Introdução aos Circuitos Magnéticos

Resumo Completo

Está lembrado da lei de Ampère? Então, ela é a lei que rege a produção de um campo magnético através da circulação de corrente por um condutor e é escrita assim:

H d l = I l i q

Onde H é a intensidade do campo magnético, medida em ampères-espiras por metro, que é produzido pela corrente I l i q .

Para a gente entender melhor o que essa equação quer dizer, vamos a aplicá-la ao exemplo abaixo:

Esse exemplo mostra um núcleo retangular constituído por um material ferromagnético com um enrolamento de N espiras de fio enrolados em uma de suas pernas.

Como o núcleo é composto por um material ferromagnético, podemos considerar que todo o campo magnético produzido pela corrente ficará contido no núcleo, de modo que na lei de Ampère o caminho de integração será o comprimento médio no núcleo l c .

Já a corrente líquida I l i q é dada pelo produto do número de espiras com a corrente i que circula pelo enrolamento. Podemos escrever a lei de Ampère assim:

H c l c = N i

Então, a intensidade do campo magnético no núcleo, devido à corrente, é:

H c = N i l c

Em circuitos magnéticos N i é a força magnetomotriz ( F M M ) , ou seja:

F = N i = H c l c

Permeabilidade Magnética

A gente relaciona a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B através de uma propriedade do material em que se encontra o campo magnético chamada de permeabilidade magnética ( μ ) .

B = μ H

Para você não se enrolar com esses nomes parecidos, vou fazer um esquema abaixo com o que cada letra representa e suas respectivas unidades no S I :

B d e n s i d a d e   d e   f l u x o   m a g n é t i c o w e b e r s   p o r   m e t r o   q u a d r o   ( W b / m 2 )   o u   t e s l a   ( T )

H I n t e n s i d a d e   d e   f l u x o   m a g n é t i c o a m p è r e s - e s p i r a s   p o r   m e t r o   ( A e / m )

μ p e r m e a b i l i d a d e   m a g n é t i c a h e n r y s   p o r   m e t r o   ( H / m )

Normalmente a permeabilidade dos materiais magnéticos é dada em termos de μ r , que é o seu valor relativo ao valor da permeabilidade do vácuo μ 0 , ou seja:

μ = μ r μ 0

Onde a permeabilidade do vácuo é:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   H / m

Nas máquinas rotativas e transformadores atuais, μ r varia de 2.000 a 80.000 .

Fluxo Magnético

O fluxo magnético ϕ que atravessa uma superfície S é definido assim:

ϕ = S B d a

Mas, podemos considerar que toda a densidade de fluxo magnético ( B ) será a mesma em uma seção reta de um circuito magnético. Então, a gente pode jogar essa integral para o espaço e utilizar essa simples equação simples abaixo:

ϕ c = B c A c

Onde:

ϕ c = f l u x o   n o   n ú c l e o   e m   w e b e r   W b

B c = d e n s i d a d e   d e   f l u x o   n o   n ú c l e o

A c = Á r e a   d e   s e ç ã o   r e t a   d o   n ú c l e o

Relutância e Permeância

No núcleo, podemos escrever a densidade de fluxo magnético assim:

B c = ϕ c A c

Vimos que

F = H c l c

Então, usando a relação entre B e H :

F = B c μ c l c

Substituindo o valor de B c e escrevendo a F M M em termos do fluxo ϕ :

F = ϕ c μ c A c l c

F = ϕ c l c μ c A c

O termo entre parênteses, que multiplica o fluxo na equação, é chamado de relutância R c do núcleo, ou seja:

R c = l c μ c A c

Então, temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:

F = ϕ c R c

Logo, para qualquer circuito magnético, o fluxo pode ser calculado por:

ϕ = F R

O termo que multiplica a F M M é chamado de permeância P e é o inverso da relutância:

P = 1 R

Agora vamos fazer um exemplo numérico para você ver como funciona essa sopa de letras, partiu?!

Vamos supor que a área da seção reta do núcleo é 8   c m 2 , o caminho médio é de 25   c m , ele possui 400 espiras enroladas. A permeabilidade relativa do material do núcleo é 60.000 e o circuito magnético está operando com B c = 0,8   T . Calcular a relutância do núcleo, o fluxo e a corrente.

Passo 1:

O primeiro cuidado que temos que tomar é em relação às unidades. Temos que passar tudo o que está em centímetros para metros.

l c = 25   c m = 0,25   m

A c = 8   c m 2 = 8 × 10 - 4   m

Além disso, foi dado a permeabilidade relativa μ r . Logo, a permeabilidade do núcleo é

μ c = μ r μ 0

μ c = 60.000 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 7,54 × 10 - 2   H / m

Passo 2:

A relutância do núcleo R c é calculada pela fórmula abaixo:

R c = l c μ c A c

Logo, substituindo os valores:

R c = 0,25 ( 7,54 × 10 - 2 ) ( 8 × 10 - 4 )

R c = 4,14 × 10 3   A . e / W b  

Passo 3:

O fluxo é calculado por

ϕ c = B c A c

ϕ c = ( 0,9 ) ( 8 × 10 - 4 )

ϕ c = 7,2 × 10 - 4   W b

Passo 4:

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:

F = ϕ c R c

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 7,2 × 10 - 4 ) ( 4,14 × 10 3 )

F = 2,98   A . e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 2,98 400

i = 7,45   m A

Pronto!

Agora é fazer os exercícios para fixar a matéria!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

O circuito magnético abaixo possui área da seção reta do núcleo igual a 10   c m 2 , seu caminho médio é de 25   c m , ele possui 480 espiras enroladas, a permeabilidade relativa do material do núcleo é 75.000 e o circuito magnético está operando com B c = 0,9   T . Determine:

( a ) a relutância do núcleo.

( b ) o fluxo.

( c ) a corrente.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O primeiro cuidado que temos que tomar é em relação às unidades. Temos que passar tudo o que está em centímetros para metros.

l c = 25   c m = 0,25   m

A c = 10   c m 2 = 10 × 10 - 4   m

Além disso, foi dado a permeabilidade relativa do nucleo μ r . Logo, a permeabilidade do núcleo é

μ c = μ r μ 0

μ c = 75.000 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 9,42 × 10 - 2   H / m

Passo 2

A relutância do núcleo R c é calculada pela fórmula abaixo:

R c = l c μ c A c

Logo, substituindo os valores:

R c = 0,25 ( 9,42 × 10 - 2 ) ( 10 × 10 - 4 )

R c = 2,65 × 10 3   A . e / W b  

Passo 3

Para encontrarmos o fluxo vamos utilizar a fórmula abaixo:

ϕ c = B c A c

Substituindo os valores:

ϕ c = ( 0,9 ) ( 10 × 10 - 4 )

ϕ c = 9 × 10 - 4   W b

Passo 4

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:

F = ϕ c R c

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 9 × 10 - 4 ) ( 2,65 × 10 3 )

F = 2,38   A . e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 2,38 480

i = 4,97   m A

Resposta

a   R c = 2,65 × 10 3   A . e / W b  

b   ϕ c = 9 × 10 - 4   W b

c   i = 4,97   m A

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Livro Chapman, p.24, Exemplo 1.4

Encontre a permeabilidade relativa de um material ferromagnético típico, cuja curva de magnetização está mostrada abaixo, nos pontos a   H = 50 ,   b   H = 100 ,   c   H = 500 e d   H = 1000   A e / m .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A permeabilidade magnética ( μ ) é a propriedade do material em que se encontra o campo magnético que relaciona a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B .

