Teoria Completa
E aí, tranquilidade? Agora estudaremos os circuitos com resistores e indutores e vamos querer saber o que acontece com a tensão e corrente nesses elementos ao longo do tempo.
Vamos supor que a gente tenha o circuito abaixo e deseja-se calcular como resposta a corrente no indutor para todo instante de tempo, como resolveríamos? É isso que vamos descobrir agora!
Circuito RL sem fonte
Esse circuito com resistor em série com o indutor, sem a presença de alguma fonte de tensão ou corrente ligada, é chamado de circuito RL sem fonte.
Para começar, a gente supõe que em o indutor tem uma corrente inicial de , ou seja:
Agora, vamos aplicar a LTK, no circuito acima:
Como a gente sabe que
e
Substituindo:
Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?
Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:
Sabemos que a solução geral da equação é dada por:
Sendo uma constante.
Substituindo o valor de encontrado, temos:
Agora, a gente tem que encontrar o valor da constante . Lembra lá no início que o indutor tem uma corrente inicial de ? Então, utilizaremos essa condição inicial aqui:
Logo,
Beleza! Então nossa solução final é:
Essa solução é chamada de resposta natural do circuito, pois ela só depende da energia armazena inicialmente no indutor e dos valores dos elementos do circuito.
Agora, vamos analisar o gráfico da resposta natural.
A gente vê que a corrente inicial decresce exponencialmente até chegar a zero. Assim como o circuito RC, o circuito RL também possui constante de tempo (τ).
Por definição, a constante de tempo (τ) de um circuito é o tempo necessário para que a corrente caia a 36,8% do seu valor inicial. Ou seja, para o nosso circuito, a constante de tempo seria .
Se a gente voltar nas equações, veremos que o valor de τ pode ser obtido dividindo o valor da indutância pela resistência:
Logo, para o circuito RL, a constante de tempo também depende exclusivamente do valor dos elementos passivos.
Vamos relembrar os passos até aqui:
- Circula no indutor uma corrente inicial:
- Aplicando LTK chegamos à EDO:
- Resolvendo a EDO:
- Encontrar a partir da condição inicial:
- Encontramos a resposta natural do circuito:
- E a constante de tempo:
Resposta ao degrau, impulso e rampa
Agora vamos estudar a resposta do circuito quando há a presença de fontes de corrente ou tensão. Muitas vezes essas fontes podem ser descritas pelas funções singulares, como a função degrau, impulso ou rampa.
Começaremos pela função degrau unitário, que tem essa cara aqui:
Vamos encontrar a resposta ao degrau unitário no circuito abaixo:
O que queremos, então, é encontrar a corrente sendo a fonte de corrente um degrau unitário . Para isso, vamos seguir esses passos:
1º PASSO: Como a fonte de tensão é um degrau unitário, até o instante , não há circulação de corrente no circuito. Logo, para . Lembrando que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então:
2º PASSO: Agora, vamos aplicar a Lei das tensões de Kirchhoff.
Sendo
e
Como para o valor da fonte de tensão é igual a , temos:
3º PASSO: Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.
Primeiro, vamos resolver a homogênea:
Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:
Agora, precisamos encontrar a solução particular.
Como é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:
sendo uma constante.
Substituindo, temos:
Como a derivada de uma constante é zero:
Portanto, a solução geral é:
4º PASSO: Calma, estamos quase lá! Para terminar, precisamos encontrar o valor da constante Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial
Substituindo:
Logo, a corrente no indutor para qualquer instante de tempo será:
Outra maneira de escrever seria:
Graficamente a resposta ao degrau será assim:
Vamos supor agora que a fonte de corrente é um impulso unitário .
Então, quando a tensão da fonte só não é zero em Logo, para a fonte de tensão pode ser substituída por um curto-circuito, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.
No qual já sabemos a solução:
No instante , um impulso de tensão no resistor causaria uma corrente infinita passando pelo indutor, o que não é possível. Logo, o impulso de tensão deve ser aplicado no indutor.
