Introdução aos Circuitos Magnéticos

Teoria Completa

Introdução

Está lembrado da lei de Ampère? Então, ela é a lei que rege a produção de um campo magnético através da circulação de corrente por um condutor e é escrita assim:

∮ H ∙ d l = I l i q

Onde H é a intensidade do campo magnético, medida em ampères-espiras por metro, que é produzido pela corrente I l i q .

Para a gente entender melhor o que essa equação quer dizer, vamos a aplicá-la ao exemplo abaixo:

Esse exemplo mostra um núcleo retangular constituído por um material ferromagnético com um enrolamento de N espiras de fio enrolados em uma de suas pernas.

Como o núcleo é composto por um material ferromagnético, podemos considerar que todo o campo magnético produzido pela corrente ficará contido no núcleo, de modo que na lei de Ampère o caminho de integração será o comprimento médio no núcleo l c .

Já a corrente líquida I l i q é dada pelo produto do número de espiras com a corrente i que circula pelo enrolamento. Podemos escrever a lei de Ampère assim:

H c l c = N i

Lembrando que estamos escrevendo com subíndice C, porque significa Core de Núcleo, ou seja, tudo que circula pelo núcleo colocamos C.

Então, a intensidade do campo magnético no núcleo, devido à corrente, é:

H c = N i l c

Em circuitos magnéticos o produto N i é a força magnetomotriz   F ( F M M ) , ou seja:

F = N i = H c l c

Permeabilidade Magnética μ

A gente relaciona a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B através de uma propriedade do material em que se encontra o campo magnético chamada de permeabilidade magnética ( μ ) .

B = μ H

Para você não se enrolar com esses nomes parecidos, vou fazer um esquema abaixo com o que cada letra representa e suas respectivas unidades no S I :

B → D e n s i d a d e   d e   f l u x o   m a g n é t i c o → w e b e r s   p o r   m e t r o   q u a d r o   ( W b / m 2 )   o u   t e s l a   ( T )

H → I n t e n s i d a d e   d e   f l u x o   m a g n é t i c o → a m p è r e s - e s p i r a s   p o r   m e t r o   ( A e / m )

μ → P e r m e a b i l i d a d e   m a g n é t i c a → h e n r y s   p o r   m e t r o   ( H / m )

No gráfico acima percebemos que existem diferentes curvas que representam a variação da Densidade de fluxo magnético B com a variação da Intensidade de fluxo magnético H, pois com a mudança do material no qual o fluxo percorre, a permeabilidade magnética μ varia. Por exemplo, vemos que a variação é maior no tipo de material Chapa de Aço (Sheet Steel) do que no material Ferro fundido (Cast Iron).

Normalmente a permeabilidade dos materiais magnéticos é dada em termos de μ r , que é o seu valor relativo ao valor da permeabilidade do vácuo μ 0 , ou seja:

μ = μ r μ 0

Onde a permeabilidade do vácuo é:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   H / m

Nas máquinas rotativas e transformadores atuais, μ r varia de 2.000 a 80.00 0 .   Como a permeabilidade magnética é maior que a do ar, o fluxo “prefere” passar pelo núcleo e tem pouca dispersão pelo ar.

Fluxo Magnético ϕ

O fluxo magnético ϕ que atravessa uma superfície S é definido assim:

ϕ = ∫ S B ∙ d A

Mas, podemos considerar que toda a densidade de fluxo magnético ( B ) será a mesma em uma seção reta de um circuito magnético.

Então, a gente pode jogar essa integral para o espaço e utilizar essa simples equação simples abaixo:

ϕ c = B c A c

Onde:

ϕ c = F l u x o   n o   n ú c l e o   e m   w e b e r   W b

B c = D e n s i d a d e   d e   f l u x o   n o   n ú c l e o

A c = Á r e a   d e   s e ç ã o   r e t a   d o   n ú c l e o

Relutância   ( R ) e Permeância ( P )

A partir da equação:

ϕ c = B c A c

No núcleo, podemos escrever a densidade de fluxo magnético assim:

B c = ϕ c A c

Vimos que a força magnetomotriz F pode ser escrita da seguinte forma:

F = H c l c

Então, usando a relação entre B e H :

B = μ H

H c = B c μ  

F = B c μ c l c

Substituindo o valor de B c = ϕ c A c e escrevendo a F M M em termos do fluxo ϕ :

F = ϕ c μ c A c l c

F = ϕ c l c μ c A c

O termo entre parênteses, que multiplica o fluxo na equação, é chamado de relutância R c do núcleo, ou seja:

R c = l c μ c A c

Então, temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:

F = ϕ c R c

Logo, para qualquer circuito magnético, o fluxo pode ser calculado por:

ϕ = F R

Para entender melhor esses conceitos é só parar para comparar com o que já sabemos. Podemos fazer um paralelo entre a Força Magnetomotriz F com a Tensão V , as duas são os elementos que forçam a circulação do fluxo magnético ϕ c no caso de circuitos magnéticos e de corrente I no caso de circuitos elétricos. Por outro lado, a relutância R se contrapõe a essa circulação de fluxo magnético, assim como a resistência nos circuitos elétricos.

Facilitou, né? Saca essa tabelinha:

Lembra que o inverso da resistência elétrica era a condutância, no caso do inverso da relutância, também temos um termo que é chamado de permeância P :

P = 1 R

Agora vamos fazer um exemplo numérico para você ver como funciona essa sopa de letras, partiu?!

Exemplo

Vamos supor que a área da seção reta do núcleo é 8   c m 2 , o caminho médio é de 25   c m , ele possui 400 espiras enroladas. A permeabilidade relativa do material do núcleo é 60.000 e a corrente que circula pelas espiras é igual a 7,45mA. Calcular a relutância do núcleo, o fluxo e o campo magnético.

Passo 1:

O primeiro cuidado que temos que tomar é em relação às unidades. Temos que passar tudo o que está em centímetros para metros.

l c = 25   c m = 0,25   m

A c = 8   c m 2 = 8 × 10 - 4   m

Além disso, foi dado a permeabilidade relativa μ r . Logo, a permeabilidade do núcleo é

μ c = μ r μ 0

μ c = 60.000 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 7,54 × 10 - 2   H / m

Passo 2:

Podemos encontrar o valor da Intensidade do campo magnético H c através da igualdade que já conhecemos:

H c × l c = N × i

H c × 0,25 = 400 × 7,45 × 10 - 3

H c =   400 × 7,45 × 10 - 3 0,25

H c = 11,92   A e / m

Passo 3:

Como já conhecemos a permeabilidade magnética do núcleo μ c , podemos calcular a Densidade de fluxo magnético B :

B c =   μ c × H c

Substituindo os valores que já sabemos:

B c =   7,54 × 10 - 2 × 11,92

B c = 0,899   T

Passo 4:

Como estamos considerando que a densidade de fluxo magnético é a mesma por toda a área da seção:

ϕ c = B c   A c

ϕ c = 0,899   × 8 × 10 - 4

ϕ c = 7,19 × 10 - 4   W b

Passo 5:

Em um circuito magnético, a relutância pode ser calculada como a divisão entre a Força magnetomotriz e o fluxo magnético:

R c =   F ϕ c

E como sabemos, a Força magnetomotriz é igual a:

F = N i

Logo:

R c =   N i ϕ c

Substituindo os valores já encontrados:

R c =   N i ϕ c

R c = 400 × 7,45 × 10 - 3 7,19 × 10 - 4

Encontramos:

R c = 416,78 × 10

R c = 4 , 16   × 10 3   A . e / W b  

Pronto!

Agora é fazer os exercícios para fixar a matéria!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

O circuito magnético abaixo possui área da seção reta do núcleo igual a 10   c m 2 , seu caminho médio é de 25   c m , ele possui 480 espiras enroladas, a permeabilidade relativa do material do núcleo é 75.000 e o circuito magnético está operando com B c = 0,9   T . Determine:

( a ) a relutância do núcleo.

( b ) o fluxo.

( c ) a corrente.

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Passo 1

O primeiro cuidado que temos que tomar é em relação às unidades. Temos que passar tudo o que está em centímetros para metros.

l c = 25   c m = 0,25   m

A c = 10   c m 2 = 10 × 10 - 4   m

Além disso, foi dado a permeabilidade relativa do nucleo μ r . Logo, a permeabilidade do núcleo é

μ c = μ r μ 0

μ c = 75.000 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 9,42 × 10 - 2   H / m

Passo 2

A relutância do núcleo R c é calculada pela fórmula abaixo:

R c = l c μ c A c

Logo, substituindo os valores:

R c = 0,25 ( 9,42 × 10 - 2 ) ( 10 × 10 - 4 )

R c = 2,65 × 10 3   A . e / W b  

Passo 3

Para encontrarmos o fluxo vamos utilizar a fórmula abaixo:

ϕ c = B c A c

Substituindo os valores:

ϕ c = ( 0,9 ) ( 10 × 10 - 4 )

ϕ c = 9 × 10 - 4   W b

Passo 4

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:

F = ϕ c R c

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 9 × 10 - 4 ) ( 2,65 × 10 3 )

F = 2,38   A . e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 2,38 480

i = 4,97   m A

Resposta

a   R c = 2,65 × 10 3   A . e / W b  

b   ϕ c = 9 × 10 - 4   W b

c   i = 4,97   m A

Exercício Resolvido #2

Livro Chapman, p.24, Exemplo 1.4

Encontre a permeabilidade relativa de um material ferromagnético típico, cuja curva de magnetização está mostrada abaixo, nos pontos a   H = 50 ,   b   H = 100 ,   c   H = 500 e d   H = 1000   A e / m .

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Passo 1

A permeabilidade magnética ( μ ) é a propriedade do material em que se encontra o campo magnético que relaciona a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B .

B = μ H

Logo, podemos calculá-la assim:

μ = B H

Como, μ = μ r μ 0 , a gente determina a permeabilidade relativa fazendo:

μ r = μ μ 0 = μ 4 π × 10 - 7

Passo 2

Para H = 50   A e / m , utilizando o gráfico, vemos que B = 0,25   T . Portando, a permeabilidade magnética será:

μ = 0,25 50 = 5,0 × 10 - 3   H / m  

E a permeabilidade relativa será:

μ r = 5,0 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 3980

Passo 3

Para H = 100   A e / m , utilizando o gráfico, vemos que B = 0,7   T . Portando, a permeabilidade magnética será:

μ = 0,7 100 = 7,0 × 10 - 3   H / m  

E a permeabilidade relativa será:

μ r = 7,0 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 5570

Passo 4

Para H = 500   A e / m , utilizando o gráfico, vemos que B = 1,4   T . Portando, a permeabilidade magnética será:

μ = 1,4 500 = 2,8 × 10 - 3   H / m  

E a permeabilidade relativa será:

μ r = 2,8 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 2230

Passo 5

Para H = 1000   A e / m , utilizando o gráfico, vemos que B = 1,5   T . Portando, a permeabilidade magnética será:

μ = 1,5 1000 = 1,5 × 10 - 3   H / m  

E a permeabilidade relativa será:

μ r = 1,5 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 1194

Como podemos ver pelos resultados obtidos, a permeabilidade relativa não é constante. Ela é crescente no início e depois vai diminuindo com o aumento da intensidade de campo magnético. No gráfico abaixo vemos como a permeabilidade relativa varia com a intensidade do fluxo magnético:

Resposta

a   μ r = 3980  

b   μ r = 5570

c   μ r = 2230

d   μ r = 1194

Exercício Resolvido #3

Livro Fitzgerald, p.56, Problema 1.1

Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:

Área da seção reta A c = 1,8 × 10 - 3 m 2

Comprimento médio do núcleo l c = 0,6 m

Comprimento do entreferro g = 2,3 × 10 - 3 m

N = 83 espiras

Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita ( μ → ∞ ) e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro.

( a ) Calcule a relutância do núcleo R c e a do entreferro R g .

Para uma corrente de i = 1,5 A , calcule:

( b ) O fluxo total

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Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ → ∞ , então a relutância do núcleo é zero:

R c = 0   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 2,3 × 10 - 3 4 π × 10 - 7 × 1,8 × 10 - 3  

R g = 1016823,24   A . e / W b