Circuitos Trifásicos

Teoria Completa

Nesse tópico vamos analisar os circuitos trifásicos quando as fontes de tensão estão conectadas com a carga. A gente vai ver que há várias formas de fazer essa conexão e vamos fazer exemplos para ver como funciona.

Conexão estrela-estrela ( Y - Y )

Um sistema estrela-estrela equilibrado é formado por uma fonte trifásica em estrela equilibrada ligada com uma carga em estrela também equilibrada, como no exemplo abaixo:

Para esse circuito, vamos calcular as correntes de linha, a corrente que passa pelo neutro e as tensões de linha. Vou fazer um passo a passo para não ter erro.

Passo 1:

Como o circuito trifásico é equilibrado, para encontrarmos as correntes de linha podemos analisar apenas uma fase, já que em todas as fases o módulo da corrente será o mesmo.

Pela lei de Ohm:

I A = V a n Z Y

I A = 127 ∠ 0 ° 4 + j 3

I A = 127 ∠ 0 ° 5 ∠ 36,87 °

I A = 25,4 ∠ - 36,87 °   A

Passo 2:

Analisando as fontes de tensão, vemos que elas estão na sequência a b c . Então, as correntes de linha também estarão na sequência positiva. Na fase b , temos:

I B = 25,4 ∠ - 36,87 ° - 120 °

I B = 25,4 ∠ - 156,87 °   A

Na fase c :

I C = 25,4 ∠ - 36,87 ° + 120 °

I C = 25,4 ∠ 83,13 °   A

Passo 3:

Para calcular a corrente que passa pelo neutro, vamos utilizar a boa e velha lei das correntes de Kirchhoff no neutro:

I A + I B + I C + I N = 0

I N = - ( 25,4 ∠ - 36,87 °   + 25,4 ∠ - 156,87 ° + 25,4 ∠ 83,13 ° )

I N = - ( 20,32 - j 15,24 - 23,36 - j 9,98 + 3,04 + j 25,22 )

I N = 0

Isso mesmo! Não circula corrente pelo neutro em um circuito Y - Y equilibrado! Por isso, podemos eliminar a ligação entre o neutro da fonte e da carga.

Passo 4:

Agora, vamos calcular as tensões de linha. Sabemos que na ligação estrela temos a seguinte relação entre os módulos da tensão de linha e de fase:

V L = 3 V f

Logo:

V a b = 3 × 127 = 220   V

Como o sistema é equilibrado, todas as tensões de linha têm o mesmo módulo:

V a b = V b c = V c a = 220   V

Passo 5:

Falta calcularmos os ângulos dessas tensões de linha. Como a sequência é a b c , as tensões de linha estão adiantadas em relação às tensões de fase em 30 ° , ou seja, temos que somar 30 ° ao ângulo das tensões de fase correspondentes.

V a b = 3 V a n ∠ ( 0 ° + 30 ° )

V a b = 220 ∠ 30 °   V

V b c = 3 V b n ∠ ( - 120 ° + 30 ° )

V b c = 220 ∠ - 90 °   V

V c a = 3 V c n ∠ ( 120 ° + 30 ° )

V c a = 220 ∠ 150 °   V

Conexão estrela-triângulo ( Y - ∆ )

O sistema estrela-triângulo equilibrado é formado por uma fonte trifásica em estrela equilibrada ligada com uma carga em triângulo também equilibrada, como no exemplo abaixo:

Nesse exemplo, vamos calcular as correntes de linha e de fase. Vamos para aquele passo a passo esperto.

Passo 1:

Para essa configuração e como o circuito trifásico é equilibrado, podemos encontrar as correntes de fase analisando apenas uma fase. Vamos analisar a fase a , aplicando a lei de Ohm:

I A B = V A B Z ∆

Para isso, primeiro temos que calcular a tensão de fase V A B . Analisando o circuito, temos que:

V A B = V a b

Como a sequência das fontes é a b c , sabemos que na ligação triângulo a relação entre tensão de linha é fase é dada por:

V L = V f 3 ∠ + 30 °

Então,

V A B = V a n 3 ∠ + 30 °

V A B = 127 ∠ 0 ° ( 3 ∠ + 30 ° )

V A B = 220 ∠ 30 °   V

Passo 2:

Logo, a corrente de fase será:

I A B = 220 ∠ 30 °   4 + j 3

I A B = 220 ∠ 30 °   5 ∠ 36,87 °

I A B = 44 ∠ - 6,87 °   A

Como o circuito é equilibrado e a sequência é a b c , as outras correntes de fase serão:

I B C = I A B ∠ - 120 °

I B C = 44 ∠ ( - 6,87 ° - 120 ° )

I B C = 44 ∠ - 126,87 °   A

I C A = I A B ∠ + 120 °

I C A = 44 ∠ ( - 6,87 ° + 120 ° )

I C A = 44 ∠ 113,13 °   A

Passo 3:

Agora falta calcularmos as correntes de linha. Sabemos que na ligação triângulo, as correntes de linha têm módulo 3 vezes o módulo das correntes de fase, ou seja:

I L = 3 I f

Além disso, as correntes de linha são atrasadas de 30 ° em relação às correntes de fase correspondentes. Logo,

I a = I A B 3 ∠ - 30 °

I a = 44 ∠ - 6,87 ° 3 ∠ - 30 °

I a = 76,21 ∠ - 36,87 °   A

Agora é só seguir a sequência:

I b = I a ∠ - 120 °

I b = 76,21 ∠ - 36,87 ° - 120 °

I b = 76,21 ∠ - 156,87 °   A

I c = I a ∠ + 120 °

I c = 76,21 ∠ - 36,87 ° + 120 °

I c = 76,21 ∠ 83,13 °   A

Pronto!

Temos ainda dois tipos de circuitos trifásicos: o triângulo-triângulo ( ∆ - ∆ ) e o triângulo-estrela ( ∆ - Y ) .

Conexão triângulo-triângulo ( ∆ - ∆ )

O triângulo-triângulo equilibrado é formado por uma fonte trifásica em triângulo equilibrada ligada com uma carga em triângulo também equilibrada e sua análise é praticamente a mesma dos casos anteriores.

Conexão triângulo-estrela ( ∆ - Y )

Como podemos ver, o sistema ∆ - Y equilibrado é formado por uma fonte trifásica em triângulo equilibrada ligada com uma carga em estrela também equilibrada.

Normalmente, quando temos esse circuito, nós transformamos a fonte de triângulo para estrela através das relações entre as tensões de linha e de fase.

V L = V f 3 ∠ + 30 ° → V f = V L 3   ∠ - 30 °

Por exemplo:

V a n = V a b 3   ∠ - 30 °

Fazendo isso, chegamos ao sistema ( Y - Y ) que já sabemos analisar.

Potência Trifásica

Agora vamos estudar as potências em circuitos trifásicos. Vem comigo!

A potência instantânea em um circuito trifásico é dada pela soma da potência instantânea de cada fase:

p = p a + p b + p c

Ou seja,

p = v a i a + v b i b + v c i c

Onde as tensões da fase são:

v a = 2 V f cos ⁡ ω t

v b = 2 V f cos ⁡ ( ω t - 120 ° )

v c = 2 V f cos ⁡ ( ω t + 120 ° )

e as corrente de fase são:

i a = 2 I f cos ⁡ ( ω t - θ )

i b = 2 I f cos ⁡ ( ω t - θ - 120 ° )

i b = 2 I f cos ⁡ ( ω t - θ + 120 ° )

Sendo θ o ângulo do fator de potência.

Quando a gente substitui essas tensões e correntes na expressão da potência e aplicamos relações trigonométricas, chegamos à expressão abaixo:

p = 3 V f I f cos ⁡ θ

Olha que interessante! A potência no circuito trifásico, seja ele qual for, é uma constante. Ou seja: ela não varia com o tempo como ocorre com as potências de apenas uma fase. Com isso, a potência instantânea é igual a potência média ( p = P ) .

Ligação Y :

V L = 3 V f

I L = I f

Como,

P = 3 V f I f cos ⁡ θ

Deixando a potência em função das grandezas de linha:

P = 3 V L 3 I L cos ⁡ θ

P = 3 V L I L cos ⁡ θ

Ligação :

V L = V f

I L = 3 I f

P = 3 V f I f cos ⁡ θ

Deixando em função das grandezas de linha:

P = 3 V L I L 3   cos ⁡ θ

P = 3 V L I L cos ⁡ θ

Viu só?! As potências são as mesmas, independente das ligações!

Assim como nos circuitos monofásicos, em circuitos trifásicos também temos as potências:

Ativa:

P = 3 V L I L cos ⁡ θ = 3 V f I f cos ⁡ θ

Reativa:

Q = 3 V L I L sen ⁡ θ = 3 V f I f sen ⁡ θ

Aparente:

S = 3 V L I L = 3 V f I f

Complexa:

S = P + j Q = 3 V L I L ∠ θ = 3 V f I f ∠ θ

S = 3 V f I f *

Ufa! Bastante coisa nova né? Mas relaxa, separei vários exercícios pra você fixar bem a matéria ;)

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Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.484, Problema 12.7

Obtenha as correntes de linha no circuito trifásico abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Olhando o circuito a gente vê que ele é um Y - Y equilibrado, porque a fonte está em estrela equilibrado ligada com uma carga também em estrela equilibrado.

Como o circuito trifásico é equilibrado, para encontrarmos as correntes de linha podemos analisar apenas uma fase, já que em todas as fases o módulo da corrente será o mesmo.

Pela Lei de Ohm:

I A = V a Z L

I A = 440 ∠ 0 ° 6 - j 8

I A = 440 ∠ 0 ° 10 ∠ - 53,13 °

I A = 44 ∠ 53,13 °   A

Passo 2

Como já calculamos o valor da corrente de linha para a fase a e já sabemos que o circuito é equilibrado, então já sabemos o módulo das correntes de linhas das fases b e c :

I B = 44   A

I C = 44   A

Passo 3

Agora falta determinarmos os ângulos dessas correntes. Observando o circuito, é a fase b que está a - 120 ° da fase a . Portanto, a sequência de fase é a b c . Como o circuito é equilibrado, então:

I B = I A ∠ - 120 °

I B = 44 ∠ 53,13 °   - 120 °

I B = 44 ∠ - 66,87 °   A

I C = I A ∠ + 120 °

I C = 44 ∠ 53,13 ° + 120 °

I C = 44 ∠ + 173,13 °   A

Resposta

I A = 44 ∠ 53,13 °   A

I B = 44 ∠ - 66,87 °   A

I C = 44 ∠ + 173,13 °   A

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, p.484, Problema 12.8

Em um sistema trifásico estrela-estrela equilibrado, a fonte é uma sequência a b c de tensões e V a n = 100 ∠ 20 °   V RMS. A impedância de linha por fase é   0,6 + j 1,2   Ω , enquanto a impedância por fase da carga é 10 + j 14   Ω . Calcule as correntes de linha e as tensões de carga.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Enunciado diz que a fonte está em estrela e é equilibrada e ainda fornece o valor da tensão da fase a . Além disso, ele diz que a sequência é a b c . Logo, já sabemos o valor das tensões das fases b e c :

V b n =   V a n ∠ - 120 °

V b n =   100 ∠ 20 ° - 120 °

V b n =   100 ∠ - 100 °   V

V c n =   V a n ∠ + 120 °

V c n =   100 ∠ 20 ° + 120 °

V c n =   100 ∠ + 1 40 °   V

Montei o circuito abaixo para ficar mais fácil de visualizar:

Passo 2

Agora, vamos calcular as correntes de linha. Como o circuito é equilibrado, podemos analisar somente uma das fases e depois defasar as outras de 120 ° .

Analisando o circuito acima, temos que:

I A = V a n Z L + Z Y

I A = 100 ∠ 20 ° 0,6 + j 1,2 + 10 + j 14

I A = 100 ∠ 20 ° 10,6 + j 15,2

I A = 100 ∠ 20 ° 18,53 ∠ 55,12 °

I A = 5,396 ∠ - 35,12 °   A

Passo 3

Agora vamos calcular as outras correntes de linha. Lembrando que a sequência é a b c .

I B = I A ∠ - 120 °

I B = 5,396 ∠ - 35,12 ° - 120 °

I B = 5,396 ∠ - 155,12 °   A

I C = I A ∠ + 120 °

I C = 5,396 ∠ - 35,12 ° + 120 °

I C = 5,396 ∠ 84,88 °   A

Passo 4

O que falta calcular são as tensões na carga. Pela Lei de Ohm:

V Z L A = Z Y I A

V Z L A = 10 + j 14 × 5,396 ∠ - 35,12 °  

V Z L A = 17,2 ∠ 54,46 °   × 5,396 ∠ - 35,12 °  

V Z L A = 92,84 ∠ 19,34 °   A

V Z L B = Z Y I B

V Z L B = 10 + j 14 × 5,396 ∠ - 155,12 °  

V Z B = 17,2 ∠ 54,46 °   × 5,396 ∠ - 155,12 °  

V Z L B = 92,84 ∠ - 100,36 °   A

V Z L C = Z Y I C

V Z L C = 10 + j 14 × 5,396 ∠ 84,88 °   °  

V Z C = 17,2 ∠ 54,46 °   × 5,396 ∠ 84,88 °  

V Z L C = 92,84 ∠ 139,34 °   A

Também poderíamos ter feito essa questão calculando o valor da tensão em somente uma fase e depois defasar as outras de 120 ° .

Resposta