Teoria Completa
Resposta ao degrau do circuito RLC série
Fala aí, beleza? No circuito abaixo queremos encontrar como resposta a tensão no capacitor . Como faríamos?
Em a chave se fecha e é aplicado ao circuito subitamente a tensão . Lembrando que a resposta ao degrau é obtida por uma súbita aplicação de tensão ou corrente pela fonte, a gente pode entender o circuito acima também dessa maneira aqui:
Onde é a função degrau unitário, que tem a seguinte a forma abaixo:
O que queremos, então, é encontrar a tensão no capacitor , sabendo que em é aplicado subitamente um degrau de tensão no valor de Para isso, vamos seguir esses passos:
1º PASSO:
Vamos aplicar a LTK no circuito, para
Como, no capacitor
Substituindo temos
Arrumando essa bagunça,
Dividindo todos os termos por ,
2º PASSO:
Chegamos a uma EDO de segunda ordem não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.
A solução da homogênea também é chamada de resposta natural do circuito, porque é como se a gente tivesse desligado a fonte . Já a solução particular da EDO é chamada de resposta forçada do circuito, porque é como se o circuito atingisse o regime permanente sofrendo a ação da fonte.
Primeiro, vamos resolver a homogênea:
Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes no tópico anterior e vimos que dependendo do valor dos elementos temos três tipos de resposta:
Caso Superamortecido :
Caso de Amortecimento crítico :
Caso Subamortecido :
3º PASSO:
Agora, precisamos encontrar a solução particular.
Como é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:
sendo uma constante.
Substituindo, temos:
Como a derivada de uma constante é zero:
Também podemos encontrar analisando o circuito no regime permanente, ou seja, quando .
No regime permanente, o indutor pode ser considerado um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto. Logo, o circuito pode ser considerado assim:
Portanto, como o circuito está aberto, a corrente é zero. Consequentemente, não há queda de tensão no resistor e a tensão é a própria tensão da fonte.
Logo, a resposta forçada do circuito será
4º PASSO:
Portanto, as soluções gerais para cada caso serão:
Onde, no circuito série
e as raízes da equação das características são
Lembrando que e são constantes que determinamos a partir das nossas condições iniciais: e .
Ficou confuso? Vamos fazer um exemplo numérico para clarear!
Vamos encontrar no circuito abaixo:
Acabamos de ver que para encontrarmos em um circuito série com fonte, precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea. Além disso, a solução geral para possui duas parcelas.
A resposta natural depende de cada caso. Então, primeiro vamos ver qual o caso do nosso circuito.
Para a chave se fecha e em um circuito série sabemos que
Logo, substituindo os valores:
Como , nossa resposta natural é criticamente amortecida e será:
Substituindo o valor de
Agora, vamos encontrar a resposta forçada pela fonte de tensão. No regime permanente, o circuito pode ser considerado assim:
Logo,
Portanto, nossa solução completa é
Estamos quase acabando! Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes e . Para isso vamos precisar das nossas condições iniciais: e .
Para a fonte de tensão estava desligada e o capacitor e indutor sem energia armazenada. Logo,
Como no capacitor a tensão não pode variar instantaneamente,
Portanto,
Além disso, a corrente no indutor não pode variar instantaneamente e ela é a mesma do capacitor.
Derivando em relação ao tempo, temos
Logo, a solução completa será
Resposta ao degrau do circuito RLC paralelo
Agora, vamos estudar a resposta ao degrau no paralelo. A gente vai ver que, para encontrar a resposta desse circuito, o procedimento é praticamente o mesmo que utilizamos no circuito série.
No circuito abaixo, queremos encontrar como resposta a corrente no indutor .
Vamos começar! Queremos encontrar a corrente no indutor , sabendo que em é aplicado subitamente um degrau de corrente no valor de Para isso, vamos seguir esses passos:
1º PASSO:
Vamos aplicar a LCK no circuito, para
Como, no indutor
Substituindo e dividindo todos os termos por , temos
2º PASSO:
Chegamos a mais uma EDO de segunda ordem não homogênea. A solução dela também é composta pela solução particular mais a solução da EDO homogênea associada.
Assim como no caso do circuito série, a solução da homogênea também é chamada de resposta natural do circuito e a solução particular da EDO é chamada de resposta forçada do circuito.
