Circuitos RL

Teoria Completa

E aí, tranquilidade? Agora estudaremos os circuitos com resistores e indutores e vamos querer saber o que acontece com a tensão e corrente nesses elementos ao longo do tempo.

Vamos supor que a gente tenha o circuito abaixo e deseja-se calcular como resposta a corrente no indutor i para todo instante de tempo, como resolveríamos? É isso que vamos descobrir agora!

Circuito RL sem fonte

Esse circuito com resistor em série com o indutor, sem a presença de alguma fonte de tensão ou corrente ligada, é chamado de circuito RL sem fonte.

Para começar, a gente supõe que em t = 0 o indutor tem uma corrente inicial de 6   A , ou seja:

i 0 = 6   A

Agora, vamos aplicar a LTK, no circuito acima:

v L + v R = 0

Como a gente sabe que

v L = L d i d t = 0,5 d i d t

e

v R = R i = 2 i

Substituindo:

0,5 d i d t + 2 i = 0

Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

0,5 r + 2 = 0

r = - 2 0,5

r = - 4

Sabemos que a solução geral da equação é dada por:

i t = A e r t

Sendo A uma constante.

Substituindo o valor de r encontrado, temos:

i t = A e - 4 t

Agora, a gente tem que encontrar o valor da constante A . Lembra lá no início que o indutor tem uma corrente inicial de 6   A ? Então, utilizaremos essa condição inicial aqui:

i 0 = 6 = A e - 4 ( 0 )

Logo,

A = 6

Beleza! Então nossa solução final é:

i t = 6 e - 4 t     A ,     p a r a   t ≥ 0

Essa solução é chamada de resposta natural do circuito, pois ela só depende da energia armazena inicialmente no indutor e dos valores dos elementos do circuito.

Agora, vamos analisar o gráfico da resposta natural.

A gente vê que a corrente inicial decresce exponencialmente até chegar a zero. Assim como o circuito RC, o circuito RL também possui constante de tempo (τ).

Por definição, a constante de tempo (τ) de um circuito é o tempo necessário para que a corrente caia a 36,8% do seu valor inicial. Ou seja, para o nosso circuito, a constante de tempo seria 0,25   s .

τ = 0,25   s

Se a gente voltar nas equações, veremos que o valor de τ pode ser obtido dividindo o valor da indutância pela resistência:

L R = 0,5 2 = 0,25

Logo, para o circuito RL, a constante de tempo também depende exclusivamente do valor dos elementos passivos.

τ = L R

Vamos relembrar os passos até aqui:

  1. Circula no indutor uma corrente inicial:
  2. i 0 = I 0

  3. Aplicando LTK chegamos à EDO:
  4. L d i d t + R i = 0

  5. Resolvendo a EDO:
  6. i t = A e - R t L

  7. Encontrar A a partir da condição inicial:
  8. A = i 0 = I 0

  9. Encontramos a resposta natural do circuito:
  10. i t = I 0 e - R t L = I 0 e - t τ

  11. E a constante de tempo:

τ = L R

Resposta ao degrau, impulso e rampa

Agora vamos estudar a resposta do circuito quando há a presença de fontes de corrente ou tensão. Muitas vezes essas fontes podem ser descritas pelas funções singulares, como a função degrau, impulso ou rampa.

Começaremos pela função degrau unitário, que tem essa cara aqui:

Vamos encontrar a resposta ao degrau unitário no circuito abaixo:

O que queremos, então, é encontrar a corrente i ( t ) sendo a fonte de corrente um degrau unitário v t = u ( t ) . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO: Como a fonte de tensão é um degrau unitário, até o instante t = 0 , não há circulação de corrente no circuito. Logo, i t = 0 para t < 0 . Lembrando que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então:

i 0 - = i 0 = i 0 + = 0

2º PASSO: Agora, vamos aplicar a Lei das tensões de Kirchhoff.

v = v R + v L

Sendo

v R = R i

e

v L = L d i d t

Como para t > 0 o valor da fonte de tensão é igual a 1 , temos:

1 = R i + L d i d t

3º PASSO: Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

i t = i h ( t ) + i p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

L d i h d t + R i h = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:

i h t = A e - R t L

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

L d i p d t + R i p = 1

Como 1 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

L d ( B ) d t + R ( B ) = 1

Como a derivada de uma constante é zero:

B = 1 R

Portanto, a solução geral é:

i t = A e - R t L + 1 R

4º PASSO: Calma, estamos quase lá! Para terminar, precisamos encontrar o valor da constante A . Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial i 0 + = 0 .

0 = A e - R 0 L + 1 R

A = - 1 R

Substituindo:

i t = - 1 R e - R t L + 1 R

i t = 1 R 1 - e - R t L

Logo, a corrente no indutor para qualquer instante de tempo será:

i t = 0 ,                                                                         t < 0         1 R 1 - e - R t L ,                         t > 0      

Outra maneira de escrever seria:

i t = 1 R 1 - e - R t L u ( t )

Graficamente a resposta ao degrau será assim:

Vamos supor agora que a fonte de corrente v ( t ) é um impulso unitário δ ( t ) .

Então, quando v t = δ t , a tensão da fonte só não é zero em t = 0 . Logo, para t > 0 a fonte de tensão pode ser substituída por um curto-circuito, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.

No qual já sabemos a solução:

i t = A e - R t L

No instante t = 0 , um impulso de tensão no resistor causaria uma corrente infinita passando pelo indutor, o que não é possível. Logo, o impulso de tensão deve ser aplicado no indutor.

Agora se liga nesse teorema aqui: Um impulso unitário de tensão no indutor altera instantaneamente sua corrente de zero para 1 / L   ampéres. Portanto:

i 0 + = 1 L

Sabendo disso, já podemos calcular a constante A .

1 L = A e -   R ( 0 ) L

A = 1 L

Portanto, a resposta ao impulso unitário será:

i t = 1 L e -   R t L   u ( t )

Para terminar, vamos analisar quando a fonte de tensão   v t for a rampa unitária r ( t ) . A gente obtém a rampa unitária integrando a função degrau unitário:

r t = ∫ - ∞ t u t   d t = t   u ( t )

Portanto, se a gente integrar a resposta ao degrau unitário, encontraremos a resposta à rampa unitária. Logo:

i t = ∫ 0 t 1 R 1 - e - R L λ   d λ

i t = ∫ 0 t 1 R d λ - ∫ 0 t 1 R e - R L λ   d λ

i t = 1 R λ t 0 + L R 2 e - R L λ t 0

i t = 1 R t + L R 2 e - R L t - L R 2

i t = 1 R t + L R 2 e - R L t - 1 ,           p a r a   t > 0

Pronto, muita coisa, né? Mas relaxa, separei uns exercícios bacanas para você arrebentar! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.267, Problema 7.14

Calcule a constante de tempo do circuito abaixo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O circuito acima possui um indutor e vários resistores. Para encontrarmos o valor da constante de tempo, precisamos transformar esse circuito no circuito RL sem fonte que conhecemos.

Passo 2

Para isso, vamos calcular a resistência equivalente de Thévenin nos terminais do indutor.

Fazendo a associação em série dos resistores:

Passo 3

Como esses resistores estão associados em paralelo:

R T h = 60 × 40 60 + 40

R T h = 2400 100 = 24   k Ω  

Passo 4

Pronto, agora que encontramos R T h , chegamos ao nosso circuito RL sem fonte, com apenas um resistor e um indutor.