Circuito RLC com fonte

Teoria Completa

Resposta ao degrau do circuito RLC série

Fala aí, beleza? No circuito abaixo queremos encontrar como resposta a tensão no capacitor v ( t ) . Como faríamos?

Em t = 0 a chave se fecha e é aplicado ao circuito subitamente a tensão V G . Lembrando que a resposta ao degrau é obtida por uma súbita aplicação de tensão ou corrente pela fonte, a gente pode entender o circuito acima também dessa maneira aqui:

Onde u ( t ) é a função degrau unitário, que tem a seguinte a forma abaixo:

O que queremos, então, é encontrar a tensão no capacitor v ( t ) , sabendo que em t = 0 é aplicado subitamente um degrau de tensão no valor de V G . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO:

Vamos aplicar a LTK no circuito, para t > 0 ,

R i + L d i d t + v = V G

Como, no capacitor

i = C d v d t

Substituindo i , temos

R C d v d t + L d C d v d t d t + v = V G

Arrumando essa bagunça,

L C d 2 v d t 2 + R C d v d t + v = V G

Dividindo todos os termos por L C ,

d 2 v d t 2 + R L d v d t + v L C = V G L C

2º PASSO:

Chegamos a uma EDO de segunda ordem não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

A solução da homogênea também é chamada de resposta natural do circuito, porque é como se a gente tivesse desligado a fonte V G = 0 . Já a solução particular da EDO é chamada de resposta forçada do circuito, porque é como se o circuito atingisse o regime permanente sofrendo a ação da fonte.

v t = v h ( t ) + v p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

d 2 v h d t 2 + R L d v h d t + v h L C = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes no tópico anterior e vimos que dependendo do valor dos elementos temos três tipos de resposta:

Caso Superamortecido → α > ω 0 :

v h t = A e r 1 t + B e r 2 t

Caso de Amortecimento crítico → α = ω 0 :

v h t = ( A + B t ) e - α t

Caso Subamortecido → α < ω 0 :

v h t = e - α t ( A c o s   ω d t + B s i n   ω d t )

3º PASSO:

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

d 2 v p d t 2 + R L d v p d t + v p L C = V G L C

Como V G / L C é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( B ) d t 2 + R L d ( B ) d t + ( B ) L C = V G L C

Como a derivada de uma constante é zero:

B L C = V G L C

B = V G

v p t = V G

Também podemos encontrar v p analisando o circuito no regime permanente, ou seja, quando t → ∞ .

No regime permanente, o indutor pode ser considerado um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto. Logo, o circuito pode ser considerado assim:

Portanto, como o circuito está aberto, a corrente é zero. Consequentemente, não há queda de tensão no resistor e a tensão v é a própria tensão da fonte.

Logo, a resposta forçada do circuito será

v p t = v ∞ = V G

4º PASSO:

Portanto, as soluções gerais para cada caso serão:

v t = V G + A e r 1 t + B e r 2 t     →     S u p e r a m o r t e c i d o

v t = V G + A + B t e - α t     →     A m o r t e c i m e n t o   c r í t i c o

v t = V G + e - α t A c o s   ω d t + B s i n   ω d t     →     S u b a m o r t e c i d o

Onde, no circuito R L C série

α = R 2 L   ,           ω 0 = 1 L C ,         ω d = ω 0 2 - α 2      

e as raízes da equação das características são

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2  

Lembrando que A e B são constantes que determinamos a partir das nossas condições iniciais: v ( 0 ) e d v ( 0 ) / d t .

Ficou confuso? Vamos fazer um exemplo numérico para clarear!

Vamos encontrar v ( t ) no circuito abaixo:

Acabamos de ver que para encontrarmos v ( t ) em um circuito R L C série com fonte, precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea. Além disso, a solução geral para v ( t ) possui duas parcelas.

v = v h + v p

A resposta natural depende de cada caso. Então, primeiro vamos ver qual o caso do nosso circuito.

Para t > 0 ,   a chave se fecha e em um circuito R L C série sabemos que

α = R 2 L               e               ω 0 = 1 L C

Logo, substituindo os valores:

α = 4 2 = 2

ω 0 = 1 1 × 0,25 = 2  

Como α = ω 0 , nossa resposta natural é criticamente amortecida e será:

v h t = A + B t e - α t

Substituindo o valor de α ,

v h t = A + B t e - 2 t

Agora, vamos encontrar a resposta forçada pela fonte de tensão. No regime permanente, o circuito pode ser considerado assim:

Logo,

v p = 20   V

Portanto, nossa solução completa é

v t = 20 + A + B t e - 2 t

Estamos quase acabando! Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes A e B . Para isso vamos precisar das nossas condições iniciais: v ( 0 + ) e d v ( 0 + ) / d t .

Para t < 0 , a fonte de tensão estava desligada e o capacitor e indutor sem energia armazenada. Logo,

v 0 - = 0

i 0 - = 0

Como no capacitor a tensão não pode variar instantaneamente,

v 0 - = v 0 + = 0

Portanto,

v 0 + = 20 + A + B 0 e - 2 0 = 0

20 + A = 0

A = - 20

Além disso, a corrente no indutor não pode variar instantaneamente e ela é a mesma do capacitor.

i 0 + = 0,25 d v 0 + d t = 0

d v 0 + d t = 0

Derivando v ( t ) em relação ao tempo, temos

d v d t = B e - 2 t + A + B t e - 2 t - 2

d v 0 + d t = B - 2 A = 0

B = - 40

Logo, a solução completa será

v t = 20 + - 20 - 40 t e - 2 t     V

Resposta ao degrau do circuito RLC paralelo

Agora, vamos estudar a resposta ao degrau no R L C paralelo. A gente vai ver que, para encontrar a resposta desse circuito, o procedimento é praticamente o mesmo que utilizamos no circuito série.

No circuito abaixo, queremos encontrar como resposta a corrente no indutor i ( t ) .

Vamos começar! Queremos encontrar a corrente no indutor i ( t ) , sabendo que em t = 0 é aplicado subitamente um degrau de corrente no valor de I G . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO:

Vamos aplicar a LCK no circuito, para t > 0 ,

C d v d t + v R + i = I G

Como, no indutor

v = L d i d t

Substituindo v e dividindo todos os termos por L C , temos

d 2 i d t 2 + 1 R C d i d t + i L C = I G L C