Fluxo Concatenado e Indutância

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Teoria

Fluxo Concatenado

De acordo com a lei de Faraday, quando o campo magnético varia no tempo produz-se um campo elétrico no espaço:

∮ C E ∙ d s = - d d t ∫ S B ∙ d a

Calma, a gente não vai precisar calcular integral, só precisamos entender o que essa equação quer dizer. Como o fluxo é

ϕ = ∫ S B ∙ d a

Podemos reescrever a lei de Faraday assim:

∮ C E ∙ d s = - d ϕ d t

Essa equação determina que a integral de linha da intensidade do campo elétrico E ao longo de um caminho fechado é igual à variação de fluxo magnético no tempo que passa através desse caminho fechado.

Esse fluxo que passa através do caminho fechado é chamado de fluxo concatenado λ e é definido como

λ = N φ

Onde N é o número de espiras do enrolamento (caminho fechado C ) e φ é o valor instantâneo de um fluxo que varia no tempo.

Indutância

Em um circuito magnético, formado por um núcleo de material com permeabilidade constante ou que tenha um entreferro, a relação entre o fluxo magnético ϕ e a corrente i é linear e podemos definir a indutância L como

L = λ i

Lembrando que F = N i , ϕ = F / R t o t e λ = N ϕ , substituindo essas equações na equação acima, temos:

L = N ϕ F N = N 2 ϕ F

L = N 2 ϕ F = N 2 ϕ ϕ R t o t

L = N 2 R t o t

Então, sabendo o número de espiras do enrolamento e a relutância total do circuito podemos determinar a indutância. Vamos fazer um exemplo para você ver que é tranquilo 😊

No circuito magnético abaixo a área da seção reta do núcleo A c e a do entreferro A g é 8   c m 2 , g = 0,04   c m e l c = 20   c m . Supondo que μ r = 60.000 e que a densidade magnética no núcleo é B c = 1,2   T . Encontre a indutância do enrolamento.

Passo 1

Calcular as relutâncias do circuito. Primeiro a do núcleo de material magnético:

R c = l c μ r μ 0 A c

R c = 0,2 ( 60.000 ) ( 4 π × 10 - 7 ) ( 8 × 10 - 4 )

R c = 3315,7   A . e / W b

Agora do entreferro:

R g = g μ 0 A g

R g = 0,04 × 10 - 2 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 8 × 10 - 4 )

R g = 397887,3   A . e / W b

Passo 2

Como o fluxo só tem um caminho para percorrer, o circuito magnético é série. Então, as relutâncias estão associadas em série de forma que a relutância total do circuito é

R t o t = R c + R g

R t o t = 3315,7 + 397887,3

R t o t = 401203,0   A . e / W b

Passo 3

Agora é só aplicar a fórmula abaixo para encontrarmos a indutância:

L = N 2 R t o t

L = 400 2 401203,0

L = 0,399   H

Então é isso: temos que analisar o circuito, determinar a sua relutância total ou relutância equivalente para utilizarmos a fórmula e determinarmos o valor do indutor.

Indutância Própria e Indutância Mútua

Agora, temos o circuito magnético abaixo com o núcleo de comprimento médio do núcleo l c e área da seção reta A c , que é a mesma do entreferro A g .

Devido aos sentidos das correntes, o fluxo produzido pelos dois enrolamentos tem o mesmo sentido. Logo a força magnetomotriz total desse circuito será:

F = N 1 i 1 + N 2 i 2

Normalmente a relutância do entreferro é bem maior do que a relutância do núcleo. Então podemos desconsiderar a relutância do núcleo fazendo com que a F M M seja:

F = ϕ R g

Então, substituindo a primeira equação na segunda e isolando o fluxo, temos:

ϕ = N 1 i 1 + N 2 i 2 R g

Agora, vamos decompor a equação em termos relacionados à mesma corrente:

ϕ = N 1 i 1 R g + N 2 i 2 R g

Pela definição, o fluxo concatenado gerado pela bobina 1 pode ser escrito assim:

λ 1 = N 1 ϕ

λ 1 = N 1 N 1 i 1 R g + N 2 i 2 R g

λ 1 = N 1 2 i 1 R g + N 1 N 2 i 2 R g

Como

L = N 2 R t o t

Também podemos escrevê-la assim:

λ 1 = L 11 i 1 + L 12 i 2

Onde L 11 i 1 é o fluxo concatenado da bobina 1 devido à sua própria corrente e L 11 a indutância própria da bobina 1 , definida como:

L 11 = N 1 2 R g

L 12 é a indutância mútua entre as bobinas 1 e 2 :

L 12 = N 1 N 2 R g

E L 12 i 2 é o fluxo concatenado da bobina 1 devido à corrente i 2 .

Na bobina 2 , ocorre o mesmo processo com o seu fluxo concatenado:

λ 2 = N 2 ϕ

λ 2 = N 2 N 1 i 1 R g + N 2 i 2 R g

λ 2 = N 2 N 1 i 2 R g + N 2 2 i 1 R g

Ou

λ 2 = L 21 i 1 + L 22 i 2

Onde a indutância mútua é a mesma:

L 21 = L 12

E a indutância própria da bobina 2 é

L 22 = N 2 2 R g

Lembrando que a relutância do entreferro é:

R g = g μ 0 A g

Cuidado com essas fórmulas, não podemos aplica-las direto. Ela é válida para esse exemplo de núcleo com dois enrolamentos e um entreferro. Mas, o procedimento é o mesmo para todos os exercícios.

Agora é exercitar! Partiu!

Indutância Própria e Indutância Mútua

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:

Área da seção reta A c = 1,8 × 10 - 3 m 2

Comprimento médio do núcleo l c = 0,6 m

Comprimento do entreferro g = 2,3 × 10 - 3 m

N = 83 espiras

Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita ( μ → ∞ ) e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro.

( a ) Calcule a relutância do núcleo R c e a do entreferro R g .

Para uma corrente de i = 1,5   A , calcule:

( b ) O fluxo total ϕ ;

( c ) O fluxo concatenado da bobina;

( d ) a indutância L da bobina.

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ → ∞ , então a relutância do núcleo é zero:

R c = 0   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 2,3 × 10 - 3 4 π × 10 - 7 × 1,8 × 10 - 3  

R g = 1016823,24   A . e / W b

Passo 3

O fluxo total será dado por:

ϕ = N i R c + R g

ϕ = 83 × 1,5 0 + 1016823,24

ϕ = 1,2244 × 10 - 4   W b  

Passo 4

O fluxo concatenado da bobina pode ser calculado pela fórmula abaixo:

λ = N ϕ

λ = ( 83 ) ( 1,2244 × 10 - 4 )

λ = 1,016 × 10 - 2   W b

Passo 5

Como calculamos o fluxo concatenado e já sabemos o valor da corrente, podemos determinar a indutância utilizando a definição:

L = λ i

L = 1,016 × 10 - 2 1,5

L = 6,77   m H

Resposta

a     R c = 0   A . e / W b                 R g = 1016823,24   A . e / W b  

b ϕ = 1,2244 × 10 - 4   W b

c   λ = 1,016 × 10 - 2   W b

d L = 6,77   m H

Exercício Resolvido #2

O indutor abaixo tem as seguintes dimensões:

A c = 1,0   c m 2

l c = 15   c m

g = 0,8   m m

N = 480   e s p i r a s

Desprezando os campos de espraiamento no entreferro e de dispersão e supondo μ r = 1000 , calcule a indutância.

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ r = 1000 , então a relutância do núcleo será:

R c = 15 × 10 - 2 1000 4 π × 10 - 7 1,0 × 10 - 4

R c = 1193662,7   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 0,8 × 10 - 3 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 1,0 × 10 - 4 )  

R g = 6366197,7   A . e / W b

Passo 3

Então, a relutância total desse circuito magnético:

R t o t = R c + R g

R t o t = ( 1,19 × 10 6 ) + ( 6,37 × 10 6 )  

R t o t = 7559859,8   A . e / W b

Passo 4

A equação que relaciona a relutância com a indutância é:

L = N 2 R t o t

Como o enrolamento tem 480 espiras, temos:

L = 480 2 ( 7559859,8 )

L = 30,5     m H

Resposta

L = 30,5   m H

Exercício Resolvido #3

Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:

Área da seção reta A c = 1,8 × 10 - 3 m 2

Comprimento médio do núcleo l c = 0,6 m

Comprimento do entreferro g = 2,3 × 10 - 3 m

Supondo uma permeabilidade de núcleo infinita ( μ → ∞ ) , calcule:

( a ) O número necessário de espiras para obter uma indutância de 12   m H .

( b ) A corrente no indutor que resultará em uma densidade de fluxo de 1,0   T .

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ → ∞ , então a relutância do núcleo é zero:

R c = 0   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 2,3 × 10 - 3 4 π × 10 - 7 × 1,8 × 10 - 3  

R g = 1016823,24   A . e / W b

R g = 1,017 × 10 6   A . e / W b

Passo 3

A equação que relaciona o número de espiras com a indutância é:

L = N 2 R t o t

A relutância total é a própria relutância do entreferro, já que a relutância do núcleo é zero. Então, para uma indutância de 12   m H , temos:

12 × 10 - 3 = N 2 1,017 × 10 6

N 2 = 12 × 10 - 3 × ( 1,017 × 10 6 )

N 2 = 12204

N = 12204

N = 110   e s p i r a s

Passo 4

Para uma densidade de fluxo de 1,0   T , o fluxo no núcleo será:

ϕ = B A c

ϕ = ( 1,0 ) ( 1,8 × 10 - 3 )

ϕ = 1,8 × 10 - 3   W b

Logo, a F M M gerada será:

F = ϕ R t o t

F = ( 1,8 × 10 - 3 ) ( 1,017 × 10 6 )

F = 1830,6   A . e

Passo 5

Como

F = N i

A corrente pode ser calculada assim:

i = F N

i = 1830,6 110

i = 16,6   A

Resposta

a   N = 110   e s p i r a s

b   i = 16,6   A

Exercício Resolvido #4

Um indutor com a forma da figura abaixo tem as dimensões:

Área da seção reta A c = 3,6   c m 2

Comprimento médio do núcleo l c = 15   c m

N = 75 espiras

Supondo uma permeabilidade de núcleo de μ = 2100 μ 0 e desprezando os efeitos do fluxo disperso e dos campos de espraiamento, calcule o comprimento de entreferro necessário para se obter uma indutância de 6,0   m H .

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ = 2100 μ 0 , então a relutância do núcleo será:

R c = 15 × 10 - 2 2100 4 π × 10 - 7 3,6 × 10 - 4

  R c = 157891,8   A . e / W b

R c = 1,58 × 10 5   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = g ( 4 π × 10 - 7 ) 3,6 × 10 - 4  

R g = g 4,52 × 10 - 10

Então, a relutância total desse circuito magnético:

R t o t = R c + R g

R t o t = 1,58 × 10 5 + g 4,52 × 10 - 10

Passo 3

A equação que relaciona a relutância com a indutância é:

L = N 2 R t o t

Como o enrolamento tem 75 espiras, para uma indutância de 6,0   m H , temos:

6,0 × 10 - 3 = 75 2 R t o t

R t o t = 75 2 6,0 × 10 - 3

R t o t = 937500     A . e / W b

Passo 4

Agora vamos igualar a expressão da relutância total com o valor que calculamos:

R t o t = 1,58 × 10 5 + g 4,52 × 10 - 10 = 937500

Vamos isolar g na equação para determinar o comprimento do entreferro:

1,58 × 10 5 + g 4,52 × 10 - 10 = 937500

g 4,52 × 10 - 10 = 937500 - 1,58 × 10 5

g 4,52 × 10 - 10 = 779500