B = μ H

Logo, podemos calculá-la assim:

μ = B H

Como, μ = μ r μ 0 , a gente determina a permeabilidade relativa fazendo:

μ r = μ μ 0 = μ 4 π × 10 - 7

Passo 2

Para H = 50   A e / m , utilizando o gráfico, vemos que B = 0,25   T . Portando, a permeabilidade magnética será:

μ = 0,25 50 = 5,0 × 10 - 3   H / m  

E a permeabilidade relativa será:

μ r = 5,0 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 3980

Passo 3

Para H = 100   A e / m , utilizando o gráfico, vemos que B = 0,7   T . Portando, a permeabilidade magnética será:

μ = 0,7 100 = 7,0 × 10 - 3   H / m  

E a permeabilidade relativa será:

μ r = 7,0 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 5570

Passo 4

Para H = 500   A e / m , utilizando o gráfico, vemos que B = 1,4   T . Portando, a permeabilidade magnética será:

μ = 1,4 500 = 2,8 × 10 - 3   H / m  

E a permeabilidade relativa será:

μ r = 2,8 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 2230

Passo 5

Para H = 1000   A e / m , utilizando o gráfico, vemos que B = 1,5   T . Portando, a permeabilidade magnética será:

μ = 1,5 1000 = 1,5 × 10 - 3   H / m  

E a permeabilidade relativa será:

μ r = 1,5 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 1194

Como podemos ver pelos resultados obtidos, a permeabilidade relativa não é constante. Ela é crescente no início e depois vai diminuindo com o aumento da intensidade de campo magnético. No gráfico abaixo vemos como a permeabilidade relativa varia com a intensidade do fluxo magnético:

Resposta

a   μ r = 3980  

b   μ r = 5570

c   μ r = 2230

d   μ r = 1194

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Livro Fitzgerald, p.56, Problema 1.1

Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:

Área da seção reta A c = 1,8 × 10 - 3 m 2

Comprimento médio do núcleo l c = 0,6 m

Comprimento do entreferro g = 2,3 × 10 - 3 m

N = 83 espiras

Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita ( μ ) e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro.

( a ) Calcule a relutância do núcleo R c e a do entreferro R g .

Para uma corrente de i = 1,5 A , calcule:

( b ) O fluxo total

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ , então a relutância do núcleo é zero:

R c = 0   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 2,3 × 10 - 3 4 π × 10 - 7 × 1,8 × 10 - 3  

R g = 1016823,24   A . e / W b

Passo 3

O fluxo total será dado por:

ϕ = N i R c + R g

ϕ = 83 × 1,5 0 + 1016823,24

ϕ = 1,2244 × 10 - 4   W b  

Resposta

a     R c = 0   A . e / W b                 R g = 1016823,24   A . e / W b  

b ϕ = 1,2244 × 10 - 4   W b

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Livro Fitzgerald, p.27, Problema prático 1.1

O circuito magnético mostrado abaixo tem as dimensões A c = A g = 9   c m 2 , g = 0,050   c m e l c = 30   c m e N = 1000 espiras. Suponha o valor de μ r = 70.000 para o material do núcleo. Dada a condição de que o circuito magnético esteja operando com B c = 1,0   T , encontre:

( a ) as relutâncias R c e R g

( b ) o fluxo ϕ .

( c ) a corrente i .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Neste exercício, além do núcleo de material magnético, temos um entreferro de ar. Quando o comprimento do entreferro é muito menor do que as dimensões da seção reta do núcleo, podemos considerar que não há dispersão do fluxo e utilizar as técnicas de análise de circuito magnético que conhecemos.

Temos que tomar com as unidades, tudo o que está em centímetros devemos passar para metros.

l c = 30   c m = 0,3   m

A c = A g = 9   c m 2 = 9 × 10 - 4   m

g = 0,050   c m = 5,0 × 10 - 4   m

Além disso, foi dado a permeabilidade relativa do nucleo μ r . Logo, a permeabilidade do núcleo é

μ c = μ r μ 0

μ c = 70.000 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 8,79 × 10 - 2   H / m

Passo 2

A relutância do núcleo R c é calculada pela fórmula abaixo:

R c = l c μ c A c

Logo, substituindo os valores:

R c = 0,3 ( 8,79 × 10 - 2 ) ( 9 × 10 - 4 )

R c = 3,79 × 10 3   A . e / W b  

Da mesma maneira podemos calcular a relutância do entreferro R g :

R g = g μ 0 A g

R g = 5,0 × 10 - 4 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 9 × 10 - 4 )

R g = 4,42 × 10 5   A . e / W b  

Passo 3

Como o fluxo que passa pelo núcleo é o mesmo que passa pelo entreferro, podemos calculá-lo utilizando a fórmula abaixo:

ϕ = B c A c

Substituindo os valores:

ϕ = ( 1,0 ) ( 9 × 10 - 4 )

ϕ = 9 × 10 - 4   W b

Passo 4

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:

F = ϕ R

Nesse circuito, temos duas relutâncias. Logo, a relutância total será a soma da relutância do entreferro com a do núcleo.

R = R c + R g

Então, substituindo os valores que calculamos:

R = ( 3,79 × 10 3 ) + ( 4,42 × 10 5 )

R = 4,46 × 10 5   A . e / W b

Passo 5

Então, a F M M será

F = ( 9 × 10 - 4 ) ( 4,46 × 10 5 )

F = 401,4   A e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 401,4 1000

i = 0,40   A

Resposta

a   R c = 3,79 × 10 3   A . e W b ; R g = 4,42 × 10 5   A . e / W b  

b   ϕ = 9 × 10 - 4   W b

c   i = 0,40   A

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Livro Chapman, p.56, Problema 1.5

A figura abaixo mostra um núcleo ferromagnético. A profundidade (para dentro da página) do núcleo é 5   c m . As demais dimensões do núcleo estão mostradas na figura. Encontre o valor da corrente que produzirá um fluxo de 0,005   W b . Com essa corrente, qual é a densidade do fluxo no lado superior do núcleo? Qual é a densidade do fluxo no lado direito do núcleo? Assuma que a permeabilidade relativa do núcleo é 800 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O núcleo ferromagnético do problema tem áreas diferentes de seção reta para cada região. Por causa disso, a densidade de fluxo também será diferente!

R = l c μ × A c = l c μ 0 μ R × A c

Para a região 1 (parte superior):

R 1 = 2 × 5 + 20 + 2,5 × 10 - 2 4 π × 10 - 7 × 800 × 5 × 10 - 2 × 15 × 10 - 2

R 1 = 72946,01   A . e / W b

R 2 = 7,5 + 15 + 7,5 × 10 - 2 4 π × 10 - 7 × 800 × 5 × 10 - 2 × 10 × 10 - 2

R 2 = 59683,1   A . e / W b

R 3 = 7,5 + 15 + 7,5 × 10 - 2 4 π × 10 - 7 × 800 × 5 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

R 3 = 119366,2   A . e / W b

Passo 2

A relutância total será a soma das relutâncias:

R T O T A L =   R 1 + R 2 + R 3

R T O T A L = 72946,01 + 59683,1 + 119366,2  

R T O T A L = 251995,31   A . e / W b  

Passo 3

A força magnetomotriz que produz um fluxo de 0,005   W b   é:

F = ϕ R T O T A L

F = 0,005 × 251995,31

F = 1259,98   A . e

Passo 4

Portanto, a corrente que produzirá esse fluxo será:

i = F N

i = 1259,98 500

i = 2,52   A  

Passo 5

A densidade de fluxo na parte superior do núcleo será a densidade de fluxo na região 1:

B 1 = ϕ A 1

B 1 = 0,005 5 × 10 - 2 × 15 × 10 - 2

B 1 = 0,667   T

Passo 6

A densidade de fluxo no lado direito do núcleo será a densidade de fluxo na região 3:

B 3 = ϕ A 3

B 3 = 0,005 5 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

B 3 = 2,0   T

Resposta

i = 2,52   A

A densidade de fluxo na parte superior do núcleo é B 1 = 0,667   T

A densidade de fluxo no lado direito do núcleo é B 3 = 2,0   T

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Livro Chapman, p.25, Exemplo 1.5 (adaptado)

Um núcleo magnético quadrado tem um comprimento médio de 55   c m e uma área de seção reta de 150   c m 2 . Uma bobina com 200 espiras é enrolada em torno de uma perna do núcleo. O núcleo é feito de um material cuja curva de magnetização é mostrada abaixo:

( a ) Qual a corrente necessária para produzir 0,012   W b de fluxo no núcleo?

b Qual a permeabilidade relativa do núcleo nesse nível de corrente?

( c ) Qual é a sua relutância?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o circuito magnético para visualizarmos o problema.

Temos que tomar em relação às unidades. Então, vamos passar tudo o que está em centímetros para metros.

l c = 55   c m = 0,55   m

A c = 150   c m 2 = 150 × 10 - 4   m

Passo 2

Para encontrarmos a corrente, primeiro temos que calcular a densidade de fluxo no núcleo:

B c = ϕ A c

B c = 0,012 150 × 10 - 4

B c = 0,8   T

Agora, com o valor calculado, vamos analisamos a curva de magnetização e vemos qual a intensidade de fluxo magnético correspondente a essa densidade.

B c = 0,8   T           H c = 115   A . e / m

Passo 3

Pela lei de Ampère podemos relacionar a corrente com a intensidade de campo magnético:

H c l c = N i

Isolando a corrente:

i = H c l c N

Substituindo os pelos valores:

i = ( 115 ) ( 0,55 ) 200

i = 0,316   A

Passo 4

A permeabilidade magnética ( μ ) é a propriedade do material em que se encontra o campo magnético que relaciona a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B .

B = μ H

Logo, podemos calculá-la assim:

μ = B c H c

μ = 0,8 115

μ = 6,96 × 10 - 3   H / m

Como, μ = μ r μ 0 , a gente determina a permeabilidade relativa fazendo:

μ r = μ μ 0

μ r = 6,96 × 10 - 3 4 π × 10 - 7

μ r = 5539

Passo 5

Para calcularmos a relutância do núcleo, antes vamos determinar a força magnetomotriz.

F = N i

F = ( 200 ) ( 0,316 )

F = 63,2   A . e

Agora é aplicar a fórmula abaixo e correr para o abraço.

R = F ϕ

R = 63,2 0,012

R = 5267   A e / m

Resposta

a   i = 0,316   A

b   μ r = 5539

c   R = 5267   A . e / m  

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Livro Chapman, p.56, Problema 1.7

Um núcleo de duas pernas está mostrado na abaixo. O enrolamento da perna esquerda do núcleo ( N 1 ) tem 600 espiras e o enrolamento da perna direita do núcleo ( N 2 ) tem 200 espiras. As bobinas são enroladas nos sentidos mostrados na figura. Se as dimensões forem as mostradas, qual será o fluxo produzido pelas correntes i 1 = 0,5   A   e i 2 = 1,00   A ? Assuma que μ r = 1200 é constante.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pela regra da mão direita, os fluxos produzidos pelos dois enrolamentos possuem o mesmo sentido.

Logo, a força magnetomatriz total será a soma das forças magnetromotrizes de cada enrolamento.

F t o t = F 1 + F 2

F t o t = N 1 i 1 + N 2 i 2

F t o t = ( 600 ) ( 0,5 ) + ( 200 ) ( 1 )

F t o t = 500   A . e

Passo 2

Agora, para calcularmos a relutância total no núcleo vamos utilizar a fórmula abaixo:

R t o t = l c μ c A c

Primeiro, vamos calcular o comprimento médio:

l c = ( 50 + 7,5 + 7,5 ) × 4

l c = 260   c m = 2,6   m

Passo 3

Sabendo que a profundidade do núcleo é de 15   c m . A área da seção reta é:

A c = 15 × 15

A c = 225   c m 2 = 225 × 10 - 4   m

Passo 4

Como o enunciado disse para assumir que μ r = 1200 e é constante, a permeabilidade do núcleo será:

μ c = μ r μ 0

μ c = ( 1200 ) ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 1,51 × 10 - 3   H \ m

Passo 5

Agora, substituindo os valores calculados, a relutância total no núcleo será:

R t o t = 2,6 ( 1,51 × 10 - 3 ) ( 225 × 10 - 4 )

R t o t = 76527   A . e / W b

Passo 6

Logo, o fluxo pode ser calculado por:

ϕ = F t o t R t o t

ϕ = 500 76527

ϕ = 0,00653   W b

Resposta

ϕ = 0,00653   W b  

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