Teoria Completa
Até agora a gente sabe como resolver circuitos com resistores associados com capacitor e circuitos de resistores com Indutor. Mas e se fosse o circuito abaixo? Como encontraríamos tensões e correntes?
É isso que vamos aprender. Estudaremos circuitos que possuem resistores, capacitores e indutores. Esses circuitos são conhecidos como circuitos de segunda ordem, pois as equações diferenciais que encontraremos para descrevê-los terão segundas derivadas.
Determinação dos valores iniciais e finais
O primeiro passo para determinar a corrente e a tensão de circuitos de segunda ordem é determinar as condições iniciais e finais da tensão do capacitor , da corrente no indutor e de suas respectivas derivadas. Vamos fazer um exemplo para ficar mais claro.
No circuito abaixo, a chave ficou fechada por um longo tempo e em ela se abre. Queremos encontrar os valores iniciais e finais, ou seja, determinar , , , , e .
Bora começar! Como a chave estava fechada por um longo tempo antes de , o circuito já estava em seu regime permanente, ou seja, já podemos considerar o indutor funcionando como curto-circuito e o capacitor como um circuito aberto.
Logo, para o instante exatamente antes da chave se abrir , a gente pode considerar o circuito assim:
Como a corrente só circula por caminhos fechados, pela lei de Ohm, temos:
Logo,
Lembrando que a corrente no indutor e a tensão no capacitor não variam instantaneamente,
e
Agora, vamos analisar o circuito quando a chave abre. Em , podemos considerar o seguinte circuito:
Como o circuito está em série, a corrente é a mesma para todo o circuito, ou seja, a corrente no indutor é igual à corrente no capacitor. Logo, no capacitor temos:
Vamos agora encontrar . Para isso, vamos aplicar a LTK no circuito.
Simplificando,
Como,
Logo,
Falta encontrarmos e . Quando , o circuito atinge o regime permanente mais uma vez e o indutor funciona como um curto-circuito e o capacitor como um circuito aberto. Logo, o circuito fica assim:
Como o circuito acima está aberto, não há circulação de corrente e, consequentemente, não há queda de tensão no resistor. Portanto:
Pronto! Descobrimos todos os valores iniciais e finais desse circuito.
Circuito RLC série sem fonte
Agora vamos analisar a resposta natural do circuito RLC série sem fonte, mostrado no circuito abaixo. O circuito está inicialmente energizado, sendo que é a tensão inicial do capacitor e a corrente inicial do indutor.
Aplicando a LTK no circuito, temos:
Vamos eliminar a integral derivando a equação em relação a .
Agora, vamos dividir os termos por e arrumar a equação.
Chegamos na equação diferencial de segunda ordem. Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:
Resolvendo a equação do segundo grau, temos as duas raízes
É muito comum essas raízes serem escritas assim:
Onde,
Chamamos de fator de amortecimento e de frequência de ressonância ou de frequência natural não-amortecida.
Beleza! Até agora tá show. Mas como vai ser a solução da EDO de segunda ordem em função desses parâmetros?
Teremos três tipos de solução:
- Se , temos o caso superamortecido;
- Se , temos o caso de amortecimento crítico;
- Se , temos o caso subamortecido.
Vamos agora analisar cada caso desse separadamente.
Superamortecido
Analisando as raízes
Quando , que é equivalente a:
As raízes e serão reais, negativas e distintas. Logo, a solução da EDO será:
Sendo e constantes.
Logo, a corrente vai decair ao longo do tempo e vai se aproximando de zero, como no gráfico abaixo:
Amortecimento crítico
Analisando as raízes
Quando , que é equivalente a , as raízes e serão reais e iguais:
Logo, a solução da EDO de segunda ordem para raízes iguais será:
Sendo e constantes.
Logo, a resposta natural para esse caso pode ser caracterizada como o gráfico abaixo:
Subamortecido
Analisando as raízes
Quando , que é equivalente a , as raízes e terão raiz quadrada de número negativo:
Onde e , que é chamada de frequência natural amortecida.
Logo, a solução da EDO de segunda ordem para o caso subamortecido será:
Chegamos a uma solução, mas esse tanto de exponenciais dificulta a nossa análise de como é essa resposta natural. Por isso, a gente usa a identidade de Euler:
Portanto, a nossa solução fica assim:
Substituindo as constantes pela constante e pela constante , temos
Logo, vemos a presença de funções seno e cosseno, mostrando que a resposta natural para este caso decresce exponencialmente e é oscilatória. Como podemos ver no gráfico abaixo:
Antes de estudarmos o circuito RLC paralelo sem fonte, vamos fazer um exemplo para entender melhor o que estudamos.
Vamos calcular as raízes do polinômio característico do circuito abaixo e ver qual o tipo de resposta natural ele tem.
O primeiro passo é encontrar fator de amortecimento e a frequência natural não-amortecida .
Como , a resposta é superamortecida.
As raízes são
e
Pelos valores encontrados para as raízes, também podemos concluir que o circuito tem resposta superamortecida, já que as raízes são reais negativas e diferentes.
Circuito RLC paralelo sem fonte
Vamos considerar agora o circuito RLC paralelo sem fonte abaixo, em que o circuito está inicialmente energizado. Sendo a tensão inicial do capacitor e a corrente inicial do indutor, tem-se:
Os três elementos do circuito têm a mesma tensão , porque estão ligados em paralelo. Aplicando LCK ao nó, temos:
Vamos eliminar a integral derivando a equação em relação a :
Chegamos na equação diferencial de segunda ordem. Então, vamos obter a equação característica:
Resolvendo a equação do segundo grau, temos as duas raízes
Podendo ser escritas assim:
Onde,
Mais uma vez teremos três tipos de solução. Vamos agora analisar cada caso separadamente.
Superamortecido
Analisando as raízes
Quando , que é equivalente a
As raízes e serão reais negativas e distintas. Logo, a solução da EDO será
Sendo e constantes.
Amortecimento crítico
Analisando as raízes
Quando , que é equivalente a as raízes e serão reais e iguais:
Logo, a solução da EDO de segunda ordem para raízes iguais será:
Sendo e constantes.
Subamortecido
Analisando as raízes
Quando , que é equivalente a , as raízes e terão raiz quadrada de número negativo:
Onde e , que é chamada de frequência natural amortecida.
Logo, a solução da EDO de segunda ordem para o caso subamortecido será:
Lembrando que todas as constantes são determinadas pelas nossas condições finais e iniciais.
Agora é exercitar!
Exercício Resolvido #1
Um circuito em série possui Que tipo de amortecimento é apresentado pelo circuito?
Passo 1
De acordo com o enunciado, temos o seguinte circuito:
Passo 2
Agora vamos encontrar o fator de amortecimento e a frequência natural não-amortecida .
e
Como a resposta é superamortecida.
Resposta
Superamortecido
Exercício Resolvido #2
Se qual valor de tornará um circuito RLC em série:
com amortecimento supercrítico
com amortecimento crítico
com subamortecimento
Passo 1
Em um circuito série sabemos que:
Passo 2
Para o caso superamortecido, temos a condição de que .
Logo,
Substituindo os valores do resistor e do indutor,
Passo 3
Para o caso do circuito RLC em série com amortecimento crítico, temos a condição de .
Logo,
Passo 4
E para o caso de subamortecimento, temos que .
Logo,
Resposta
Exercício Resolvido #3
Dado o circuito abaixo, diga o tipo de amortecimento:
Passo 1
Primeiro devemos lembrar as fórmulas de e :
e
Passo 2
Para calcular o faremos a relação série entre e :
Depois esse resistor estará em paralelo com o resistor de :
E por fim teremos uma associação série com o resistor de :
Passo 3
Calculo de
Passo 4
Calculo de
Passo 5
Passo 6
Como , sabemos que se trata de um circuito superamortecido.
Passo 7
Resposta
Circuito superamortecido.
Exercício Resolvido #4
Para o circuito abaixo, calcule o valor de necessário para se obter uma resposta com amortecimento crítico.
Passo 1
Para que o amortecimento seja crítico, temos a condição de que . Então, primeiro temos que calcular e . Em um circuito série sabemos que:
Passo 2
Como os resistores estão associados em paralelo, precisamos calcular a resistência equivalente.
Passo 3
Logo, o fator de amortecimento será
Como ,
Passo 4
Agora, vamos calcular a frequência natural não amortecida .
Passo 5
Como no amortecimento crítico