Circuito RLC sem fonte

Teoria Completa

Até agora a gente sabe como resolver circuitos com resistores associados com capacitor e circuitos de resistores com Indutor. Mas e se fosse o circuito abaixo? Como encontraríamos tensões e correntes?

É isso que vamos aprender. Estudaremos circuitos que possuem resistores, capacitores e indutores. Esses circuitos são conhecidos como circuitos de segunda ordem, pois as equações diferenciais que encontraremos para descrevê-los terão segundas derivadas.

Determinação dos valores iniciais e finais

O primeiro passo para determinar a corrente e a tensão de circuitos de segunda ordem é determinar as condições iniciais e finais da tensão do capacitor v C , da corrente no indutor i L e de suas respectivas derivadas. Vamos fazer um exemplo para ficar mais claro.

No circuito abaixo, a chave ficou fechada por um longo tempo e em t = 0 ela se abre. Queremos encontrar os valores iniciais e finais, ou seja, determinar v C 0 + , i L 0 + , d v C ( 0 + ) / d t , d i L ( 0 + ) / d t , i L ∞ e v C ∞ .

Bora começar! Como a chave estava fechada por um longo tempo antes de t = 0 , o circuito já estava em seu regime permanente, ou seja, já podemos considerar o indutor funcionando como curto-circuito e o capacitor como um circuito aberto.

Logo, para o instante exatamente antes da chave se abrir ( t = 0 - ) , a gente pode considerar o circuito assim:

Como a corrente só circula por caminhos fechados, pela lei de Ohm, temos:

i L 0 - = 15 2 + 3 = 3   A  

Logo,

v C 0 - = 3 i L 0 - = 9   V

Lembrando que a corrente no indutor e a tensão no capacitor não variam instantaneamente,

i L 0 + = i L 0 - = 3   A

e

v C 0 + = v C 0 - = 9   V

Agora, vamos analisar o circuito quando a chave abre. Em t = 0 + , podemos considerar o seguinte circuito:

Como o circuito está em série, a corrente é a mesma para todo o circuito, ou seja, a corrente no indutor é igual à corrente no capacitor. Logo, no capacitor temos:

i L 0 + = 0,2 d v C 0 + d t

3 = 0,2 d v C 0 + d t

d v C 0 + d t = 3 0,2 = 15   V / s

Vamos agora encontrar d i L ( 0 + ) / d t . Para isso, vamos aplicar a LTK no circuito.

- 15 + 2 i L 0 + + v L 0 + + v C 0 + = 0

Simplificando,

v L 0 + = 15 - 6 - 9 = 0

Como,

v L 0 + = 0,5 d i L 0 + d t

0 = 0,5 d i L 0 + d t

Logo,

d i L 0 + d t = 0   A / s  

Falta encontrarmos i L ∞ e v C ∞ . Quando t → ∞ , o circuito atinge o regime permanente mais uma vez e o indutor funciona como um curto-circuito e o capacitor como um circuito aberto. Logo, o circuito fica assim:

Como o circuito acima está aberto, não há circulação de corrente e, consequentemente, não há queda de tensão no resistor. Portanto:

i L ∞ = 0   A         e       v C ∞ = 15   V

Pronto! Descobrimos todos os valores iniciais e finais desse circuito.

Circuito RLC série sem fonte

Agora vamos analisar a resposta natural do circuito RLC série sem fonte, mostrado no circuito abaixo. O circuito está inicialmente energizado, sendo que V 0   é a tensão inicial do capacitor e I 0 a corrente inicial do indutor.

Aplicando a LTK no circuito, temos:

R i + L d i d t + 1 C ∫ - ∞ t i   d t = 0

Vamos eliminar a integral derivando a equação em relação a t .

R d i d t + L d 2 i d t 2 + 1 C i = 0

Agora, vamos dividir os termos por L e arrumar a equação.

d 2 i d t 2 + R L d i d t + i L C = 0

Chegamos na equação diferencial de segunda ordem. Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

r 2 + R L r + 1 L C = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos as duas raízes

r 1 = - R 2 L + R 2 L 2 - 1 L C

r 2 = - R 2 L - R 2 L 2 - 1 L C

É muito comum essas raízes serem escritas assim:

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

Onde,

α = R 2 L               e             ω 0 = 1 L C

Chamamos α de fator de amortecimento e ω 0 de frequência de ressonância ou de frequência natural não-amortecida.

Beleza! Até agora tá show. Mas como vai ser a solução da EDO de segunda ordem em função desses parâmetros?

Teremos três tipos de solução:

  1. Se α > ω 0 , temos o caso superamortecido;
  2. Se α = ω 0 , temos o caso de amortecimento crítico;
  3. Se α < ω 0 , temos o caso subamortecido.

Vamos agora analisar cada caso desse separadamente.

Superamortecido α > ω 0

Analisando as raízes

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

Quando α > ω 0 , que é equivalente a:

R 2 L > 1 L C

C > 4 L R 2

As raízes r 1 e r 2 serão reais, negativas e distintas. Logo, a solução da EDO será:

i t = A e r 1 t + B e r 2 t  

Sendo A e B constantes.

Logo, a corrente vai decair ao longo do tempo e vai se aproximando de zero, como no gráfico abaixo:

Amortecimento crítico α = ω 0

Analisando as raízes

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

Quando α = ω 0 , que é equivalente a C = 4 L / R 2 , as raízes r 1 e r 2 serão reais e iguais:

r 1 = r 2 = - α = R 2 L

Logo, a solução da EDO de segunda ordem para raízes iguais será:

i t = A e - α t + B t e - α t  

i t = A + B t e - α t

Sendo A e B constantes.

Logo, a resposta natural para esse caso pode ser caracterizada como o gráfico abaixo:

Subamortecido α < ω 0

Analisando as raízes

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

Quando α < ω 0 , que é equivalente a C < 4 L / R 2 , as raízes r 1 e r 2 terão raiz quadrada de número negativo:

r 1 = - α + - ω 0 2 - α 2 = - α + j ω d

r 2 = - α - - ω 0 2 - α 2 = - α - j ω d

Onde j = - 1 e ω d = ω 0 2 - α 2 , que é chamada de frequência natural amortecida.

Logo, a solução da EDO de segunda ordem para o caso subamortecido será:

i t = A e - ( α - j ω d ) t + B e - ( α + j ω d ) t

i t = e - α t A e j ω d t + B e - j ω d t

Chegamos a uma solução, mas esse tanto de exponenciais dificulta a nossa análise de como é essa resposta natural. Por isso, a gente usa a identidade de Euler:

e j θ = cos ⁡ θ + j sin ⁡ θ ,

e - j θ = cos ⁡ θ - j sin ⁡ θ

Portanto, a nossa solução fica assim:

i t = e - α t [ A ( cos ⁡ ω d t + j sin ⁡ ω d t ) + B cos ⁡ ω d t - j sin ⁡ ω d t )

i t = e - α t [ A + B cos ⁡ ω d t + j A - B sin ⁡ ω d ]

Substituindo as constantes A + B pela constante D e j A - B pela constante F , temos

i t = e - α t ( D cos ⁡ ω d t + F sin ⁡ ω d t )

Logo, vemos a presença de funções seno e cosseno, mostrando que a resposta natural para este caso decresce exponencialmente e é oscilatória. Como podemos ver no gráfico abaixo:

Antes de estudarmos o circuito RLC paralelo sem fonte, vamos fazer um exemplo para entender melhor o que estudamos.

Vamos calcular as raízes do polinômio característico do circuito abaixo e ver qual o tipo de resposta natural ele tem.

O primeiro passo é encontrar fator de amortecimento α e a frequência natural não-amortecida ω 0 .

α = R 2 L = 20 2 2 = 5

ω 0 = 1 L C = 1 2 × 0,5 = 1

Como α > ω 0 , a resposta é superamortecida.

As raízes são

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 1 = - 5 + 25 - 1 = - 0,101

e

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

r 2 = - 5 - 5 2 - 1 = - 9,899

Pelos valores encontrados para as raízes, também podemos concluir que o circuito tem resposta superamortecida, já que as raízes são reais negativas e diferentes.

Circuito RLC paralelo sem fonte

Vamos considerar agora o circuito RLC paralelo sem fonte abaixo, em que o circuito está inicialmente energizado. Sendo V 0   a tensão inicial do capacitor e I 0 a corrente inicial do indutor, tem-se:

Os três elementos do circuito têm a mesma tensão v , porque estão ligados em paralelo. Aplicando LCK ao nó, temos:

v R + 1 L ∫ - ∞ t v   d t + C d v d t = 0

Vamos eliminar a integral derivando a equação em relação a t :

d 2 v d t 2 + 1 R C d v d t + 1 L C v = 0

Chegamos na equação diferencial de segunda ordem. Então, vamos obter a equação característica:

r 2 + 1 R C r + 1 L C = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos as duas raízes

r 1 = - 1 2 R C + 1 2 R C 2 - 1 L C

r 2 = - 1 2 R C - 1 2 R C 2 - 1 L C

Podendo ser escritas assim:

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

Onde,

α = 1 2 R C               e             ω 0 = 1 L C

Mais uma vez teremos três tipos de solução. Vamos agora analisar cada caso separadamente.

Superamortecido α > ω 0

Analisando as raízes

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

Quando α > ω 0 , que é equivalente a

1 2 R C > 1 L C

L > 4 R 2 C

As raízes r 1 e r 2 serão reais negativas e distintas. Logo, a solução da EDO será

v t = A e r 1 t + B e r 2 t  

Sendo A e B constantes.

Amortecimento crítico α = ω 0

Analisando as raízes

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

Quando α = ω 0 , que é equivalente a L = 4 R 2 C ,   as raízes r 1 e r 2 serão reais e iguais:

r 1 = r 2 = - �� = - 1 2 R C = - 1 L C

Logo, a solução da EDO de segunda ordem para raízes iguais será:

v t = A e - α t + B t e - α t  

v t = A + B t e - α t

Sendo A e B constantes.

Subamortecido α < ω 0

Analisando as raízes

r 1 = - α + α 2 - ω 0 2

r 2 = - α - α 2 - ω 0 2

Quando α < ω 0 , que é equivalente a C < 4 L / R 2 , as raízes r 1 e r 2 terão raiz quadrada de número negativo:

r 1 = - α + - ω 0 2 - α 2 = - α + j ω d

r 2 = - α - - ω 0 2 - α 2 = - α - j ω d

Onde j = - 1 e ω d = ω 0 2 - α 2 , que é chamada de frequência natural amortecida.

Logo, a solução da EDO de segunda ordem para o caso subamortecido será:

v t = e - α t ( A cos ⁡ ω d t + B sin ⁡ ω d t )

Lembrando que todas as constantes são determinadas pelas nossas condições finais e iniciais.

Agora é exercitar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.320, Problema 8.7

Um circuito R L C em série possui R = 20   k Ω ,   L = 0,2   m H   e   C = 5   µ F . Que tipo de amortecimento é apresentado pelo circuito?

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Passo 1

De acordo com o enunciado, temos o seguinte circuito:

Passo 2

Agora vamos encontrar o fator de amortecimento α e a frequência natural não-amortecida ω 0 .

α = R 2 L

α = 20 × 10 3 2 0,2 × 10 - 3 = 50 × 10 6

e

ω 0 = 1 L C

ω 0 = 1 0 , 2 × 10 - 3 5 × 10 - 6 = 31622,77

Como α > ω 0 , a resposta é superamortecida.

Resposta

Superamortecido

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, p.321, Problema 8.12

Se R = 50 Ω ,   L = 1,5   H , qual valor de C tornará um circuito RLC em série:

( a ) com amortecimento supercrítico

( b ) com amortecimento crítico

c com subamortecimento

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Passo 1

Em um circuito R L C série sabemos que:

α = R 2 L           e         ω 0 = 1 L C  

Passo 2

Para o caso superamortecido, temos a condição de que α > ω 0 .

Logo,

R 2 L > 1 L C

C > 4 L R 2

Substituindo os valores do resistor e do indutor,

C > 4 1,5 50 2

C > 0,0024   F

Passo 3

Para o caso do circuito RLC em série com amortecimento crítico, temos a condição de α = ω 0 .

Logo,

R 2 L = 1 L C

C = 4 L R 2

C = 4 1,5 50 2

C = 0,0024   F

Passo 4

E para o caso de subamortecimento, temos que α < ω 0 .

Logo,

R 2 L < 1 L C

C < 4 L R 2

C < 4 1,5 50 2

C < 0,0024   F

Resposta

a     C > 0,0024   F

b     C = 0,0024   F

a     C < 0,0024   F

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Dado o circuito abaixo, diga o tipo de amortecimento:

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Passo 1

Primeiro devemos lembrar as fórmulas de α e ω :

α =   R 2 L

e ω =   1 L C

Passo 2

Para calcular o R e q faremos a relação série entre 10 k Ω e 5 k Ω :

R 1 = 10 k + 5 k = 15 k Ω

Depois esse resistor estará em paralelo com o resistor de 30 k Ω :

R 2 = R 1 * 30 k R 1 + 30 k

R 2 = 15 k * 30 k 15 k + 30 k = 10 k Ω

E por fim teremos uma associação série com o resistor de 2 k Ω :

R e q =   R 2 + 2 k = 10 k   + 2 k   =   12 k Ω  

Passo 3

Calculo de α :

α = R 2 L = 12 k 2 * 10 m = 600 * 10 3

Passo 4

Calculo de ω :

ω =   1 L C = 1 4 * 10 - 6 * 10 * 10 - 3 = 5000

Passo 5

Passo 6

Como α >   ω , sabemos que se trata de um circuito superamortecido.

Passo 7

Resposta

Circuito superamortecido.

Exercício Resolvido #4

Livro Sadiku, p.321, Problema 8.13

Para o circuito abaixo, calcule o valor de R necessário para se obter uma resposta com amortecimento crítico.

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Passo 1

Para que o amortecimento seja crítico, temos a condição de que α = ω 0 . Então, primeiro temos que calcular α e ω 0 . Em um circuito R L C série sabemos que:

α = R 2 L           e         ω 0 = 1 L C  

Passo 2

Como os resistores estão associados em paralelo, precisamos calcular a resistência equivalente.

R e q = 60   ×   R 60 + R