, analisando o circuito abaixo, temos:

Z T h = 6 + j 2 - j 4 + 5

Z T h = 6 + j 2   ×   ( - j 4 ) ( 6 + j 2 - j 4 ) + 5

Z T h = 6,32 ∠ 18,43 °   ×   ( 4 ∠ - 90 ° ) ( 6 - j 2 ) + 5

Z T h = 6,32 ∠ 18,43 °   ×   ( 4 ∠ - 90 ° ) ( 6 - j 2 ) + 5

Z T h = 25,28 ∠ - 71,57 ° 6,32 ∠ - 18,43 ° + 5

Z T h = 4 ∠ - 53,14 ° + 5

Z T h = 2,4 - j 3,2 + 5

Z T h = 7,4 - j 3,2   Ω

Passo 2:

Agora, precisamos encontrar a tensão de circuito aberto aplicada nos terminais a - b . Para isso, vamos analisar o circuito abaixo:

Como o circuito está aberto, não tem circulação de corrente pelo resistor de 5   Ω e, consequentemente, não há queda de tensão no mesmo. Portanto, podemos considerar o circuito abaixo:

Aplicando divisor de tensão, temos:

V T h = - j 4 6 + j 2 - j 4 × 10 ∠ 30 °

V T h = - j 4 6 - j 2 × 10 ∠ 30 °

V T h = 4 ∠ - 90 ° 6,32 ∠ - 18,43 ° × 10 ∠ 30 °

V T h = 6,33 ∠ - 41,57 °     V

Passo 3:

Logo, o circuito equivalente de Thévenin é:

Aplicando tranformação de fontes podemos obter o circuito equivalente de Norton:

I N = V T h Z T h

I N = 6,33 ∠ - 41,57 ° 7,4 - j 3,2 = 6,33 ∠ - 41,57 ° 8,06 ∠ - 23,38 °  

I N = 0,785 ∠ - 18,19 °     A