Teoria Completa
Fala aí, beleza? Agora estudaremos os circuitos com resistores e capacitores e vamos querer saber o que acontece com a tensão e corrente nesses elementos ao longo do tempo.
Supondo que a gente tenha o circuito abaixo e deseja-se calcular a tensão no capacitor para todo instante de tempo a partir da chave se abrir, como resolveríamos? É isso que vamos descobrir agora!
Circuito RC sem fonte
Para começar, a gente impõe que a chave esteja fechada por um longo período de tempo:
Aí, de repente a gente abre a chave:
Quando a gente faz isso, o circuito passa a ser o resistor em série com o capacitor:
Esse circuito é chamado de circuito RC sem fonte. Agora, nossa missão é encontrar a tensão do capacitor.
Como a chave estava anteriormente fechada, o capacitor está inicialmente carregado. Então, a gente diz que no instante a tensão inicial do capacitor será a própria tensão da fonte, já que a fonte de tensão e o capacitor estão em paralelo.
Agora, vamos aplicar a LCK no nó amarelo:
A gente sabe quais são as relações de corrente no capacitor e no resistor:
Substituindo:
Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?
Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:
Sabemos que a solução geral da equação é dada por:
Sendo uma constante.
Substituindo o valor de encontrado, temos:
Agora, a gente tem que encontrar o valor da constante . Lembra lá no início que a gente encontrou a tensão em ? Então, utilizaremos essa condição inicial aqui:
Logo,
Beleza! Então nossa solução final é:
Essa solução é chamada de resposta natural do circuito, pois ela só depende da energia armazena inicialmente e dos valores dos elementos do circuito.
No momento em que retiramos a fonte de tensão não há a presença de excitação externa no circuito, apenas a energia armazenada no capacitor.
Agora, vamos analisar o gráfico da resposta natural.
Podemos perceber no gráfico que ele parte da tensão inicial de e decresce exponencialmente até chegar a zero. Normalmente, quando queremos falar sobre a velocidade com que a essa tensão decai, falamos sobre a constante de tempo (τ) do circuito.
Por definição, a constante de tempo (τ) de um circuito é o tempo necessário para que a tensão caia 36,8% do seu valor inicial. Ou seja, para o nosso circuito, a constante de tempo seria .
Se a gente voltar nas equações, veremos que o valor de τ surgiu do produto entre a capacitância e resistência:
Logo, para esse circuito, a constante de tempo depende exclusivamente do valor dos elementos passivos.
Ufa! Muita coisa nova né?!
Vamos relembrar os passos até aqui:
- Capacitor está inicialmente carregado com uma tensão inicial:
- Aplicando LCK chegamos à EDO:
- Resolvendo a EDO:
- Encontrar a partir da condição inicial:
- Encontramos a resposta natural do circuito:
- E a constante de tempo:
Resposta ao degrau, impulso e rampa
Agora vamos estudar a resposta do circuito quando há a presença de fontes de corrente ou tensão, sem retirá-las para fazer a análise. Muitas vezes essas fontes podem ser descritas por funções singulares, como a função degrau, impulso ou rampa.
Lembrando que funções singulares são aquelas que possuem descontinuidades.
Começaremos pela função degrau unitário, que tem essa cara aqui:
Vamos encontrar a resposta ao degrau unitário no circuito abaixo:
O que queremos, então, é encontrar a tensão no capacitor sendo a fonte de corrente um degrau unitário . Para isso, vamos seguir esses passos:
1º PASSO: O capacitor está inicialmente descarregado. Logo, para . Como o resistor está em paralelo com o capacitor, a tensão nos dois é a mesma.
Lembrando que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, então:
Por causa disso, a corrente no instante tem que passar toda pelo capacitor, porque se passasse pelo resistor, a tensão no capacitor saltaria instantaneamente para um valor não nulo, o que não é permitido.
2º PASSO: Como a corrente inicialmente passa toda pelo capacitor, ele vai carregando e sua tensão vai aumentando. A partir desse momento, uma corrente passa a circular também pelo resistor.
Aplicando LCK para :
Sendo
E
Como para o valor da corrente na fonte é igual a , temos:
3º PASSO: Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.
Primeiro, vamos resolver a homogênea:
Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:
Agora, precisamos encontrar a solução particular.
Como é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:
sendo uma constante.
Substituindo, temos:
Como a derivada de uma constante é zero:
Portanto, a solução geral é:
4º PASSO: Calma, estamos quase acabando! Para terminar, precisamos encontrar o valor da constante Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial
Substituindo:
Logo, a tensão no capacitor para qualquer instante de tempo será:
Outra maneira de escrever seria:
Graficamente a resposta ao degrau será assim:
Vamos supor agora que a fonte de corrente é um impulso unitário .
Então, quando a corrente da fonte só não é zero em Logo, para a fonte de corrente pode ser substituída por um circuito aberto, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.
