Enunciado

19. Use a análise nodal para determinar v 1 , v 2 e v 3 no circuito da figura 3.68 .

Passo 1

No circuito acima, os nós já estão identificados. O nó inferior está ligado ao terra com um potencial nulo.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o nó 1 , temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

5   A = i 0 + i 1 + i 5 + 3   A

E depois, aplicando a L K C para o nó 2 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 1 = i 2 + i 3

E por último a L K C para o nó 3 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 5 + 3   A + i 3 = i 4

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 =   v 1 4

i 1 =   v 1 -   v 2 8

i 2 =   v 2   2

i 3 =   v 2 -   v 3   4

i 4 =   v 3 - 12 8

i 5 =   v 1 -   v 3   2

E substituindo em seguida essas correntes, nas duas relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

5 =   v 1 4 +   v 1 -   v 2 8 +   v 1 -   v 3   2 + 3   ( I )   v 1 -   v 2 8 =   v 2   2 +   v 2 -   v 3   4   I I   v 3 - 12 8 =   v 1 -   v 3   2 +   v 2 -   v 3   4 + 3   ( I I I )

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

2 =   v 1 4 +   v 1 -   v 2 8 +   v 1 -   v 3   2   ( I )   v 1 -   v 2 8 =   v 2   2 +   v 2 -   v 3   4   I I   v 3 - 12 8 =   v 1 -   v 3   2 +   v 2 -   v 3   4   + 3   ( I I I )

16 8 =   2 v 1 8 +   v 1 -   v 2 8 +   4 ( v 1 -   v 3 )   8   ( I )   v 1 -   v 2 8 =   4 v 2   8 +   4 ( v 2 -   v 3 )   4   I I   v 3 - 12 8 =   4 ( v 1 -   v 3 )   8 +   2 ( v 2 -   v 3 )   8 + 24 8   ( I I I )

De modo a ficarmos com:

  7 v 1 - v 2 - 4 v 3 = 16 - v 1 + 7 v 2 - 2 v 3 = 0   4 v 1 + 2 v 2 - 7 v 3 = - 36

Passo 5

Xii rapaz! Isso aí tá complicado de resolver!

Por isso vamos usar uma ferramenta comum em Álgebra Linear, o escalonamento. Bem! Esse sistema de três equações e três incógnitas, pode ser escrito como:

7 - 1 - 4 - 1 7 - 2 4 2 - 7 ⋅ v 1 v 2 v 3 = 16 0 - 36

Tudo que temos que fazer então, é simplicar isso aí. Para isso, vamos recorrer ao escalonamento da seguinte matriz!

7 - 1 - 4 - 1 7 - 2 4 2 - 7 16 0 - 36

Chamaremos L de linha e C de coluna. L 1 é a linha 1 e C 1 é coluna 1 , por exemplo:

Vamos lá!

7 - 1 - 4 - 1 7 - 2 4 2 - 7 16 0 - 36 →   L 2 = L 2 + 1 7 L 1 =

7 - 1 - 4 0 48 7 - 18 7 4 2 - 7 16 16 7 - 36 →   L 3 = L 3 - 4 7 L 1 =

= 7 - 1 - 4 0 48 7 - 18 7 0 18 7 - 33 7 16 16 7 - 316 7 →   L 3 = L 3 - 3 8 L 2 =

= 7 - 1 - 4 0 48 7 - 18 7 0 0 - 15 4 16 16 7 - 46

Pronto! Viu só como essa ferramenta foi útil! O sistema de três equações e três incógnitas de antes, vai ficar assim:

7 - 1 - 4 0 48 7 - 18 7 0 0 - 15 4 ⋅ v 1 v 2 v 3 = 16 16 7 - 46

  7 v 1 - v 2 - 4 v 3 = 16   ( I )   48 7 v 2 - 18 7 v 3 = 16 7     I I - 15 4 v 3 = - 46     ( I I I )

Pegando a equação ( I I I ) :

15 4 v 3 = 46

v 3 = 12,267   V

E agora, a equação ( I I ) :

48 7 v 2 - 18 7 v 3 = 16 7

48 7 v 2 - 18 7 ⋅ 12,267 = 16 7

48 7 v 2 = 33,83   V

v 2 = 4,933   V

E por último, a equação ( I ) :

7 v 1 - v 2 - 4 v 3 = 16

7 v 1 - 4,933   V - 4 ⋅ ( 12,267   V ) = 16

7 v 1 = 70   V

v 1 = 10   V

Obtemos nossas respostas!

Resposta

v 1 = 10   V

v 2 = 4,933   V

v 3 = 12,267   V

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24-Use o método das tensões de nó para determinar i o no circuito da Figura P4.24.Figura P4.24
25-a) Use o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada no resistor de 2 V no circuito da Figura P4.25. b) Determine a potência fornecida pela fonte de 230 V. Figura P4.25
26- Use o método das tensões de nó para determinar vo no circuito da Figura P4.26. Figura P4.26
28-Use o método das tensões de nó para determinar o valor de vo no circuito da Figura P4.28. Figura P4.28