Enunciado

42. Usando a figura 3.88 elabore um problema para ajudar estudantes a entenderem melhor a análise de malhas usando matrizes.

Passo 1

Bom! O problema a ser proposto aqui, é o mais simples possível.

Com a ajuda do M a t l a b , temos que descobrir as três correntes de malha desse circuito, dado que:

V 1 = 12   V

V 2 = 8   V

V 3 = 6   V

Desse modo, se estamos trabalhando com análise de malhas, então temos que dar nomes aos bois.

Só que não precisa, afinal a própria questão já tem as correntes de malha indicadas em seu devido lugar. Que bacana, né?

Passo 2

Sendo assim! Vamos aos cálculos. Bora primeiro percorrer a malha 1 . Olha só! O objetivo aqui, é determinar as tensões nessa malha. E para isso, consideremos as quedas de tensão como positivo e as elevações de tensão como negativo. A soma disso tudo tem que dar zero...

- 12 + 20 i 1 + 30 ( i 1 - i 2 ) = 0

50 i 1 - 30 i 2 = 12

Passo 3

Em seguida, bora percorrer a malha 2 . Repetindo o mesmo procedimento do P a s s o   1 ...

- 8 + 30 i 2 + 30 ( i 2 - i 1 ) + 40 ( i 2 - i 3 ) = 0

- 30 i 1 + 100 i 2 - 40 i 3 = 8

Passo 4

E percorrendo por fim, a malha 3 ; chegamos que:

10 i 3 - 6 + 40 ( i 3 - i 2 ) = 0

50 i 3 - 40 i 2 = 6

- 40 i 2 + 50 i 3 = 6

Passo 5

Obtemos assim, o seguinte sistema de equações:

50 i 1 - 30 i 2 = 12   I - 30 i 1 + 100 i 2 - 40 i 3 = 8   I I - 40 i 2 + 50 i 3 = 6   ( I I I )

Bom! A questão pede pra gente resolver esse problema com o uso do M a t l b a b . Mas como não temos M a t l a b , vamos apelar pro O c t a v e mesmo, que é bastante parecido. Afinal, praticidade é tudo que a gente quer, né não?

Olha só! Esse sistema de três equações e três incógnitas pode ser escrito na forma matricial, como:

50 - 30 0 - 30 100 - 40 0 - 40 50 ⋅ i 1 i 2 i 3 = 12 8 6

Ou seja, o sistema pode ser escrito em função de três matrizes. Vamos dar nomes a elas...

A = 50 - 30 0 - 30 100 - 40 0 - 40 50

I = i 1 i 2 i 3

Z = 12 8 6

Sabe uma coisa legal de trabalhar com sistemas lineares em matrizes. Para obter a solução desse sistema linear, basta usar a seguinte relação:

I = i n v A ⋅ Z

Resumindo... As três soluções desse sistema são dadas pelo produto da inversa da matriz A pela matriz Z . Que maravilha, não?

Passo 6

Agora, vamos fazer isso como no O c t a v e . A matriz A vai ser escrita nesse software assim...

A = [ 50 , - 30,0 ; - 30,100 , - 40 ; 0 , - 40,50 ]

E a matriz Z fica desse jeito...

Z = 12 ; 8 ; 6

Fazendo I = i n v A * Z , podemos obter nossa resposta...

Desse jeitinho aqui:

E pronto! Obtemos nossas respostas, iguais à:

i 1 = 0,48   A

i 2 = 0,40   A

i 3 = 0,44   A

Resposta

i 1 = 0,48   A

i 2 = 0,40   A

i 3 = 0,44   A

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Calcule o valor de R no Prob. 3.5, tal que i = 3 A.
Calcule i se R = 6 Ω.
Calcule v 1 e i 1 .
Calcule i 1 e v se (a) R = 4 Ω e (b) R = 12 Ω.
Calcule v .