Circuito RC

Teoria Completa

Fala aí, beleza? Agora estudaremos os circuitos com resistores e capacitores e vamos querer saber o que acontece com a tensão e corrente nesses elementos ao longo do tempo.

Supondo que a gente tenha o circuito abaixo e deseja-se calcular a tensão v no capacitor para todo instante de tempo a partir da chave se abrir, como resolveríamos? É isso que vamos descobrir agora!

Circuito RC sem fonte

Para começar, a gente impõe que a chave esteja fechada por um longo período de tempo:

Aí, de repente a gente abre a chave:

Quando a gente faz isso, o circuito passa a ser o resistor em série com o capacitor:

Esse circuito é chamado de circuito RC sem fonte. Agora, nossa missão é encontrar a tensão v t do capacitor.

Como a chave estava anteriormente fechada, o capacitor está inicialmente carregado. Então, a gente diz que no instante t = 0 a tensão inicial do capacitor será a própria tensão da fonte, já que a fonte de tensão e o capacitor estão em paralelo.

v 0 = 10   V

Agora, vamos aplicar a LCK no nó amarelo:

i C + i R = 0

A gente sabe quais são as relações de corrente no capacitor e no resistor:

i C = C d v d t = 0,2 × d v d t

i R = v R = v 10

Substituindo:

( 0,2 ) × d v d t + v 10 = 0

Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

0,2 r + 1 10 = 0

r = - 1 10 × 1 0,2

r = - 1 2

Sabemos que a solução geral da equação é dada por:

v t = A e r t

Sendo A uma constante.

Substituindo o valor de r encontrado, temos:

v t = A e - t 2

Agora, a gente tem que encontrar o valor da constante A . Lembra lá no início que a gente encontrou a tensão em t = 0 ? Então, utilizaremos essa condição inicial aqui:

v 0 = 10 = A e - 0 2

Logo,

A = 10

Beleza! Então nossa solução final é:

v t = 10 e - t 2     V ,     p a r a   t > 0

Essa solução é chamada de resposta natural do circuito, pois ela só depende da energia armazena inicialmente e dos valores dos elementos do circuito.

No momento em que retiramos a fonte de tensão não há a presença de excitação externa no circuito, apenas a energia armazenada no capacitor.

Agora, vamos analisar o gráfico da resposta natural.

Podemos perceber no gráfico que ele parte da tensão inicial de 10   V e decresce exponencialmente até chegar a zero. Normalmente, quando queremos falar sobre a velocidade com que a essa tensão decai, falamos sobre a constante de tempo (τ) do circuito.

Por definição, a constante de tempo (τ) de um circuito é o tempo necessário para que a tensão caia 36,8% do seu valor inicial. Ou seja, para o nosso circuito, a constante de tempo seria 2   s .

τ = 2   s

Se a gente voltar nas equações, veremos que o valor de τ surgiu do produto entre a capacitância e resistência:

C × R = 0,2 × 10 = 2

Logo, para esse circuito, a constante de tempo depende exclusivamente do valor dos elementos passivos.

τ = R C

Ufa! Muita coisa nova né?!

Vamos relembrar os passos até aqui:

  1. Capacitor está inicialmente carregado com uma tensão inicial:
  2. v 0 = V 0

  3. Aplicando LCK chegamos à EDO:
  4. C d v d t + v R = 0

  5. Resolvendo a EDO:
  6. v t = A e - t R C

  7. Encontrar A a partir da condição inicial:
  8. A = v 0 = V 0

  9. Encontramos a resposta natural do circuito:
  10. v t = V 0 e - t R C

  11. E a constante de tempo:

τ = R C

Resposta ao degrau, impulso e rampa

Agora vamos estudar a resposta do circuito quando há a presença de fontes de corrente ou tensão, sem retirá-las para fazer a análise. Muitas vezes essas fontes podem ser descritas por funções singulares, como a função degrau, impulso ou rampa.

Lembrando que funções singulares são aquelas que possuem descontinuidades.

Começaremos pela função degrau unitário, que tem essa cara aqui:

Vamos encontrar a resposta ao degrau unitário no circuito abaixo:

O que queremos, então, é encontrar a tensão no capacitor v ( t ) sendo a fonte de corrente um degrau unitário i t = u ( t ) . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO: O capacitor está inicialmente descarregado. Logo, v t = 0 para t < 0 . Como o resistor está em paralelo com o capacitor, a tensão nos dois é a mesma.

Lembrando que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, então:

v 0 - = v 0 = v ( 0 + )

Por causa disso, a corrente i ( t ) no instante t ( 0 + ) tem que passar toda pelo capacitor, porque se passasse pelo resistor, a tensão no capacitor saltaria instantaneamente para um valor não nulo, o que não é permitido.

v 0 + = 0

2º PASSO: Como a corrente inicialmente passa toda pelo capacitor, ele vai carregando e sua tensão vai aumentando. A partir desse momento, uma corrente passa a circular também pelo resistor.

Aplicando LCK para t > 0 :

i = i R + i C

Sendo

i R = v R

E

i C = C d v d t

Como para t > 0 o valor da corrente na fonte é igual a 1 , temos:

1 = v R + C d v d t

3º PASSO: Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

v t = v h ( t ) + v p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

C d v d t + v R = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:

v h t = A e - t R C

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

C d v p d t + v p R = 1

Como 1 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

C d ( B ) d t + B R = 1

Como a derivada de uma constante é zero:

B = R

Portanto, a solução geral é:

v t = A e - t R C + R

4º PASSO: Calma, estamos quase acabando! Para terminar, precisamos encontrar o valor da constante A . Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial v 0 + = 0 .

0 = A e - ( 0 ) R C + R

A = - R

Substituindo:

v t = - R e - t R C + R

v t = R 1 - e - t R C

Logo, a tensão no capacitor para qualquer instante de tempo será:

v t =   0 ,                                                                 t < 0     R 1 - e - t R C ,                   t > 0    

Outra maneira de escrever seria:

v t = R 1 - e - t R C   u ( t )

Graficamente a resposta ao degrau será assim:

Vamos supor agora que a fonte de corrente i ( t ) é um impulso unitário δ ( t ) .

Então, quando i t = δ t , a corrente da fonte só não é zero em t = 0 . Logo, para t > 0 a fonte de corrente pode ser substituída por um circuito aberto, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.

Já sabemos a solução:

v t = A e - t R C

No instante t = 0 , um impulso de corrente no resistor causaria uma tensão infinita no capacitor, o que não é possível. Logo, o impulso de corrente deve passar pelo capacitor.

Agora se liga nesse teorema aqui: Um impulso unitário de corrente no capacitor altera instantaneamente sua tensão de zero para 1 / C   volts. Portanto:

v 0 + = 1 C

Sabendo disso, já podemos calcular a constante A .

1 C = A e - 0 R C

A = 1 C

Portanto, a resposta ao impulso unitário será:

v t = 1 C e - t R C   u ( t )

Para terminar, vamos analisar quando a fonte de corrente   i t for a rampa unitária r ( t ) . A gente obtém a rampa unitária integrando a função degrau unitário:

r t = ∫ - ∞ t u t   d t = t   u ( t )

Portanto, se a gente integrar a resposta ao degrau unitário, encontraremos a resposta à rampa unitária. Logo:

v t = ∫ 0 t R 1 - e - λ R C   d λ

v t = ∫ 0 t R d λ - ∫ 0 t R e - λ R C   d λ

v t = R λ t 0 + ( R 2 C e - λ R C ) t 0

v t = R t + R 2 C e - t R C - R 2 C

v t = R t + R 2 C e - t R C - 1 ,           p a r a   t > 0

Para poder assimilar tudo que estudamos até aqui, separei uns exercícios bacanas para você fixar! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Introdução a análise de circuitos - Robert L Boylestad – Ed. 12 – Exercício 10.22

Considerando a circuito da figura, composto de valores padrão:

  1. Determine a constante de tempo do circuito.
  2. Escreva a equação matemática para a tensão v c depois qua chave é fechada.
  3. Escreva a expressão matemática para a corrente i c depois que a chave é fechada.
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Passo 1

Para calcular a constante de tempo τ   , vamos usar nossa conhecida fórmula:

τ = R * C

τ = ( 68 k + 22 k ) * 18 μ

τ = 1,62 s

Passo 2

Sabemos que após a chave for fechada, ocorre o carregamento do capacitor e sua tensão aumenta de acordo com a fórmula:

V C = E * ( 1 -   e - t τ )

V C = [ 20 - ( - 40 ) ] * ( 1 -   e - t 1,62 )

V C = 60 * ( 1 -   e - t 1,62 )

Passo 3

Para calcular a corrente após a chave fechar, seguimos a fórmula:

i C =   E R *   e - t τ

i C =   60 ( 68 k + 22 k ) *   e - t 1,62

i C =   0,67 *   10 - 3 *   e - t 1,62

Resposta

a)

τ = 1,62 s

b)

V C = 60 * ( 1 -   e - t 1,62 )

c)

i C =   0,67 *   10 - 3 *   e - t 1,62

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, p.266, Problema 7.1

No circuito mostrado na figura abaixo

v t = 56 e - 200 t   V   ,               t > 0

i t = 8 e - 200 t   m A   ,               t > 0

  1. Determine os valores de R e C
  2. Calcule a constante de tempo τ
  3. Determine o tempo necessário para a tensão cair para a metade do seu valor inicial em t = 0
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Passo 1

A primeira coisa que se pede é pra calcular o valor de R e C no circuito. Se a gente observar, R e C estão em paralelo no circuito. Então, e acordo com a lei de Ohm:

V = R i

56 e - 200 t = R × 8 e - 200 t × 10 - 3

R = 7 k Ω

Passo 2

Agora precisamos calcular o valor de C. Na teoria de circuitos RC chegamos à seguinte relação:

v t = A e - t R C

Como o enunciado nos disse que a tensão é:

v t = 56 e - 200 t  

Então:

1 R C = 200

1 7 k × C = 200

C = 1 200 × 7000

C = 0,7143 µ F

Passo 3

Também na teoria de circuito RC, vimos que:

τ = R C

τ = 7000 × 0,7143 × 10 - 6

τ = 0,005   s

Passo 4

Quando t = 0 a tensão vale:

v 0 = 56 e - 200 0

v 0 = 56

Como pede o tempo para que a tensão caia à metade, então:

56 2 = 56 e - 200 t

e - 200 t = 1 2

Aplicando ln ⁡   aos dois lados da equação:

- 200 t = - 0,693

t = 3,466 m s

Resposta

  1. R = 7 k Ω e C = 0,7143 µ F
  2. τ = 0,005   s
  3. t = 3,466 m s

Exercício Resolvido #3

Livro Sadiku, p.266, Problema 7.2

Determine a constante de tempo para o circuito RC abaixo:

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Passo 1

A constante de tempo é dada pela seguinte equação:

τ = R C

O enunciado já fornece o valor do capacitor, que é de 200 m F . Falta encontrarmos o valor da resistência.

Passo 2

A resistência será a equivalente vista pelos terminais do capacitor (terminais a - b ). Ou seja: será o R T h . Para calcular o R T h , temos que curto-circuitar a fonte de tensão:

Portanto:

R T h = ( 120 | 80 + 12

R T h = 120 × 80 120 + 80 + 12

R T h = 60 Ω

Passo 3

Agora já temos os dados suficientes para o cálculo da constante de tempo:

τ = R T h C

τ = 60 × 200 × 10 - 3

τ = 12 s

Resposta

τ = 12 s

Exercício Resolvido #4

Introdução a análise de circuitos - Robert L Boylestad – Ed. 12 – Exercício 10.25 Adaptada

Considerando o circuito RC na figura composto por valores padrão:

  1. Determine a constante de tempo do circuito quando a chave é colocada na posição 1.
  2. Determine a expressão matemática para a tensão entre os terminais do capacitor após a chave ter sido colocada na posição 1.
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Passo 1

Vamos calcular a constante de tempo pedida no item a, como sabemos a fórmula é:

τ = R * C

τ = 4,7 k * 56 μ = 263,2 m s

τ = 0,26 s

Passo 2

Sabemos que quando a chave é colocada na posição 1, o capacitor é carregado e sua tensão aumenta de acordo com a fórmula:

V C = E * ( 1 -   e - t τ ) V

V C = 22 * ( 1 -   e - t 0,26 ) V

Resposta

τ = 0,26 s

V C = 22 * ( 1 -   e - t 0,26 ) V

Exercício Resolvido #5

Livro Sadiku, p.266, Problema 7.6

A chave do circuito abaixo foi fechada há um bom tempo e é aberta em t = 0 . Determine v ( t ) para t ≥ 0 .

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Passo 1

O enunciado diz que a chave do circuito estava fechada há um bom tempo e que, posteriormente, foi aberta. Isso significa que o capacitor está totalmente carregado e isso faz com que ele tenha uma tensão diferente de zero em t = 0 .

Passo 2

Então, vamos encontrar essa tensão em t = 0 :

Para isso, temos que lembrar que o capacitor em CC é um circuito aberto. Logo, podemos encontrar v t no circuito abaixo:

Aplicando divisor de tensão:

v t = 2 × 10 3 2 + 10 × 10 3   × 40

v t = 6,67   V

Em t = 0 - a chave está na iminência de abrir, mas ainda não abriu, e temos exatamente o circuito acima. Portanto:

v 0 - = 6,67   V

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente:

v 0 - = v 0 = v 0 + = 6,67   V

Passo 3

Agora que já encontramos o valor da tensão no instante inicial, vamos encontra-la para t > 0 .

Quando a chave é aberta, temos o circuito abaixo e toda a energia armazenada no capacitor vai começar a descarregar no resistor de 2   k Ω .

Como podemos ver, o circuito acima é o circuito RC sem fonte, e sabemos que a sua resposta natural será:

v t = A e - t R C

Calma, foi muito rápido? Vou relembra como chegamos nessa resposta.

Vamos desenhar as correntes:

Agora, vamos aplicar a LCK no nó amarelo:

i C + i R = 0

A gente sabe quais são as relações de corrente no capacitor e no resistor:

i C = C d v d t

i R = v R

Substituindo:

C d v d t + v R = 0

Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

C r + 1 R = 0

r = - 1 R × 1 C

r = - 1 R C

Sabemos que a solução geral da equação é dada por:

v t = A e r t

Sendo A uma constante.

Substituindo o valor de r encontrado, temos:

v t = A e - t R C

Viu só?

Agora, como R = 2   k Ω e C = 40   μ F :

v t = A e - t 0,08

Passo 4

Para terminar, precisamos encontrar a constante A . Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial, pois em t = 0 + a chave acabou de se abrir:

v 0 + = 6,67 = A e - 0 0,08