Análise de Circuitos Magnéticos
Teoria
Agora, vamos analisar os circuitos magnéticos como analisamos os circuitos elétricos simples. Esse tipo de análise é a mais comum e simplifica muito a nossa vida, já que as leis de circuitos elétricos já estão em nosso sangue e são válidas nessa análise de circuito magnético.
Vamos começar!
Circuito Elétrico
Em um circuito elétrico simples, como o mostrado abaixo, a fonte de tensão injeta ao circuito uma corrente que passa por uma resistência .
Pela lei de Ohm:
Circuito Magnético
No circuito elétrico o fluxo de corrente é injetado por uma tensão ou uma força eletromotriz. De maneira análoga, em um circuito magnético a força magnetomotriz é a responsável por criar o fluxo .
Do mesmo modo que a lei de Ohm, a relação entre a e o fluxo é
Relutância
Como sabemos, podemos calcular a relutância do núcleo pela fórmula abaixo:
As relutâncias em um circuito magnético obedecem às mesmas regras que as resistências em um circuito elétrico. Quando elas estão em série, a relutância equivalente é a soma das relutâncias:
Já quando estão em paralelo:
Exemplo 1 – Circuito Magnético Série
Para você ver como essa análise de circuitos magnéticos facilita muito a nossa vida, vamos fazer o exemplo abaixo. Nele, temos um núcleo ferromagnético, três de seus lados têm a mesma largura e a largura do quarto lado é menor. A profundidade do núcleo é e as outras dimensões são mostradas na figura. Vamos assumir que a e calcular o fluxo que será produzido por uma corrente de ampères.
Passo 1
O primeiro passo é calcular as relutâncias. Nesse exemplo temos duas: uma referente aos três lados de mesma largura e a outra referente ao lado de menor largura.
Primeiro vamos determinar os comprimentos médios e .
Analisando a figura temos:
Passo 2
Agora, vamos calcular as áreas das seções retas:
Além disso, foi dado a permeabilidade relativa .Logo, a permeabilidade do núcleo é:
Passo 3
Então, substituindo os valores que calculamos, temos as seguintes relutâncias:
Passo 4
Agora que calculamos as relutâncias, vamos desenhar o circuito magnético referente a esse exercício. Como o fluxo é o mesmo para todos os lados do núcleo ferromagnético, o circuito é série e, consequentemente, as relutâncias estão associadas em série.
Portanto, a relutância total do núcleo é:
Passo 5
Podemos calcular a total multiplicando o número de espiras do enrolamento pela corrente que circula por ele.
Passo 6
Pela analogia de circuitos elétricos com circuitos magnéticos temos:
Logo, o fluxo é calculado por:
Pronto! Agora vamos ver um caso em que as relutâncias estão associadas em paralelo.
Exemplo 2 – Circuito Magnético Paralelo
Agora, temos o núcleo abaixo com a mesma permeabilidade relativa . As dimensões estão mostradas na figura. Se na bobina houver espiras enroladas em torno da perna central do núcleo e se a corrente na bobina for , quais serão os valores de fluxo para as pernas esquerda, central e direita do núcleo?
Passo 1
Nesse exemplo temos três relutâncias: uma referente à perna central, uma referente ao lado esquerdo e outra referente ao lado direito, que são respectivamente:
Primeiro vamos determinar os comprimentos médios e as áreas das seções retas:
Analisando a figura temos:
Agora, vamos calcular as áreas das seções retas:
Como o núcleo tem a mesma permeabilidade relativa do que o exemplo anterior:
Passo 2
Então, substituindo os valores que calculamos, temos as seguintes relutâncias:
Passo 3
Agora que calculamos as relutâncias, vamos desenhar o circuito magnético referente a esse exemplo.
Nesse caso, o fluxo produzido na perna central se dividirá em dois: um seguindo para a esquerda e outro para a direita. Logo, o circuito é paralelo e, consequentemente, as relutâncias estão associadas em paralelo.
Como o fluxo é o análogo à corrente em um circuito elétrico, temos:
Além disso, a relutância total do núcleo é:
Passo 4
Podemos calcular a total multiplicando o número de espiras do enrolamento pela corrente que circula por ele:
Passo 5
Pela analogia de circuitos elétricos com circuitos magnéticos temos:
Logo, o fluxo é calculado por:
Passo 6
Agora, vamos calcular os fluxos da esquerda e da direita utilizando o mesmo princípio de divisor de corrente em circuitos elétricos.
Como podemos ver, o fluxo gerado na perna central se divide igualmente entre os dois caminhos, o que era de se esperar, já que a relutância da região da direita é igual à da esquerda. Isso prova mais uma vez a analogia entre os circuitos magnéticos e elétricos.
Quando tínhamos um circuito elétrico com dois resistores iguais ligados em paralelo, a corrente se dividia igualmente. Metade passava por um resistor e a outra metade no outro.
Agora é praticar bastante!
Exemplo 1 – Circuito Magnético Série
Exemplo 2 – Circuito Magnético Paralelo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Livro Chapman, p.61 Problema 1.15 (adaptado)
Um núcleo de transformador com comprimento efetivo de caminho médio de (polegadas) tem uma bobina de espiras enroladas em torno de uma perna. A área de sua seção reta é (polegadas quadradas) e sua permeabilidade magnética relativa é . Se uma corrente de estiver circulando na bobina, qual será o fluxo total no núcleo? Qual é a densidade de fluxo?
Passo 1
Para melhor visualização, fiz o desenho do circuito para você entender melhor o que está acontecendo:
A força magnetomotriz do circuito será:
O circuito magnético associado à configuração acima é esse:
Passo 2
O próximo passo é calcular a relutância do circuito. Lembra da fórmula da relutância?
Antes teremos que calcular o valor de
Passo 3
As medidas têm que estar em metros:
Passando de polegada para metro:
Agora já podemos calcular a relutância:
Passo 4
Agora já é possível calcular o valor do fluxo:
Passo 5
Para calcular a densidade de fluxo a gente tem que lembrar dessa fórmula aqui:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Chapman-p61-problema 1.17 (adaptado)
A figura abaixo mostra o núcleo de um motor CC simples:
Assuma que a área da seção reta de cada entreferro seja , que a largura de cada entreferro é e que a permeabilidade relativa do núcleo é . O diâmetro efetivo do núcleo do rotor é e a densidade de fluxo no núcleo é .
Qual seria o fluxo total no núcleo para essa densidade de fluxo da parte?
A corrente de campo máxima possível para essa máquina é . Determine um número razoável de espiras de fio para fornecer a densidade de fluxo desejada e ao mesmo tempo não exceder a corrente máxima disponível.
Passo 1
Na letra , vamos calcular o fluxo no núcleo utilizando a fórmula abaixo:
Como a profundidade do núcleo é área da seção reta será:
Então, o fluxo é:
Passo 2
Na letra , vamos encontrar o número de espiras utilizando circuito magnético referente a esse núcleo. A gente vai ter quatro relutâncias associadas em série: uma referente às pernas do núcleo, uma referente ao núcleo do rotor e mais duas referente aos entreferros, que serão iguais.
Passo 3
Agora vamos partir para os cálculos das relutâncias, lembrando que tudo tem que estar em metros:
Passo 4
Como o fluxo é o mesmo para todo o núcleo, as relutâncias estão em série e a relutância equivalente será:
Passo 5
Para encontrarmos o número de espiras, primeiro, temos que calcularmos a . Então, utilizando a relação análoga a lei de Ohm para circuitos magnéticos:
Então, substituindo os valores que calculamos:
Como
O número de espiras será:
Logo, um número razoável de espiras para atender nossas condições seria
Resposta
Exercício Resolvido #3
Livro Chapman, p.56, Problema 1.8
Um núcleo com três pernas está mostrado na figura abaixo. Sua profundidade é de e há espiras na perna esquerda. Pode-se assumir que a permeabilidade relativa do núcleo é e constante. Que fluxo existe em cada uma das três pernas do núcleo? Qual é a densidade de fluxo em cada uma das pernas? Assuma um aumento de na área efetiva do entreferro devido aos efeitos de espraiamento.
Passo 1
Vamos começar calculando os comprimentos de cada braço:
Para e temos que lembrar de subtrair o valor do comprimento dos gaps:
Passo 2
Calculando as áreas:
Passo 3
Cuidado agora!!! O enunciado disse para assumir um incremento de na área efetiva do entreferro para compensar o espraiamento. O que isso quer dizer?
Na prática é simples: temos que considerar que a área da seção reta do entreferro é maior do que a área da seção reta real em que ele se encontra:
Calma que eu te explico! Vamos dar um zoom no entreferro desse núcleo:
Esse é o efeito de espraiamento de um campo magnético no entreferro. Viu o aumento da área da seção reta do entreferro em comparação com a área da seção reta do metal? Por isso o enunciado pediu para a gente considerar esse aumento.
Passo 4
O circuito terá as relutâncias do núcleo e também a relutância associada aos entreferro, denominadas de . O circuito do problema fica assim:
Calculando as relutâncias:
Para o cálculo das relutâncias no entreferro, temos que lembrar que o não entra na fórmula, porque é um entreferro de ar:
Passo 5
A relutância total será: