Circuitos RL

Teoria Completa

E aí, tranquilidade? Agora estudaremos os circuitos com resistores e indutores e vamos querer saber o que acontece com a tensão e corrente nesses elementos ao longo do tempo.

Vamos supor que a gente tenha o circuito abaixo e deseja-se calcular como resposta a corrente no indutor i para todo instante de tempo, como resolveríamos? É isso que vamos descobrir agora!

Circuito RL sem fonte

Esse circuito com resistor em série com o indutor, sem a presença de alguma fonte de tensão ou corrente ligada, é chamado de circuito RL sem fonte.

Para começar, a gente supõe que em t = 0 o indutor tem uma corrente inicial de 6   A , ou seja:

i 0 = 6   A

Agora, vamos aplicar a LTK, no circuito acima:

v L + v R = 0

Como a gente sabe que

v L = L d i d t = 0,5 d i d t

e

v R = R i = 2 i

Substituindo:

0,5 d i d t + 2 i = 0

Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

0,5 r + 2 = 0

r = - 2 0,5

r = - 4

Sabemos que a solução geral da equação é dada por:

i t = A e r t

Sendo A uma constante.

Substituindo o valor de r encontrado, temos:

i t = A e - 4 t

Agora, a gente tem que encontrar o valor da constante A . Lembra lá no início que o indutor tem uma corrente inicial de 6   A ? Então, utilizaremos essa condição inicial aqui:

i 0 = 6 = A e - 4 ( 0 )

Logo,

A = 6

Beleza! Então nossa solução final é:

i t = 6 e - 4 t     A ,     p a r a   t ≥ 0

Essa solução é chamada de resposta natural do circuito, pois ela só depende da energia armazena inicialmente no indutor e dos valores dos elementos do circuito.

Agora, vamos analisar o gráfico da resposta natural.

A gente vê que a corrente inicial decresce exponencialmente até chegar a zero. Assim como o circuito RC, o circuito RL também possui constante de tempo (τ).

Por definição, a constante de tempo (τ) de um circuito é o tempo necessário para que a corrente caia a 36,8% do seu valor inicial. Ou seja, para o nosso circuito, a constante de tempo seria 0,25   s .

τ = 0,25   s

Se a gente voltar nas equações, veremos que o valor de τ pode ser obtido dividindo o valor da indutância pela resistência:

L R = 0,5 2 = 0,25

Logo, para o circuito RL, a constante de tempo também depende exclusivamente do valor dos elementos passivos.

τ = L R

Vamos relembrar os passos até aqui:

  1. Circula no indutor uma corrente inicial:
  2. i 0 = I 0

  3. Aplicando LTK chegamos à EDO:
  4. L d i d t + R i = 0

  5. Resolvendo a EDO:
  6. i t = A e - R t L

  7. Encontrar A a partir da condição inicial:
  8. A = i 0 = I 0

  9. Encontramos a resposta natural do circuito:
  10. i t = I 0 e - R t L = I 0 e - t τ

  11. E a constante de tempo:

τ = L R

Resposta ao degrau, impulso e rampa

Agora vamos estudar a resposta do circuito quando há a presença de fontes de corrente ou tensão. Muitas vezes essas fontes podem ser descritas pelas funções singulares, como a função degrau, impulso ou rampa.

Começaremos pela função degrau unitário, que tem essa cara aqui:

Vamos encontrar a resposta ao degrau unitário no circuito abaixo:

O que queremos, então, é encontrar a corrente i ( t ) sendo a fonte de corrente um degrau unitário v t = u ( t ) . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO: Como a fonte de tensão é um degrau unitário, até o instante t = 0 , não há circulação de corrente no circuito. Logo, i t = 0 para t < 0 . Lembrando que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então:

i 0 - = i 0 = i 0 + = 0

2º PASSO: Agora, vamos aplicar a Lei das tensões de Kirchhoff.

v = v R + v L

Sendo

v R = R i

e

v L = L d i d t

Como para t > 0 o valor da fonte de tensão é igual a 1 , temos:

1 = R i + L d i d t

3º PASSO: Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

i t = i h ( t ) + i p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

L d i h d t + R i h = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:

i h t = A e - R t L

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

L d i p d t + R i p = 1

Como 1 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

L d ( B ) d t + R ( B ) = 1

Como a derivada de uma constante é zero:

B = 1 R

Portanto, a solução geral é:

i t = A e - R t L + 1 R

4º PASSO: Calma, estamos quase lá! Para terminar, precisamos encontrar o valor da constante A . Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial i 0 + = 0 .

0 = A e - R 0 L + 1 R

A = - 1 R

Substituindo:

i t = - 1 R e - R t L + 1 R

i t = 1 R 1 - e - R t L

Logo, a corrente no indutor para qualquer instante de tempo será:

i t = 0 ,                                                                         t < 0         1 R 1 - e - R t L ,                         t > 0      

Outra maneira de escrever seria:

i t = 1 R 1 - e - R t L u ( t )

Graficamente a resposta ao degrau será assim:

Vamos supor agora que a fonte de corrente v ( t ) é um impulso unitário δ ( t ) .

Então, quando v t = δ t , a tensão da fonte só não é zero em t = 0 . Logo, para t > 0 a fonte de tensão pode ser substituída por um curto-circuito, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.

No qual já sabemos a solução:

i t = A e - R t L

No instante t = 0 , um impulso de tensão no resistor causaria uma corrente infinita passando pelo indutor, o que não é possível. Logo, o impulso de tensão deve ser aplicado no indutor.

Agora se liga nesse teorema aqui: Um impulso unitário de tensão no indutor altera instantaneamente sua corrente de zero para 1 / L   ampéres. Portanto:

i 0 + = 1 L

Sabendo disso, já podemos calcular a constante A .

1 L = A e -   R ( 0 ) L

A = 1 L

Portanto, a resposta ao impulso unitário será:

i t = 1 L e -   R t L   u ( t )

Para terminar, vamos analisar quando a fonte de tensão   v t for a rampa unitária r ( t ) . A gente obtém a rampa unitária integrando a função degrau unitário:

r t = ∫ - ∞ t u t   d t = t   u ( t )

Portanto, se a gente integrar a resposta ao degrau unitário, encontraremos a resposta à rampa unitária. Logo:

i t = ∫ 0 t 1 R 1 - e - R L λ   d λ

i t = ∫ 0 t 1 R d λ - ∫ 0 t 1 R e - R L λ   d λ

i t = 1 R λ t 0 + L R 2 e - R L λ t 0

i t = 1 R t + L R 2 e - R L t - L R 2

i t = 1 R t + L R 2 e - R L t - 1 ,           p a r a   t > 0

Pronto, muita coisa, né? Mas relaxa, separei uns exercícios bacanas para você arrebentar! ;)

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Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.267, Problema 7.14

Calcule a constante de tempo do circuito abaixo

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Passo 1

O circuito acima possui um indutor e vários resistores. Para encontrarmos o valor da constante de tempo, precisamos transformar esse circuito no circuito RL sem fonte que conhecemos.

Passo 2

Para isso, vamos calcular a resistência equivalente de Thévenin nos terminais do indutor.

Fazendo a associação em série dos resistores:

Passo 3

Como esses resistores estão associados em paralelo:

R T h = 60 × 40 60 + 40

R T h = 2400 100 = 24   k Ω  

Passo 4

Pronto, agora que encontramos R T h , chegamos ao nosso circuito RL sem fonte, com apenas um resistor e um indutor.

A gente conhece a constante de tempo para esse circuito.

τ = L R

Substituindo os valores:

τ = 5 × 10 - 3 24 × 10 3

τ = 0,2083   µ s

Resposta

τ = 0,2083   µ s

Exercício Resolvido #2

Introdução a análise de circuitos - Robert L Boylestad – Ed. 12 – Exercício 11.11

Para o circuito da figura, composto de valores padrão:

  1. Determine a constante de tempo.
  2. Escreva a expressão matemática para a corrente i L após a chave ser fechada.
  3. Repita o item (b) para v L e v R .
  4. Determine v L e i L em uma, três e cinco constantes de tempo.
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Passo 1

A constante de tempo para o circuito RL é dada pela fórmula:

τ = L R

τ = 300 m 20 k

τ = 15 * 10 - 6 s

Passo 2

Após a chave ser fechada, no caso do indutor, a corrente i L irá aumentar de acordo com a fórmula:

i L =   E R * ( 1 - e - t τ )

i L =   20 20 k * ( 1 - e - t 15 * 10 - 6 )

i L =   0,001 * ( 1 - e - t 15 * 10 - 6 )

Passo 3

Vamos calcular a tensão no indutor após o fechamento da chave, ela irá decrescer ao longo do tempo:

V L =   E * e - t τ

V L =   20 * e - t 15 * 10 - 6

Passo 4

Se a tensão do indutor está decrescendo, a tensão no resistor irá aumentar ao longo do tempo:

V R =   E * ( 1 - e - t τ )

V R =   20 * ( 1 - e - t 15 * 10 - 6 )

Passo 5

Vamos calcular V L e i L segundo as seguintes equações:

V L =   E * e - t τ

i L =   E R * ( 1 - e - t τ )

Para t =   τ :

V L =   20 * e - τ τ = 20 * e - 1

V L = 7,36 V

i L = 0,001 * 1 - e - τ τ = 0,001 * 1 - e - 1

i L = 0,63 m A

Para t =   3 τ :

V L =   20 * e - 3 τ τ = 20 * e - 3

V L = 0,996 V

i L = 0,001 * 1 - e - 3 τ τ = 0,001 * 1 - e - 3

i L = 0 , 95 m A

Para t =   5 τ :

V L =   20 * e - 5 τ τ = 20 * e - 5

V L = 0,13 V

i L = 0,001 * 1 - e - 5 τ τ = 0,001 * 1 - e - 5

i L = 0,99 m A

Resposta

a)

τ = 15 * 10 - 6 s

b)

i L =   0,001 * ( 1 - e - t 15 * 10 - 6 )

c)

V L =   20 * e - t 15 * 10 - 6

V R =   20 * ( 1 - e - t 15 * 10 - 6 )

d)

Para t =   τ :

V L = 7,36 V

i L = 0,63 m A

Para t =   3 τ :

V L = 0,996 V

i L = 0,95 m A

Para t =   5 τ :

V L = 0,13 V

i L = 0,99 m A

Exercício Resolvido #3

Introdução a análise de circuitos - Robert L Boylestad – Ed. 12 – Exercício 11.13

Dada a fonte de 18V, use os valores padrão para projetar um circuito com a resposta da figura:

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Passo 1

Pelo que foi dito no enunciado já sabemos que E = 18 V . E que a constante de tempo é igual a:

5 τ = 15 μ s

τ = 3 μ s

Passo 2

Sabemos que a corrente máxima que circula pelo indutor é quando t = 5 τ e segue a fórmula:

i L =   E R * 1   -   e - 5 τ τ = 15 m A

Substituindo os valores que já sabemos:

18 R 1   -   e - 5 = 15 m

R =   18 15 * 10 - 3 1 - e - 5 = 1200

R = 1,2 k Ω

Passo 3

Como sabemos que a constante de tempo segue a fórmula:

τ =   L R

3 μ =   L 1,2 k

L = 3 μ * 1,2 k = 3,6 m H

Resposta

R = 1,2 k Ω

L = 3,6 m H

Exercício Resolvido #4

Livro Sadiku, p.267, Problema 7.13

Determine R ,   L e τ no circuito abaixo

v t = 80 e - 10 3 t   V   ,               t > 0

i t = 5 e - 10 3 t   m A   ,               t > 0

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Passo 1

O circuito acima é um circuito RL sem fonte. Precisamos encontrar os valores da resistência, da indutância e da constante de tempo. A gente viu na teoria que a corrente nesse circuito tem a seguinte relação geral:

i t = I 0 e - R t L = I 0 e - t τ

Passo 2

A corrente nesse circuito é dada no enunciado:

i t = 5 e - 10 3 t   m A

Comparando as equações a gente pode ver que:

R L = 10 3

Como

τ = L R = 1 10 3

τ = 1   m s

Passo 3

Já encontramos a constante de tempo. Agora, vamos encontrar o valor de R .

Vamos utilizar a famosa lei de Ohm:

V = R i

80 e - 10 3 t = R × 5 e - 10 3 t × 10 - 3

R = 80 e - 10 3 t 5 e - 10 3 t × 10 - 3

R = 80 0,005

R = 16000 = 16   k Ω

Passo 4

Agora precisamos calcular o valor de L . Sabemos que

τ = L R = 1 10 3

Então:

L = R × 1 10 3

Como R = 16   k Ω

L = 16 × 10 3 × 1 10 3

L = 16   H

Resposta

R = 16   k Ω

L = 16   H

τ = 1   m s

Exercício Resolvido #5

Livro Sadiku, p.268, Problema 7.22

Determine i ( t ) e v ( t ) para t > 0 no circuito abaixo se i 0 = 10   A .

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Passo 1

O circuito acima possui um indutor e vários resistores. Precisamos transformá-lo no circuito RL sem fonte com apenas um resistor e um indutor, para encontrarmos a corrente i ( t ) e a tensão v ( t ) .

Passo 2

Para isso, vamos calcular a resistência equivalente de Thévenin nos terminais do indutor.

Vamos ajeitar o circuito para visualizar melhor e ajudar a gente.

Passo 3

Logo, a gente vê que o resistor de 1 Ω está em série com a associação em paralelo dos resistores de 5 Ω e 20 Ω .

R T h = ( 5 20 ) + 1

R T h = 5 × 20 5 + 20 + 1

R T h = 5   Ω