Agora se liga nesse teorema aqui: Um impulso unitário de tensão no indutor altera instantaneamente sua corrente de zero para ampéres. Portanto:
Sabendo disso, já podemos calcular a constante .
Portanto, a resposta ao impulso unitário será:
Para terminar, vamos analisar quando a fonte de tensão for a rampa unitária . A gente obtém a rampa unitária integrando a função degrau unitário:
Portanto, se a gente integrar a resposta ao degrau unitário, encontraremos a resposta à rampa unitária. Logo:
Pronto, muita coisa, né? Mas relaxa, separei uns exercícios bacanas para você arrebentar! ;)
Exercício Resolvido #1
Calcule a constante de tempo do circuito abaixo
Passo 1
O circuito acima possui um indutor e vários resistores. Para encontrarmos o valor da constante de tempo, precisamos transformar esse circuito no circuito RL sem fonte que conhecemos.
Passo 2
Para isso, vamos calcular a resistência equivalente de Thévenin nos terminais do indutor.
Fazendo a associação em série dos resistores:
Passo 3
Como esses resistores estão associados em paralelo:
Passo 4
Pronto, agora que encontramos , chegamos ao nosso circuito RL sem fonte, com apenas um resistor e um indutor.
A gente conhece a constante de tempo para esse circuito.
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Para o circuito da figura, composto de valores padrão:
- Determine a constante de tempo.
- Escreva a expressão matemática para a corrente após a chave ser fechada.
- Repita o item (b) para e .
- Determine e em uma, três e cinco constantes de tempo.
Passo 1
A constante de tempo para o circuito RL é dada pela fórmula:
Passo 2
Após a chave ser fechada, no caso do indutor, a corrente irá aumentar de acordo com a fórmula:
Passo 3
Vamos calcular a tensão no indutor após o fechamento da chave, ela irá decrescer ao longo do tempo:
Passo 4
Se a tensão do indutor está decrescendo, a tensão no resistor irá aumentar ao longo do tempo:
Passo 5
Vamos calcular e segundo as seguintes equações:
Para :
Para :
Para :
Resposta
a)
b)
c)
d)
Para :
Para :
Para :
Exercício Resolvido #3
Dada a fonte de 18V, use os valores padrão para projetar um circuito com a resposta da figura:
Passo 1
Pelo que foi dito no enunciado já sabemos que . E que a constante de tempo é igual a:
Passo 2
Sabemos que a corrente máxima que circula pelo indutor é quando e segue a fórmula:
Substituindo os valores que já sabemos:
Passo 3
Como sabemos que a constante de tempo segue a fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Determine e no circuito abaixo
Passo 1
O circuito acima é um circuito RL sem fonte. Precisamos encontrar os valores da resistência, da indutância e da constante de tempo. A gente viu na teoria que a corrente nesse circuito tem a seguinte relação geral:
Passo 2
A corrente nesse circuito é dada no enunciado:
Comparando as equações a gente pode ver que:
Como
Passo 3
Já encontramos a constante de tempo. Agora, vamos encontrar o valor de .
Vamos utilizar a famosa lei de Ohm:
Passo 4
Agora precisamos calcular o valor de . Sabemos que
Então:
Como
Resposta
Exercício Resolvido #5
Determine e para no circuito abaixo se
Passo 1
O circuito acima possui um indutor e vários resistores. Precisamos transformá-lo no circuito RL sem fonte com apenas um resistor e um indutor, para encontrarmos a corrente e a tensão .
Passo 2
Para isso, vamos calcular a resistência equivalente de Thévenin nos terminais do indutor.
Vamos ajeitar o circuito para visualizar melhor e ajudar a gente.
Passo 3
Logo, a gente vê que o resistor de está em série com a associação em paralelo dos resistores de e .
Passo 4
Pronto, agora que encontramos , chegamos ao nosso circuito RC sem fonte, com apenas um resistor e um indutor.
A gente conhece a constante de tempo para esse circuito.