Primeiro, vamos encontrar a solução particular.
Como é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:
sendo uma constante.
Substituindo, temos:
Como a derivada de uma constante é zero:
Assim como no circuito série, também podemos encontrar analisando o circuito no regime permanente, ou seja, quando .
3º PASSO:
Agora, vamos resolver a EDO homogênea:
Essa EDO apesenta a mesma equação característica da EDO do circuito paralelo sem fontes que vimos no tópico anterior. Logo, a resposta natural é a mesma que calculamos no caso sem fontes e vimos que, dependendo do valor dos elementos, temos três tipos de resposta.
4º PASSO:
Portanto, as soluções gerais para cada caso serão:
Onde, no circuito paralelo
e
Sempre lembrando que e são constantes que determinamos a partir das nossas condições iniciais: e .
Generalização
Agora que você já está fera em circuitos série e paralelo, podemos aplicar o que vimos até aqui a qualquer circuito de segunda ordem.
Seguindo esses quatro passos mágicos abaixo, podemos determinar a resposta ao degrau, que pode ser tensão ou corrente, para qualquer circuito de segunda ordem.
- Determinar as condições iniciais e e o valor final
- Determinar a resposta natural do circuito desligando as fontes independentes e aplicando a LCK ou LTK para obter a EDO de segunda ordem, pela qual calcularemos as raízes da equação característica;
- Calcular a resposta forçada do circuito através de
- A resposta final será a soma da resposta natural com a resposta forçada
Tendo , determinar as constantes a partir das condições iniciais e
Para você ver que eu não estou mentindo, vamos encontrar a tensão para no circuito abaixo.
Como podemos ver, esse circuito não é um circuito série nem paralelo, é um circuito de segunda ordem qualquer.
Vamos seguir nossos quatro passos.
1º PASSO:
Vamos determinar nossas condições iniciais e finais. Para , a chave está aberta e o circuito já atingiu o regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.
Como circuito está aberto, não há circulação de corrente e, consequentemente, não há queda de tensão no resistor. Logo,
Em , a chave é fechada.
Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que
Ainda precisamos determinar . Sabemos que no capacitor
Logo,
Aplicando LCK ao nó do circuito,
Portanto,
Agora, precisamos encontrar o valor final. Isso ocorre quando e podemos considerar um novo regime permanente.
Aplicando divisor de tensão,
2º PASSO:
Agora, vamos determinar a resposta natural para o circuito em Desligando a fonte de tensão, temos o circuito abaixo
Lembrando que desligar a fonte de tensão é substituí-la por um curto-circuito.
Aplicando LCK ao nó do circuito acima,
E aplicando LTK na malha da esquerda,
Como a gente está querendo determinar a tensão , vamos substituir da primeira equação na segunda.
Arrumando os termos,
A equação característica para essa equação é
Resolvendo a equação, chegamos as raízes
Logo, a resposta natural é
3º PASSO:
Já determinamos o valor final da tensão. Logo a resposta forçada é
4º PASSO:
Portanto, nossa solução completa é
Agora, precisamos determinar o valor de cada constante. Faremos isso, usando nossas condições iniciais.
Derivando temos
Logo,
Resolvendo o sistema abaixo,
Temos, e .
Portanto, a solução completa é
Exercício Resolvido #1
A resposta a um degrau de um circuito é descrita por
Dado que e , determine .
Passo 1
O enunciado forneceu para a gente a expressão para a corrente e suas condições iniciais. Então, para encontrarmos precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea.
Passo 2
A solução dessa EDO terá duas parcelas: uma referente à resposta natural e outra referente à resposta forçada.
Primeiro, vamos encontrar a resposta natural, que é a solução da EDO homogênea associada a EDO do nosso circuito.
Passo 3
Essa EDO tem a seguinte equação característica,
Vamos encontrar as raízes dessa equação.
Passo 4
Encontramos raízes imaginárias. Para esse caso, a solução geral é:
Onde,
Logo, para a nossa EDO
Então, nossa solução homogênea será:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular, que é a resposta forçada do circuito.
Como é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:
sendo uma constante.
Substituindo, temos:
Como a derivada de uma constante é zero:
Logo,
Passo 6
Agora que encontramos a resposta natural e a forçada é só somar as duas.
Portanto, a solução completa para a EDO de segunda ordem é