Já sabemos a solução:
No instante , um impulso de corrente no resistor causaria uma tensão infinita no capacitor, o que não é possível. Logo, o impulso de corrente deve passar pelo capacitor.
Agora se liga nesse teorema aqui: Um impulso unitário de corrente no capacitor altera instantaneamente sua tensão de zero para volts. Portanto:
Sabendo disso, já podemos calcular a constante .
Portanto, a resposta ao impulso unitário será:
Para terminar, vamos analisar quando a fonte de corrente for a rampa unitária . A gente obtém a rampa unitária integrando a função degrau unitário:
Portanto, se a gente integrar a resposta ao degrau unitário, encontraremos a resposta à rampa unitária. Logo:
Para poder assimilar tudo que estudamos até aqui, separei uns exercícios bacanas para você fixar! ;)
Exercício Resolvido #1
Considerando a circuito da figura, composto de valores padrão:
- Determine a constante de tempo do circuito.
- Escreva a equação matemática para a tensão depois qua chave é fechada.
- Escreva a expressão matemática para a corrente depois que a chave é fechada.
Passo 1
Para calcular a constante de tempo , vamos usar nossa conhecida fórmula:
Passo 2
Sabemos que após a chave for fechada, ocorre o carregamento do capacitor e sua tensão aumenta de acordo com a fórmula:
Passo 3
Para calcular a corrente após a chave fechar, seguimos a fórmula:
Resposta
a)
b)
c)
Exercício Resolvido #2
No circuito mostrado na figura abaixo
- Determine os valores de R e C
- Calcule a constante de tempo
- Determine o tempo necessário para a tensão cair para a metade do seu valor inicial em
Passo 1
A primeira coisa que se pede é pra calcular o valor de R e C no circuito. Se a gente observar, R e C estão em paralelo no circuito. Então, e acordo com a lei de Ohm:
Passo 2
Agora precisamos calcular o valor de C. Na teoria de circuitos RC chegamos à seguinte relação:
Como o enunciado nos disse que a tensão é:
Então:
Passo 3
Também na teoria de circuito RC, vimos que:
Passo 4
Quando a tensão vale:
Como pede o tempo para que a tensão caia à metade, então:
Aplicando aos dois lados da equação:
Resposta
- e
Exercício Resolvido #3
Determine a constante de tempo para o circuito RC abaixo:
Passo 1
A constante de tempo é dada pela seguinte equação:
O enunciado já fornece o valor do capacitor, que é de . Falta encontrarmos o valor da resistência.
Passo 2
A resistência será a equivalente vista pelos terminais do capacitor (terminais ). Ou seja: será o . Para calcular o , temos que curto-circuitar a fonte de tensão:
Portanto:
Passo 3
Agora já temos os dados suficientes para o cálculo da constante de tempo:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considerando o circuito RC na figura composto por valores padrão:
- Determine a constante de tempo do circuito quando a chave é colocada na posição 1.
- Determine a expressão matemática para a tensão entre os terminais do capacitor após a chave ter sido colocada na posição 1.
Passo 1
Vamos calcular a constante de tempo pedida no item a, como sabemos a fórmula é:
Passo 2
Sabemos que quando a chave é colocada na posição 1, o capacitor é carregado e sua tensão aumenta de acordo com a fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #5
A chave do circuito abaixo foi fechada há um bom tempo e é aberta em . Determine para
Passo 1
O enunciado diz que a chave do circuito estava fechada há um bom tempo e que, posteriormente, foi aberta. Isso significa que o capacitor está totalmente carregado e isso faz com que ele tenha uma tensão diferente de zero em .
Passo 2
Então, vamos encontrar essa tensão em
Para isso, temos que lembrar que o capacitor em CC é um circuito aberto. Logo, podemos encontrar no circuito abaixo:
Aplicando divisor de tensão:
Em a chave está na iminência de abrir, mas ainda não abriu, e temos exatamente o circuito acima. Portanto:
Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente:
Passo 3
Agora que já encontramos o valor da tensão no instante inicial, vamos encontra-la para .
Quando a chave é aberta, temos o circuito abaixo e toda a energia armazenada no capacitor vai começar a descarregar no resistor de .
Como podemos ver, o circuito acima é o circuito RC sem fonte, e sabemos que a sua resposta natural será:
Calma, foi muito rápido? Vou relembra como chegamos nessa resposta.
Vamos desenhar as correntes:
Agora, vamos aplicar a LCK no nó amarelo:
A gente sabe quais são as relações de corrente no capacitor e no resistor:
Substituindo:
Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?
Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:
Sabemos que a solução geral da equação é dada por:
Sendo uma constante.
Substituindo o valor de encontrado, temos:
Viu só?
Agora, como e :
Passo 4
Para terminar, precisamos encontrar a constante . Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial, pois em a chave acabou de se abrir:
Logo, a tensão no capacitor para será: