Circuito RC

Teoria Completa

Fala aí, beleza? Agora estudaremos os circuitos com resistores e capacitores e vamos querer saber o que acontece com a tensão e corrente nesses elementos ao longo do tempo.

Supondo que a gente tenha o circuito abaixo e deseja-se calcular a tensão v no capacitor para todo instante de tempo a partir da chave se abrir, como resolveríamos? É isso que vamos descobrir agora!

Circuito RC sem fonte

Para começar, a gente impõe que a chave esteja fechada por um longo período de tempo:

Aí, de repente a gente abre a chave:

Quando a gente faz isso, o circuito passa a ser o resistor em série com o capacitor:

Esse circuito é chamado de circuito RC sem fonte. Agora, nossa missão é encontrar a tensão v t do capacitor.

Como a chave estava anteriormente fechada, o capacitor está inicialmente carregado. Então, a gente diz que no instante t = 0 a tensão inicial do capacitor será a própria tensão da fonte, já que a fonte de tensão e o capacitor estão em paralelo.

v 0 = 10   V

Agora, vamos aplicar a LCK no nó amarelo:

i C + i R = 0

A gente sabe quais são as relações de corrente no capacitor e no resistor:

i C = C d v d t = 0,2 × d v d t

i R = v R = v 10

Substituindo:

( 0,2 ) × d v d t + v 10 = 0

Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

0,2 r + 1 10 = 0

r = - 1 10 × 1 0,2

r = - 1 2

Sabemos que a solução geral da equação é dada por:

v t = A e r t

Sendo A uma constante.

Substituindo o valor de r encontrado, temos:

v t = A e - t 2

Agora, a gente tem que encontrar o valor da constante A . Lembra lá no início que a gente encontrou a tensão em t = 0 ? Então, utilizaremos essa condição inicial aqui:

v 0 = 10 = A e - 0 2

Logo,

A = 10

Beleza! Então nossa solução final é:

v t = 10 e - t 2     V ,     p a r a   t > 0

Essa solução é chamada de resposta natural do circuito, pois ela só depende da energia armazena inicialmente e dos valores dos elementos do circuito.

No momento em que retiramos a fonte de tensão não há a presença de excitação externa no circuito, apenas a energia armazenada no capacitor.

Agora, vamos analisar o gráfico da resposta natural.

Podemos perceber no gráfico que ele parte da tensão inicial de 10   V e decresce exponencialmente até chegar a zero. Normalmente, quando queremos falar sobre a velocidade com que a essa tensão decai, falamos sobre a constante de tempo (τ) do circuito.

Por definição, a constante de tempo (τ) de um circuito é o tempo necessário para que a tensão caia 36,8% do seu valor inicial. Ou seja, para o nosso circuito, a constante de tempo seria 2   s .

τ = 2   s

Se a gente voltar nas equações, veremos que o valor de τ surgiu do produto entre a capacitância e resistência:

C × R = 0,2 × 10 = 2

Logo, para esse circuito, a constante de tempo depende exclusivamente do valor dos elementos passivos.

τ = R C

Ufa! Muita coisa nova né?!

Vamos relembrar os passos até aqui:

  1. Capacitor está inicialmente carregado com uma tensão inicial:
  2. v 0 = V 0

  3. Aplicando LCK chegamos à EDO:
  4. C d v d t + v R = 0

  5. Resolvendo a EDO:
  6. v t = A e - t R C

  7. Encontrar A a partir da condição inicial:
  8. A = v 0 = V 0

  9. Encontramos a resposta natural do circuito:
  10. v t = V 0 e - t R C

  11. E a constante de tempo:

τ = R C

Resposta ao degrau, impulso e rampa

Agora vamos estudar a resposta do circuito quando há a presença de fontes de corrente ou tensão, sem retirá-las para fazer a análise. Muitas vezes essas fontes podem ser descritas por funções singulares, como a função degrau, impulso ou rampa.

Lembrando que funções singulares são aquelas que possuem descontinuidades.

Começaremos pela função degrau unitário, que tem essa cara aqui:

Vamos encontrar a resposta ao degrau unitário no circuito abaixo:

O que queremos, então, é encontrar a tensão no capacitor v ( t ) sendo a fonte de corrente um degrau unitário i t = u ( t ) . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO: O capacitor está inicialmente descarregado. Logo, v t = 0 para t < 0 . Como o resistor está em paralelo com o capacitor, a tensão nos dois é a mesma.

Lembrando que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, então:

v 0 - = v 0 = v ( 0 + )

Por causa disso, a corrente i ( t ) no instante t ( 0 + ) tem que passar toda pelo capacitor, porque se passasse pelo resistor, a tensão no capacitor saltaria instantaneamente para um valor não nulo, o que não é permitido.

v 0 + = 0

2º PASSO: Como a corrente inicialmente passa toda pelo capacitor, ele vai carregando e sua tensão vai aumentando. A partir desse momento, uma corrente passa a circular também pelo resistor.

Aplicando LCK para t > 0 :

i = i R + i C

Sendo

i R = v R

E

i C = C d v d t

Como para t > 0 o valor da corrente na fonte é igual a 1 , temos:

1 = v R + C d v d t

3º PASSO: Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

v t = v h ( t ) + v p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

C d v d t + v R = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:

v h t = A e - t R C

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

C d v p d t + v p R = 1

Como 1 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

C d ( B ) d t + B R = 1

Como a derivada de uma constante é zero:

B = R

Portanto, a solução geral é:

v t = A e - t R C + R

4º PASSO: Calma, estamos quase acabando! Para terminar, precisamos encontrar o valor da constante A . Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial v 0 + = 0 .

0 = A e - ( 0 ) R C + R

A = - R

Substituindo:

v t = - R e - t R C + R

v t = R 1 - e - t R C

Logo, a tensão no capacitor para qualquer instante de tempo será:

v t =   0 ,                                                                 t < 0     R 1 - e - t R C ,                   t > 0    

Outra maneira de escrever seria:

v t = R 1 - e - t R C   u ( t )

Graficamente a resposta ao degrau será assim:

Vamos supor agora que a fonte de corrente i ( t ) é um impulso unitário δ ( t ) .

Então, quando i t = δ t , a corrente da fonte só não é zero em t = 0 . Logo, para t > 0 a fonte de corrente pode ser substituída por um circuito aberto, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.

Já sabemos a solução:

v t = A e - t R C

No instante t = 0 , um impulso de corrente no resistor causaria uma tensão infinita no capacitor, o que não é possível. Logo, o impulso de corrente deve passar pelo capacitor.

Agora se liga nesse teorema aqui: Um impulso unitário de corrente no capacitor altera instantaneamente sua tensão de zero para 1 / C   volts. Portanto:

v 0 + = 1 C

Sabendo disso, já podemos calcular a constante A .

1 C = A e - 0 R C

A = 1 C

Portanto, a resposta ao impulso unitário será:

v t = 1 C e - t R C   u ( t )

Para terminar, vamos analisar quando a fonte de corrente   i t for a rampa unitária r ( t ) . A gente obtém a rampa unitária integrando a função degrau unitário:

r t = ∫ - ∞ t u t   d t = t   u ( t )

Portanto, se a gente integrar a resposta ao degrau unitário, encontraremos a resposta à rampa unitária. Logo:

v t = ∫ 0 t R 1 - e - λ R C   d λ