Enunciado

26. Calcule as tensões nodais v 1 , v 2 e v 3 no circuito da Figura 3.75

Passo 1

No circuito acima, os nós já estão identificados. O nó inferior vai estar ligado à terra, com um potencial nulo.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o nó 1 , temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

3   A + i 2 + i 1 + i 0 = 0

E depois, aplicando a L K C para o nó 2 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 2 = i 3 + i 4

E por último, a L K C para o nó 3 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 4 + 3   A + i 0 = i 5

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 =   v 1 -   v 3 10

i 1 =   v 1 - 15 20

i 2 =   v 1 - v 2   5

i 3 =   v 2 - 4 i 0   5

i 4 =   v 2 - v 3 5

i 5 =   v 3 + 10 15

E substituindo em seguida essas correntes, nas quatro relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

3 +   v 1 - v 2   5 +   v 1 - 15 20 +   v 1 -   v 3 10 = 0   ( I )   v 1 - v 2   5 =   v 2 - 4 i 0   5 +   v 2 - v 3 5   I I   v 2 - v 3 5 + 3 +   v 1 -   v 3 10 =   v 3 + 10 15   I I I

3 +   v 1 - v 2   5 +   v 1 - 15 20 +   v 1 -   v 3 10 = 0   ( I )   v 1 - v 2   5 =   v 2 - 4 ⋅     v 1 -   v 3 10 5 +   v 2 - v 3 5   I I   v 2 - v 3 5 + 3 +   v 1 -   v 3 10 =   v 3 + 10 15   I I I

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

7 v 1 -   4 v 2 - 2 v 3 = - 45   ( I ) 7 v 1 - 15 v 2 + 3 v 3 = 0   I I - 3 v 1 - 6 v 2 + 11 v 3 = 70   I I I

Passo 5

E vamos tratar de resolver esse sistema com três equações e três incógnitas, né? Vai ser complicado, mas vamos conseguir.

Para fazer isso, vamos ter que usar uma ferramenta comum em Álgebra Linear, o escalonamento pelo método de G a u s s .

A eliminação de Gauss, ou método de escalonamento, é um algoritmo para se resolver sistemas de equações lineares Este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares num sistema linear, para o transformar num sistema de mais fácil resolução, que apresenta exatamente as mesmas soluções que o original.

Uma matriz retangular, que é o nosso caso está na sua forma escalonada ou na forma de escada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:

Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros.

O pivô de cada linha está numa coluna à direita do pivô da linha acima.

Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero.

Bem! Vamos pro que interessa! Esse sistema de quatro equações e quatro incógnitas do P a s s o   4 , pode ser escrito como:

7 - 4 - 2 7 - 15 3 - 3 - 6 11 ⋅ v 1 v 2 v 3 = - 45 0 70

Tudo que temos que fazer então, é simplicar isso aí. Para isso, vamos recorrer ao escalonamento da seguinte matriz!

7 - 4 - 2 7 - 15 3 - 3 - 6 11 - 45 0 70

Essa é a chamada matriz estendida! Se você reparar bem, no lado esquerdo dela temos os coeficientes que acompanham as incógnitas (tensões nodais) e no lado direito, o resultado de cada equação.

Passo 6

O que nós queremos é simplificar ao máximo essa última matriz aí, de forma que satisfaça as condições que escrevemos no P a s s o   5 . Para fazer essa simplificação, vamos manipular o sistema através de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema de forma a deixa-la o mais triangular possível (chamada de matriz escalonada do sistema).

Naturalmente estas operações elementares devem preservar a solução do sistema e consistem em:

multiplicação de um linha por uma constante não nula

substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha.

permutação de duas linhas.

Chamaremos L de linha e C de coluna. L 1 é a linha 1 e C 1 é coluna 1 , por exemplo:

Vamos lá!

7 - 4 - 2 7 - 15 3 - 3 - 6 11 - 45 0 70 →   L 2 = L 2 - L 1 =

= 7 - 4 - 2 0 - 11 5 - 3 - 6 11 - 45 45 70 →   L 3 = L 3 + 3 7 L 1 =

= 7 - 4 - 2 0 - 11 5 0 - 54 7 71 7 - 45 45 355 7 →   L 3 = L 3 - 54 77 L 2 =

= 7 - 4 - 2 0 - 11 5 0 0 73 11 - 45 45 1475 77

Pronto! Viu só como essa ferramenta foi útil! O sistema de quatro equações e quatro incógnitas de antes, vai ficar assim:

7 - 4 - 2 0 - 11 5 0 0 73 11 ⋅ v 1 v 2 v 3 = - 45 45 1475 77

7 v 1 -   4 v 2 - 2 v 3 = - 45   ( I ) - 11 v 2 + 5 v 3 = 45   I I 73 11 v 3 = 1475 77   I I I

Agora ficou tudo mais fácil! Peguemos a equação ( I V ) :

73 11 v 3 = 2245 77

v 3 = 1475 ⋅ 11 77 ⋅ 73   V

v 3 = 2,89   V

E agora, a equação ( I I ) , uma vez que já sabemos o valor de v 3 :

- 11 v 2 + 5 v 3 = 45

- 11 v 2 + 5 ⋅ 2,89   = 45  

v 2 = - 30,55 11   V

v 2 = - 2,78   V

Depois, a equação ( I ) , onde já sabemos o valor de v 2 e v 3 :

7 v 1 -   4 v 2 - 2 v 3 = - 45

7 v 1 - 4 ⋅ - 2,78   - 2 ⋅ 2,89 = - 45

7 v 1 = - 50,34

v 1 = - 50,34 7   V

v 1 = - 7,19   V

Missão cumprida! Obtemos nossas respostas!

Viu só! Nem precisamos de M a t l a b !

Passo 7

Mas caso tenha alguma curiosidade! Aqui está o jeito pra resolver esse problema no M a t l a b ...

Escrevendo o sistema linear do P a s s o   4 na forma matricial, temos que:

7 - 4 - 2 7 - 15 3 - 3 - 6 11 ⋅ v 1 v 2 v 3 = - 45 0 70

Tudo que precisamos fazer então, é usar no Matlab a seguinte relação:

V = i n v Y * I

Onde:

I = - 45 0 70

Y = 7 - 4 - 2 7 - 15 3 - 3 - 6 11

No M a t l a b , a matriz Y vai ficar assim:

Y = ( 7 ,   - 4 ,   - 2 ; 7 ,   - 15 ,   3 ; 3   - 6,11 )

E I fica desse jeito:

I = ( - 45 ; 0 ; 70 )

E com isso, obtemos a seguinte resposta:

V = - 7,19   - 2,78 2,89

Que é a mesma coisa que conseguimos em nossos cálculos!

Viu só! Acertamos em cheio!

Resposta

v 1 = - 7,19   V

v 2 = - 2,78   V

v 3 = 2,89   V

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3. Determine as correntes I 1 e I 4 a tensão V 0 no circuito da Figura 3.52.
4. Dado o circuito da Figura 3.53, calcule as correntes i 1 a i 4
5. Obtenha v 0 no circuito da figura 3.54
6. Use a análise nodal para obter V 1 no circuito da figura 3.55
7. Aplique a análise nodal para determinar V x no circuito da figura 3.56