Circuitos Trifásicos Desequilibrados

Teoria Completa

Agora que você já está fera em circuitos trifásicos equilibrados vamos ver como funcionam os desequilibrados.

Um circuito trifásico é considerado desequilibrado quando as fontes de tensão estão desequilibradas ou a carga é desequilibrada.

Fontes de Tensão Desequilibradas

As fontes são desequilibradas quando:

  • A amplitude das fontes não é a mesma em todas as fases.
  • Por exemplo, na figura abaixo temos uma fonte de tensão trifásica onde seus ângulos estão defasados de 120 ° e o módulo da fase A é diferente dos módulos das fases B e C :

  • As fontes não estão defasadas de 120 ° entre si:

No exemplo acima, apesar dos módulos das tensões de todas as fases serem os mesmos, os seus ângulos não estão defasados em 120 ° .

Então, se tivermos algum dos casos acima ou os dois ao mesmo tempo já podemos considerar o circuito trifásico desequilibrado independente das cargas.

Carga Desequilibrada

A carga trifásica é considerada desequilibrada quando as impedâncias das fases são diferentes. Por exemplo, na figura abaixo a impedância da fase A é diferente da impedância da fase B que é diferente da impedância da fase C .

Na maioria dos circuitos desequilibrados a fonte é equilibrada e a carga trifásica é desequilibrada, como essa aí de cima.

Em circuitos desequilibrados temos que ter cuidado, porque as relações entre tensões de linha e de fase e as relações de corrente de linha e de fase não são mais válidas!

Para resolvê-los utilizamos os métodos de análise de circuitos que já conhecemos, como a análise de malha e análise nodal. Então vem comigo! Vamos fazer um exemplo.

No circuito abaixo, temos uma carga em triângulo desequilibrada alimentada por uma fonte trifásica equilibrada. Considerando V a b = 220 ∠ 0 °   V e sequência positiva, vamos determinar as correntes de linha I A , I B e I C .

Passo 1:

O primeiro passo é determinar as correntes de fase I A B , I B C e I C A . Vamos calculá-las utilizando a famosa lei de Ohm:

I A B = V a b 8 + j 6  

I B C = V b c 15 - j 10

I C A = V c a 20

Além disso, o enunciado disse que a fonte é equilibrada com V a b = 220 ∠ 0 °   V e que a sequência é positiva. Então,

V a b = 220 ∠ 0 °   V  

V b c = 220 ∠ - 120 °   V  

V c a = 220 ∠ 120 °   V  

Partiu então calcular as correntes de fase:

I A B = 220 ∠ 0 ° 8 + j 6

I A B = 22 ∠ - 36,87 °   A

I B C = 220 ∠ - 120 ° 15 - j 10

I B C = 12,2 ∠ - 86,31 °   A

I C A = 220 ∠ 120 ° 20

I C A = 11 ∠ 120 °   A

Passo 2:

Agora que temos as correntes de fase, vamos encontrar as correntes de linha aplicando a Lei das correntes de Kirchhoff em cada nó da carga trifásica.

Para o nó A , temos:

I A + I C A = I A B

I A = I A B - I C A

I A = ( 22 ∠ - 36,87 ° ) - ( 11 ∠ 120 ° )

I A = 32,4 ∠ - 44,53 °   A

Já para o nó B :

I B + I A B = I B C

I B = I B C - I A B

I B = ( 12,2 ∠ - 86,31 ° ) - ( 22 ∠ - 36,87 ° )

I B = 16,85 ∠ 176,51 °   A

Por fim o nó C :

I C + I B C = I C A

I C = I C A - I B C

I C = ( 11 ∠ 120 ° ) - ( 12,2 ∠ - 86,31 ° )

I C = 22,6 ∠ 106,15 °   A

Pronto! Encontramos as correntes de linha do circuito. Como podemos ver elas são bem diferentes umas das outras e se multiplicarmos as correntes de fase por 3 não encontraremos o valor correto.

Por exemplo:

I A = 32,4 ∠ - 44,53 °   A

Seu módulo é

I A = 32,4   A

Se multiplicarmos por 3 a corrente de fase não encontraremos o mesmo valor:

3 I A B = 3 × 22 = 38,1   A

Então não podemos utilizar essas relações em circuitos trifásicos desequilibrados!

Se liga na dica: se o circuito trifásico for em triângulo ( ∆ ) , como no exemplo acima, é mais fácil resolvê-lo utilizando a lei dos nós. Assim como se o circuito for em estrela ( Y ) é mais fácil resolvê-lo utilizando análise de malhas.

Potência

Assim como não podemos utilizar as relações entre correntes e tensões de linha e de fase, também não podemos utilizar as fórmulas de potência que conhecemos para circuitos trifásicos equilibrados em circuitos trifásicos desequilibrados.

Por exemplo, para calcular a potência complexa total absorvida pela carga, não podemos calcular a de uma fase e multiplicar por três, temos que calcular a potência de cada fase separadamente e somar depois.

No nosso exemplo seria assim:

S T = S A + S B + S C

Onde,

S A = Z A B I A B 2 = Z A B I A B 2

S A = 8 + j 6 × 22 2

S A = 3872 + j 2904   V A

S B = Z B C I B C 2 = Z B C I B C 2

S B = 15 - j 10 × 12,2 2

S B = 2232,6 - j 1488,4   V A

S C = Z C A I C A 2 = Z C A I C A 2

S C = 20 × 11 2  

S C = 2420   V A

Então, somando a potência complexa de cada fase determinamos a potência complexa total:

S T = 3872 + j 2904 + 2232,6 - j 1488,4 + ( 2420 )

S T = 8524,6 + j 1415,6   V A

Agora é fazer os exercícios para praticar!

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Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.488, Problema 12.51

Considere o sistema triângulo-triângulo mostrado na figura abaixo. Adote Z 1 = 8 + j 6   Ω , Z 2 = 4,2 - j 2,2   Ω e Z 3 = 10   Ω .

( a ) Determine as correntes de fase I A B , I B C e I C A

( b ) Calcule as correntes de linha I a A , I b B e I c C

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Passo 1

O circuito acima é desbalanceado porque as impedâncias possuem valores diferentes. Logo, para calcularmos as correntes de fase, vamos utilizar a Lei de Ohm.

Calculando I A B :

I A B = V a b Z 1 = 240 ∠ 0 ° 8 + j 6   = 240 ∠ 0 ° 10 ∠ 36,9 °

I A B = 24 ∠ - 36,9 °   A

I A B = 19,2 - j 14,4   A

Calculando I B C :

I B C = V b c Z 2 = 240 ∠ 120 ° 4,2 - j 2,2     = 240 ∠ 120 ° 4,74 ∠ - 27,6 °

I B C = 50,62 ∠ 147,64 °   A

I B C = - 42,76 + j 27,1   A

Calculando I C A :

I C A = V c a Z 3 = 240 ∠ - 120 ° 10    

I C A = 24 ∠ - 120 °   A

I C A = - 12 - j 20,8   A

Passo 2

Agora, calculando as correntes de linha, utilizaremos a Lei dos Nós.

Para o nó A :

I a A + I C A = I A B

I a A = I A B - I C A

I a A = 19,2 - j 14,4 - - 12 - j 20,8

I a A = 31,2 + j 6,4   A

Para o nó B :

I b B + I A B = I B C

I b B = I B C - I A B

I b B = - 42,76 + j 27,1 - 19,2 - j 14,4

I b B = - 61,96 + j 41,5   A

Para o nó C :

I c C + I B C = I C A

I c C = I C A - I B C

I c C = - 12 - j 20,8   - - 42,76 + j 27,1

I c C = 30,76 - j 47,9   A

Resposta

a   I A B = 19,2 - j 14,4   A

                          I B C = - 42,76 + j 27,1   A

            I C A = - 12 - j 20,8   A

b     I a A = 31,2 + j 6,4   A

                              I b B = - 61,96 + j 41,5   A

                    I c C = 30,76 - j 47,9   A

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, p.488, Problema 12.55

Uma fonte trifásica com tensão de linha 240   V   R M S e sequência de fase positiva tem uma carga conectada em triângulo desequilibrada, conforme indicado na figura abaixo. Determine as correntes de fase e a potência complexa total.

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Passo 1

Primeiro, vamos determinar as tensões. Como foi dito que a sequência de fase é positiva e foi dado o valor do módulo da tensão de linha:

V A B = 240 ∠ 0 °   V

V B C = 240 ∠ - 120 °   V

V C A = 240 ∠ 120 °   V

Passo 2

Para calcular as correntes de fase, vamos utilizar a Lei de Ohm:

I A B = 240 ∠ 0 ° j 25 = 9,6 ∠ - 90 °   A

I B C = 240 ∠ - 120 ° 30 ∠ 30 ° = 8 ∠ - 150 °   A

I C A = 240 ∠ 120 ° 40 = 6 ∠ 120 °   A

Passo 3

A potência complexa em cada fase será:

S A B = Z A B × I A B 2

S A B = j 25 × 9,6 2

S A B = 25 ∠ 90 ° × 92,16

S A B = 2304 ∠ 90 °   V A  

S A B = j 2304   V A

S B C = Z B C × I B C 2

S B C = ( 30 ∠   30 ° ) × 8 2

S B C = 30 ∠   30 ° × 64

S B C = 1920 ∠ 30 °   V A  

S B C = 1662,8 + j 960   V A  

S C A = Z C A × I C A 2

S C A = ( 40 ) × 6 2

S C A = 40 × 36

S C A = 1440   V A  

Passo 4

Agora que calculamos a potência complexa em cada uma das fases, para calcularmos a potência complexa total, temos que somar cada parcela:

S T O T A L = S A B + S B C + S C A

S T O T A L = j 2304 + 1662,8 + j 960 + 1440

S T O T A L = 3102,8 + j 3264   V A

Resposta

I A B = 9,6 ∠ - 90 °   A

I B C = 8 ∠ - 150 °   A

I C A = 6 ∠ 120 °   A

S T O T A L = 3102,8 + j 3264   V A

Exercício Resolvido #3

Livro Sadiku, p.488, Problema 12.52

Um circuito estrela-estrela quadrifilar possui

V a n = 120 ∠ 120 ° ,             V b n = 120 ∠ 0 ° ,     V c n = 120 ∠ - 120 °

Se as impedâncias forem

Z A N = 20 ∠ 60 ° ,                 Z B N = 30 ∠ 0 ° ,                 Z C N = 40 ∠ 30 °

determine a corrente na linha do neutro.

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Passo 1

Temos um circuito Y - Y quadrifilar. Isso quer dizer que a ligação entre a fonte e a carga é feita por quatro fios, ou seja, que o neutro da fonte está conectado ao neutro da carga, como podemos ver no circuito abaixo:

Passo 2

Queremos determinar a corrente de neutro I N . Para isso, vamos aplicar a lei das correntes de Kirchhoff em um dos nós:

I N + I A + I B + I C = 0

Então, primeiro temos que calcular a corrente de linha de cada fase.

Da fase A , temos:

I A = V a n Z A N

I A = 120 ∠ 120 ° 20 ∠ 60 °

I A = 6 ∠ 60 °   A

Passo 3

Fazendo o mesmo para as outras fases, temos:

Para fase B :

I B = V b n Z B N

I B = 120 ∠ 0 ° 30 ∠ 0 °

I B = 4 ∠ 0 °   A

Para fase C :

I C = V c n Z C N

I C = 120 ∠ - 120 ° 40 ∠ 30 °

I C = 3 ∠ - 150 °   A

Passo 4

Substituindo pelos valores que encontramos para as correntes de cada linha, temos que a corrente de neutro será:

I N + I A + I B + I C = 0

I N + 6 ∠ 60 ° + 4 ∠ 0 ° + 3 ∠ - 150 ° = 0

I N + 3 + j 5,196 + 4 + - 2,598 - j 1,5 = 0

I N + 4,402 + j 3,696 = 0

I N + 5,75 ∠ 40 °   = 0

I N = - 5,75 ∠ 40 °   A

I N = 5,75 ∠ 220 °   A

Resposta

I N = 5,75 ∠ 220 °   A

Exercício Resolvido #4

Livro Sadiku, p.488, Problema 12.54

Uma fonte trifásica conectada em estrela equilibrada com V P = 210   V   R M S alimenta uma carga trifásica conectada em estrela com impedância por fase Z A = 80   Ω , Z B = 60 + j 90   Ω e Z C = j 80   Ω . Calcule as potências de linha e a potência complexa total liberada para a carga. Suponha que os neutros estejam interligados.

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Passo 1

Como nada foi dito, assumimos que a sequência da fonte trifásica é positiva, ou seja, sequência A B C . Logo:

V a n = 210 ∠ 0 °   V

V b n = 210 ∠ - 120 °   V

V c n = 210 ∠ 120 °   V

O circuito descrito no enunciado é esse aqui: