Circuito RLC com fonte

Teoria Completa

Resposta ao degrau do circuito RLC série

Fala aí, beleza? No circuito abaixo queremos encontrar como resposta a tensão no capacitor v ( t ) . Como faríamos?

Em t = 0 a chave se fecha e é aplicado ao circuito subitamente a tensão V G . Lembrando que a resposta ao degrau é obtida por uma súbita aplicação de tensão ou corrente pela fonte, a gente pode entender o circuito acima também dessa maneira aqui:

Onde u ( t ) é a função degrau unitário, que tem a seguinte a forma abaixo:

O que queremos, então, é encontrar a tensão no capacitor v ( t ) , sabendo que em t = 0 é aplicado subitamente um degrau de tensão no valor de V G . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO:

Vamos aplicar a LTK no circuito, para t > 0 ,

R i + L d i d t + v = V G

Como, no capacitor

i = C d v d t

Substituindo i , temos

R C d v d t + L d C d v d t d t + v = V G

Arrumando essa bagunça,

L C d 2 v d t 2 + R C d v d t + v = V G

Dividindo todos os termos por L C ,

d 2 v d t 2 + R L d v d t + v L C = V G L C

2º PASSO:

Chegamos a uma EDO de segunda ordem não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

A solução da homogênea também é chamada de resposta natural do circuito, porque é como se a gente tivesse desligado a fonte V G = 0 . Já a solução particular da EDO é chamada de resposta forçada do circuito, porque é como se o circuito atingisse o regime permanente sofrendo a ação da fonte.

v t = v h ( t ) + v p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

d 2 v h d t 2 + R L d v h d t + v h L C = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes no tópico anterior e vimos que dependendo do valor dos elementos temos três tipos de resposta:

Caso Superamortecido → α > ω 0 :

v h t = A e r 1 t + B e r 2 t

Caso de Amortecimento crítico → α = ω 0 :

v h t = ( A + B t ) e - α t

Caso Subamortecido → α < ω 0 :

v h t = e - α t ( A c o s   ω d t + B s i n   ω d t )

3º PASSO:

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

d 2 v p d t 2 + R L d v p d t + v p L C = V G L C

Como V G / L C é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( B ) d t 2 + R L d ( B ) d t + ( B ) L C = V G L C

Como a derivada de uma constante é zero:

B L C = V G L C

B = V G

v p t = V G

Também podemos encontrar v p analisando o circuito no regime permanente, ou seja, quando t → ∞ .

No regime permanente, o indutor pode ser considerado um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto. Logo, o circuito pode ser considerado assim:

Portanto, como o circuito está aberto, a corrente é zero. Consequentemente, não há queda de tensão no resistor e a tensão v é a própria tensão da fonte.

Logo, a resposta forçada do circuito será

v p t = v ∞ = V G

4º PASSO:

Portanto, as soluções gerais para cada caso serão:

v t = V G + A e r 1 t + B e r 2 t     →     S u p e r a m o r t e c i d o

v t = V G + A + B t e - α t     →     A m o r t e c i m e n t o   c r í t i c o

v t = V G + e - α t A c o s   ω d t + B s i n   ω d t     →     S u b a m o r t e c i d o

Onde, no circuito R L C série

α = R 2 L   ,           ω 0 = 1 L C ,         ω d = ω 0 2 - α 2      

e as raízes da equação das características são

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2  

Lembrando que A e B são constantes que determinamos a partir das nossas condições iniciais: v ( 0 ) e d v ( 0 ) / d t .

Ficou confuso? Vamos fazer um exemplo numérico para clarear!

Vamos encontrar v ( t ) no circuito abaixo:

Acabamos de ver que para encontrarmos v ( t ) em um circuito R L C série com fonte, precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea. Além disso, a solução geral para v ( t ) possui duas parcelas.

v = v h + v p

A resposta natural depende de cada caso. Então, primeiro vamos ver qual o caso do nosso circuito.

Para t > 0 ,   a chave se fecha e em um circuito R L C série sabemos que

α = R 2 L               e               ω 0 = 1 L C

Logo, substituindo os valores:

α = 4 2 = 2

ω 0 = 1 1 × 0,25 = 2  

Como α = ω 0 , nossa resposta natural é criticamente amortecida e será:

v h t = A + B t e - α t

Substituindo o valor de α ,

v h t = A + B t e - 2 t

Agora, vamos encontrar a resposta forçada pela fonte de tensão. No regime permanente, o circuito pode ser considerado assim:

Logo,

v p = 20   V

Portanto, nossa solução completa é

v t = 20 + A + B t e - 2 t

Estamos quase acabando! Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes A e B . Para isso vamos precisar das nossas condições iniciais: v ( 0 + ) e d v ( 0 + ) / d t .

Para t < 0 , a fonte de tensão estava desligada e o capacitor e indutor sem energia armazenada. Logo,

v 0 - = 0

i 0 - = 0

Como no capacitor a tensão não pode variar instantaneamente,

v 0 - = v 0 + = 0

Portanto,

v 0 + = 20 + A + B 0 e - 2 0 = 0

20 + A = 0

A = - 20

Além disso, a corrente no indutor não pode variar instantaneamente e ela é a mesma do capacitor.

i 0 + = 0,25 d v 0 + d t = 0

d v 0 + d t = 0

Derivando v ( t ) em relação ao tempo, temos

d v d t = B e - 2 t + A + B t e - 2 t - 2

d v 0 + d t = B - 2 A = 0

B = - 40

Logo, a solução completa será

v t = 20 + - 20 - 40 t e - 2 t     V

Resposta ao degrau do circuito RLC paralelo

Agora, vamos estudar a resposta ao degrau no R L C paralelo. A gente vai ver que, para encontrar a resposta desse circuito, o procedimento é praticamente o mesmo que utilizamos no circuito série.

No circuito abaixo, queremos encontrar como resposta a corrente no indutor i ( t ) .

Vamos começar! Queremos encontrar a corrente no indutor i ( t ) , sabendo que em t = 0 é aplicado subitamente um degrau de corrente no valor de I G . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO:

Vamos aplicar a LCK no circuito, para t > 0 ,

C d v d t + v R + i = I G

Como, no indutor

v = L d i d t

Substituindo v e dividindo todos os termos por L C , temos

d 2 i d t 2 + 1 R C d i d t + i L C = I G L C

2º PASSO:

Chegamos a mais uma EDO de segunda ordem não homogênea. A solução dela também é composta pela solução particular mais a solução da EDO homogênea associada.

i t = i h ( t ) + i p ( t )

Assim como no caso do circuito série, a solução da homogênea também é chamada de resposta natural do circuito e a solução particular da EDO é chamada de resposta forçada do circuito.

Primeiro, vamos encontrar a solução particular.

d 2 i p d t 2 + 1 R C d i p d t + i p L C = I G L C

Como I G / L C é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( B ) d t 2 + 1 R C d ( B ) d t + ( B ) L C = I G L C

Como a derivada de uma constante é zero:

B L C = I G L C

B = I G

i p t = I G

Assim como no circuito série, também podemos encontrar i p analisando o circuito no regime permanente, ou seja, quando t → ∞ .

i p t = i ∞ = I G

3º PASSO:

Agora, vamos resolver a EDO homogênea:

d 2 i h d t 2 + 1 R C d i h d t + i h L C = 0

Essa EDO apesenta a mesma equação característica da EDO do circuito R L C paralelo sem fontes que vimos no tópico anterior. Logo, a resposta natural é a mesma que calculamos no caso sem fontes e vimos que, dependendo do valor dos elementos, temos três tipos de resposta.

4º PASSO:

Portanto, as soluções gerais para cada caso serão:

i t = I G + A e r 1 t + B e r 2 t     →     S u p e r a m o r t e c i d o

i t = I G + A + B t e - α t     →     A m o r t e c i m e n t o   c r í t i c o

i t = I G + e - α t A c o s   ω d t + B s i n   ω d t     →     S u b a m o r t e c i d o

Onde, no circuito R L C paralelo

α = 1 2 R C   ,             ω 0 = 1 L C   ,             ω d = ω 0 2 - α 2        

e

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2  

Sempre lembrando que A e B são constantes que determinamos a partir das nossas condições iniciais: i ( 0 ) e d i ( 0 ) / d t .

Generalização

Agora que você já está fera em circuitos R L C série e paralelo, podemos aplicar o que vimos até aqui a qualquer circuito de segunda ordem.

Seguindo esses quatro passos mágicos abaixo, podemos determinar a resposta x ( t ) ao degrau, que pode ser tensão ou corrente, para qualquer circuito de segunda ordem.

  1. Determinar as condições iniciais x 0 e d x ( 0 ) / d t e o valor final x ∞ ;
  2. Determinar a resposta natural do circuito x h t desligando as fontes independentes e aplicando a LCK ou LTK para obter a EDO de segunda ordem, pela qual calcularemos as raízes da equação característica;
  3. Calcular a resposta forçada do circuito através de
  4. x p ( t ) = x ( ∞ )

  5. A resposta final será a soma da resposta natural com a resposta forçada

x t = x h t + x p t

Tendo x t , determinar as constantes a partir das condições iniciais x 0 e d x ( 0 ) / d t .

Para você ver que eu não estou mentindo, vamos encontrar a tensão v ( t ) para t > 0 no circuito abaixo.

Como podemos ver, esse circuito não é um circuito R L C série nem paralelo, é um circuito de segunda ordem qualquer.

Vamos seguir nossos quatro passos.

1º PASSO:

Vamos determinar nossas condições iniciais e finais. Para t = 0 - , a chave está aberta e o circuito já atingiu o regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.

Como circuito está aberto, não há circulação de corrente e, consequentemente, não há queda de tensão no resistor. Logo,

v 0 - = 20   V

i 0 - = 0

Em t = 0 + , a chave é fechada.

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 20   V

i 0 + = i 0 - = 0

Ainda precisamos determinar d v ( 0 + ) / d t . Sabemos que no capacitor

i c = C d v d t

Logo,

d v d t = i c 0,5

Aplicando LCK ao nó do circuito,

i 0 + = v 0 + 2 + i c ( 0 + )

0 = 20 2 + i c 0 +

i c 0 + = - 10   A

Portanto,

d v 0 + d t = - 20   V / s

Agora, precisamos encontrar o valor final. Isso ocorre quando t → ∞ e podemos considerar um novo regime permanente.

Aplicando divisor de tensão,

v ∞ = 2 4 + 2 × 20 = 6,667   V

2º PASSO:

Agora, vamos determinar a resposta natural para o circuito em t > 0 . Desligando a fonte de tensão, temos o circuito abaixo

Lembrando que desligar a fonte de tensão é substituí-la por um curto-circuito.

Aplicando LCK ao nó do circuito acima,

i = v 2 + 1 2 d v d t

E aplicando LTK na malha da esquerda,

4 i + 1 d i d t + v = 0

Como a gente está querendo determinar a tensão v ( t ) , vamos substituir i da primeira equação na segunda.

2 v + 2 d v d t + 1 2 d v d t   + 1 2 d 2 v d t 2 + v = 0

Arrumando os termos,

d 2 v d t 2 + 5 d v d t + 6 v = 0

A equação característica para essa equação é

r 2 + 5 r + 6 = 0

Resolvendo a equação, chegamos as raízes

r 1 = - 2       e       r 2 = - 3

Logo, a resposta natural é

v t = A e - 2 t + B e - 3 t

3º PASSO:

Já determinamos o valor final da tensão. Logo a resposta forçada é

v p t = v ∞ = 6,667   V

4º PASSO:

Portanto, nossa solução completa é

v t = v h t + v p t

v t = 6,667 + A e - 2 t + B e - 3 t

Agora, precisamos determinar o valor de cada constante. Faremos isso, usando nossas condições iniciais.

v 0 + = 6,667 + A e - 2 0 + B e - 3 0 = 20

A + B = 13,333

Derivando v t , temos

d v d t = - 2 A e - 2 t - 3 B e - 3 t

Logo,

d v 0 + d t = - 2 A e - 2 0 - 3 B e - 3 0 = - 20

- 2 A - 3 B = - 20

Resolvendo o sistema abaixo,

A + B = 13,333 - 2 A - 3 B = - 20

Temos, A = 20 e B = - 6,667 .

Portanto, a solução completa é

v t = 6,667 + 20 e - 2 t - 6,667 e - 3 t     V

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.322, Problema 8.26

A resposta a um degrau de um circuito R L C é descrita por

d 2 i d t 2 + 2 d i d t + 5 i = 10

Dado que i 0 = 2 e d i ( 0 ) / d t = 4 , determine i ( t ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O enunciado forneceu para a gente a expressão para a corrente e suas condições iniciais. Então, para encontrarmos i ( t ) precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea.

d 2 i d t 2 + 2 d i d t + 5 i = 10

Passo 2

A solução dessa EDO terá duas parcelas: uma referente à resposta natural e outra referente à resposta forçada.

i t = i h t + i p t

Primeiro, vamos encontrar a resposta natural, que é a solução da EDO homogênea associada a EDO do nosso circuito.

d 2 i h d t 2 + 2 d i h d t + 5 i h = 0

Passo 3

Essa EDO tem a seguinte equação característica,

r 2 + 2 r + 5 = 0

Vamos encontrar as raízes dessa equação.

r 1,2 = - 2 ± 2 2 - 20 2

r 1,2 = - 1 ± j 2

Passo 4

Encontramos raízes imaginárias. Para esse caso, a solução geral é:

i h t = e - α t ( A cos ⁡ ω d t + B sin ⁡ ω d t )

Onde,

r 1,2 = - α ± j ω d

Logo, para a nossa EDO

- α = - 1                 e                   ω d = 2

Então, nossa solução homogênea será:

i h t = e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t )

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular, que é a resposta forçada do circuito.

d 2 i p d t 2 + 2 d i p d t + 5 i p = 10

Como 10 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = C ,

sendo C uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( C ) d t 2 + 2 d ( C ) d t + 5 ( C ) = 10

Como a derivada de uma constante é zero:

5 C = 10

C = 2

Logo,

i p t = 2

Passo 6

Agora que encontramos a resposta natural e a forçada é só somar as duas.

i t = i h t + i p t

Portanto, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

i t = e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t ) + 2