Análise de Circuitos Magnéticos

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Teoria

Agora, vamos analisar os circuitos magnéticos como analisamos os circuitos elétricos simples. Esse tipo de análise é a mais comum e simplifica muito a nossa vida, já que as leis de circuitos elétricos já estão em nosso sangue e são válidas nessa análise de circuito magnético.

Vamos começar!

Circuito Elétrico

Em um circuito elétrico simples, como o mostrado abaixo, a fonte de tensão V injeta ao circuito uma corrente I que passa por uma resistência R .

Pela lei de Ohm:

V = R i

Circuito Magnético

No circuito elétrico o fluxo de corrente é injetado por uma tensão ou uma força eletromotriz. De maneira análoga, em um circuito magnético a força magnetomotriz F é a responsável por criar o fluxo ϕ .

Do mesmo modo que a lei de Ohm, a relação entre a F M M e o fluxo é

F = R ϕ

Relutância

Como sabemos, podemos calcular a relutância R c do núcleo pela fórmula abaixo:

R c = l c μ c A c

As relutâncias em um circuito magnético obedecem às mesmas regras que as resistências em um circuito elétrico. Quando elas estão em série, a relutância equivalente é a soma das relutâncias:

R e q = R 1 + R 2 + R 3 + … + R N

Já quando estão em paralelo:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + … + 1 R N

Exemplo 1 – Circuito Magnético Série

Para você ver como essa análise de circuitos magnéticos facilita muito a nossa vida, vamos fazer o exemplo abaixo. Nele, temos um núcleo ferromagnético, três de seus lados têm a mesma largura e a largura do quarto lado é menor. A profundidade do núcleo é 15   c m e as outras dimensões são mostradas na figura. Vamos assumir que a μ r = 2500 e calcular o fluxo que será produzido por uma corrente de 2 ampères.

Passo 1

O primeiro passo é calcular as relutâncias. Nesse exemplo temos duas: uma referente aos três lados de mesma largura e a outra referente ao lado de menor largura.

R 1 = l 1 μ c A 1                                               R 2 = l 2 μ c A 2  

Primeiro vamos determinar os comprimentos médios l 1 e l 2 .

Analisando a figura temos:

l 1 = 2 × 5 + 50 + 7,5 + 50 + 7,5 + 7,5 = 190   c m = 1,9   m

l 2 = 50 + 7,5 + 7,5 = 65   c m = 0,65   m

Passo 2

Agora, vamos calcular as áreas das seções retas:

A 1 = 15 × 15 = 225   c m 2 = 0,0225   m 2

A 2 = 10 × 15 = 150   c m 2 = 0,0150   m 2

Além disso, foi dado a permeabilidade relativa μ r .Logo, a permeabilidade do núcleo é:

μ c = μ r μ 0

μ c = 2.500 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 3,14 × 10 - 3   H / m

Passo 3

Então, substituindo os valores que calculamos, temos as seguintes relutâncias:

R 1 = l 1 μ c A 1 = 1,9 3,14 × 10 - 3 0,0225

R 1 = 26.893   A . e / W b

R 2 = l 2 μ c A 2 = 0,65 3,14 × 10 - 3 0,0150

R 2 = 13.800   A . e / W b

Passo 4

Agora que calculamos as relutâncias, vamos desenhar o circuito magnético referente a esse exercício. Como o fluxo é o mesmo para todos os lados do núcleo ferromagnético, o circuito é série e, consequentemente, as relutâncias estão associadas em série.

Portanto, a relutância total do núcleo é:

R e q = R 1 + R 2

R e q = 26.893 + 13.800

R e q = 40.693   A . e / W b

Passo 5

Podemos calcular a F M M total multiplicando o número de espiras do enrolamento pela corrente que circula por ele.

F = N i

F = ( 200 ) ( 2 )

F = 400   A . e

Passo 6

Pela analogia de circuitos elétricos com circuitos magnéticos temos:

F = R e q ϕ

Logo, o fluxo é calculado por:

ϕ = F R e q

ϕ = 400 40693

ϕ = 0,00983   W b

Pronto! Agora vamos ver um caso em que as relutâncias estão associadas em paralelo.

Exemplo 2 – Circuito Magnético Paralelo

Agora, temos o núcleo abaixo com a mesma permeabilidade relativa μ r = 2500 . As dimensões estão mostradas na figura. Se na bobina houver 200 espiras enroladas em torno da perna central do núcleo e se a corrente na bobina for 2   A , quais serão os valores de fluxo para as pernas esquerda, central e direita do núcleo?

Passo 1

Nesse exemplo temos três relutâncias: uma referente à perna central, uma referente ao lado esquerdo e outra referente ao lado direito, que são respectivamente:

R 1 = l 1 μ c A 1                                               R 2 = l 2 μ c A 2                                   R 3 = l 3 μ c A 3

Primeiro vamos determinar os comprimentos médios e as áreas das seções retas:

Analisando a figura temos:

l 1 = ( 50 + 7,5 + 7,5 ) = 65   c m = 0,65   m

l 2 = 2 × 50 + 7,5 + 5 + ( 50 + 7,5 + 7,5 ) = 190   c m = 1,9   m

l 3 = 2 × 50 + 7,5 + 5 + ( 50 + 7,5 + 7,5 ) = 190   c m = 1,9   m

Agora, vamos calcular as áreas das seções retas:

A 1 = 10 × 15 = 150   c m 2 = 0,0150   m

A 2 = A 3 = 15 × 15 = 225   c m 2 = 0,0225   m

Como o núcleo tem a mesma permeabilidade relativa do que o exemplo anterior:

μ c = μ r μ 0

μ c = 2.500 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 3,14 × 10 - 3   H / m

Passo 2

Então, substituindo os valores que calculamos, temos as seguintes relutâncias:

R 1 = l 1 μ c A 1 = 0,65 3,14 × 10 - 3 0,0150

R 1 = 13.800   A . e / W b

R 2 = l 2 μ c A 2 = 1,9 3,14 × 10 - 3 0,0225

R 2 = 26.893   A . e / W b

R 3 = l 3 μ c A 3 = 1,9 3,14 × 10 - 3 0,0225

R 3 = 26.893   A . e / W b

Passo 3

Agora que calculamos as relutâncias, vamos desenhar o circuito magnético referente a esse exemplo.

Nesse caso, o fluxo produzido na perna central se dividirá em dois: um seguindo para a esquerda e outro para a direita. Logo, o circuito é paralelo e, consequentemente, as relutâncias estão associadas em paralelo.

Como o fluxo é o análogo à corrente em um circuito elétrico, temos:

ϕ 1 = ϕ 2 + ϕ 3

Além disso, a relutância total do núcleo é:

R e q = R 1 + ( R 2 R 3 )

R e q = 13.800 + 26.893 × 26.893 26.893 + 26.893

R e q = 27246,5   A e / W b

Passo 4

Podemos calcular a F M M total multiplicando o número de espiras do enrolamento pela corrente que circula por ele:

F = N i

F = ( 200 ) ( 2 )

F = 400   A . e

Passo 5

Pela analogia de circuitos elétricos com circuitos magnéticos temos:

F = R e q ϕ 1

Logo, o fluxo é calculado por:

ϕ 1 = F R e q

ϕ 1 = 400 27246,5

ϕ 1 = 0,0147   W b

Passo 6

Agora, vamos calcular os fluxos da esquerda e da direita utilizando o mesmo princípio de divisor de corrente em circuitos elétricos.

ϕ 2 = R 3 R 2 + R 3 × ϕ 1

ϕ 2 = 26893 26893 + 26893 × 0,0147

ϕ 2 = 0,00735   W b

ϕ 3 = R 2 R 2 + R 3 × ϕ 1

ϕ 3 = 26893 26893 + 26893 × 0,0147

ϕ 3 = 0,00735   W b

Como podemos ver, o fluxo gerado na perna central se divide igualmente entre os dois caminhos, o que era de se esperar, já que a relutância da região da direita é igual à da esquerda. Isso prova mais uma vez a analogia entre os circuitos magnéticos e elétricos.

Quando tínhamos um circuito elétrico com dois resistores iguais ligados em paralelo, a corrente se dividia igualmente. Metade passava por um resistor e a outra metade no outro.

Agora é praticar bastante!

Exemplo 2 – Circuito Magnético Paralelo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um núcleo de transformador com comprimento efetivo de caminho médio de 6   p o l (polegadas) tem uma bobina de 200 espiras enroladas em torno de uma perna. A área de sua seção reta é 0,25   p o l 2 (polegadas quadradas) e sua permeabilidade magnética relativa é 2230 . Se uma corrente de 0,3   A estiver circulando na bobina, qual será o fluxo total no núcleo? Qual é a densidade de fluxo?

Passo 1

Para melhor visualização, fiz o desenho do circuito para você entender melhor o que está acontecendo:

A força magnetomotriz do circuito será:

F = N i

F = 200 × 0,3

F = 60   A . e

O circuito magnético associado à configuração acima é esse:

Passo 2

O próximo passo é calcular a relutância do circuito. Lembra da fórmula da relutância?

R = l c μ × A c

Antes teremos que calcular o valor de μ :

μ = μ 0 × μ R

μ = 4 π × 10 - 7 × 2230

μ = 0,0028

Passo 3

As medidas têm que estar em metros:

1   p o l =   0,0254   m

1   p o l 2 = 0,00064516   m 2

Passando de polegada para metro:

l c = 0,1524   m

A c =   0,00016129   m 2

Agora já podemos calcular a relutância:

R = 0,1524 0,0028 × 0,00016129

R = 337457,81   A . e / W b

Passo 4

Agora já é possível calcular o valor do fluxo:

ϕ = F R

ϕ = 60 337457,81

ϕ = 0,0001778   W b

Passo 5

Para calcular a densidade de fluxo a gente tem que lembrar dessa fórmula aqui:

ϕ = B × A c

B = 0,0001778 0,00016129

B = 1,1   T

Resposta

ϕ = 0,0001778   W b

B = 1,1   T

Exercício Resolvido #2

A figura abaixo mostra o núcleo de um motor CC simples:

Assuma que a área da seção reta de cada entreferro seja 18   c m 2 , que a largura de cada entreferro é 0,05   c m e que a permeabilidade relativa do núcleo é 3800 . O diâmetro efetivo do núcleo do rotor é 5   c m e a densidade de fluxo no núcleo é 1,2   T .

( a ) Qual seria o fluxo total no núcleo para essa densidade de fluxo da parte?

( b ) A corrente de campo máxima possível para essa máquina é 1   A . Determine um número razoável de espiras de fio para fornecer a densidade de fluxo desejada e ao mesmo tempo não exceder a corrente máxima disponível.

Passo 1

Na letra ( a ) , vamos calcular o fluxo no núcleo utilizando a fórmula abaixo:

ϕ = B A

Como a profundidade do núcleo é 5   c m área da seção reta será:

A = 5 × 5 = 25   c m 2 = 25 × 10 - 4   m 2

Então, o fluxo é:

ϕ = ( 1,2 ) ( 25 × 10 - 4 )

ϕ = 0,003   W b

Passo 2

Na letra ( b ) , vamos encontrar o número de espiras utilizando circuito magnético referente a esse núcleo. A gente vai ter quatro relutâncias associadas em série: uma referente às pernas do núcleo, uma referente ao núcleo do rotor e mais duas referente aos entreferros, que serão iguais.

Passo 3

Agora vamos partir para os cálculos das relutâncias, lembrando que tudo tem que estar em metros:

R n = l n μ n A

R n = 0,60 ( 3800 ) ( 4 π × 10 - 7 ) ( 25 × 10 - 4 )

R n = 50259,4   A . e / W b

R r = l n μ n A

R r = 0,05 ( 3800 ) ( 4 π × 10 - 7 ) ( 25 × 10 - 4 )

R r = 4188,3   A . e / W b

R g 1 = R g 2 = l g μ 0 A g

R g 1 = R g 2 = 0,0005 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 18 × 10 - 4 )

R g 1 = R g 2 = 221048,5   A . e / W b

Passo 4

Como o fluxo é o mesmo para todo o núcleo, as relutâncias estão em série e a relutância equivalente será:

R e q = R n + R g 1 + R r + R g 2

R e q = 50259,4 + 221048,5 + 4188,3 + 221048,5

R e q = 496544,7   A . e / W b

Passo 5

Para encontrarmos o número de espiras, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Então, utilizando a relação análoga a lei de Ohm para circuitos magnéticos:

F = ϕ R e q

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 0,003 ) ( 496544,7 )

F = 1489,6   A . e

Como

F = N i

O número de espiras será:

N = F i

N = 1489,6 1

N = 1489,6   e s p i r a s

Logo, um número razoável de espiras para atender nossas condições seria N = 1500   e s p i r a s

Resposta

a   ϕ = 0,003   W b

b   N = 1500   e s p i r a s

Exercício Resolvido #3

Um núcleo com três pernas está mostrado na figura abaixo. Sua profundidade é de 5   c m e há 100 espiras na perna esquerda. Pode-se assumir que a permeabilidade relativa do núcleo é 2000 e constante. Que fluxo existe em cada uma das três pernas do núcleo? Qual é a densidade de fluxo em cada uma das pernas? Assuma um aumento de 5 % na área efetiva do entreferro devido aos efeitos de espraiamento.

Passo 1

Vamos começar calculando os comprimentos de cada braço:

l 1 = 2 × 4,5 + 25 + 7,5 × 10 - 2 + 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 1 = 1,08   m  

Para l 2 e l 3 temos que lembrar de subtrair o valor do comprimento dos gaps:

l 2 = 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 2 = 0,34   m  

l 3 = 2 × 4,5 + 25 + 7,5 × 10 - 2 + 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 3 = 1,08   m  

Passo 2

Calculando as áreas:

A 1 = 9 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 1 = 0,0045   m 2

A 2 = 15 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 2 = 0,0075   m 2

A 3 = 9 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 3 = 0,0045   m 2

Passo 3

Cuidado agora!!! O enunciado disse para assumir um incremento de 5 % na área efetiva do entreferro para compensar o espraiamento. O que isso quer dizer?

Na prática é simples: temos que considerar que a área da seção reta do entreferro é 5 % maior do que a área da seção reta real em que ele se encontra:

A g = 1,05 × A 2

Calma que eu te explico! Vamos dar um zoom no entreferro desse núcleo:

Esse é o efeito de espraiamento de um campo magnético no entreferro. Viu o aumento da área da seção reta do entreferro em comparação com a área da seção reta do metal? Por isso o enunciado pediu para a gente considerar esse aumento.

A g = 1,05 × 0,0075  

A g = 0,007875   m 2

Passo 4

O circuito terá as relutâncias do núcleo e também a relutância associada aos entreferro, denominadas de R g . O circuito do problema fica assim:

Calculando as relutâncias:

R 1 = l 1 μ 0 μ R × A 1 = 1,08 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0045 = 95493,0   A . e / W b

R 2 = l 2 μ 0 μ R × A 2 = 0,34 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0075 = 18037,56   A . e / W b

R 3 = l 3 μ 0 μ R × A 3 = 1,08 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0045 = 95493,0   A . e / W b

Para o cálculo das relutâncias no entreferro, temos que lembrar que o μ R não entra na fórmula, porque é um entreferro de ar:

R g = g μ 0 × A g = 0,05 × 10 - 2 4 π × 10 - 7 × 0,007875 = 50525,37   A . e / W b