Enunciado

48. Determine i 0 no circuito da figura 10.93 usando a superposição.

Passo 1

Fala galerinha! Bora pra mais um probleminha sobre superposição em circuitos C A .

Olha só! Na figura do enunciado, há a presença de uma fonte de corrente alternada, uma fonte de tensão alternada e outra fonte de tensão, dessa vez contínua.

O que precisamos fazer pra esse caso, é analisar a influência isolada de cada fonte no circuito. Ou seja, iremos considerar cada fonte separadamente, e a corrente elétrica total em qualquer ramo do circuito é igual a soma algébrica das tensões produzidas por cada fonte atuando separadamente.

Vamos então, por a mão na massa.

Passo 2

Primeiramente, vamos retirar a fonte de tensão contínua e abrir o circuito, no ramo onde está a fonte de corrente.

Antes, bora passar os elementos pro domínio da frequência:

50 cos ⁡ 2000 t → 50 ∠ 0 °       ,   ω = 2000   r a d / s

20   μ F → - j 1 ω C = - j 1 0,00002 ⋅ 2000 = - j 25   Ω

40   m H → j ω L = j ( 2000 ⋅ 0,04 ) = j 80   Ω

E o nosso circuito fica do seguinte jeito:

Os resistores de 60   Ω e 100   Ω estão em série. E o resultado dessa associação está em paralelo com a resistência de 80   Ω . De forma que a resistência equivalente R para essa parte do circuito vale...

R = 80 | | ( 100 + 60 )   Ω

R = 80 ⋅ 160 80 + 160 Ω

R = 160 3   Ω

E a corrente I vai ser dada pela divisão da fonte de tensão pela impedância total do circuito

I = 50 ∠ 0 °   V 160 3 - j 25 + j 80   Ω  

I = 50 ∠ 0 ° 160 3 + j 55   A

I = 150 ∠ 0 °   160 + j 165   A

I = 0,653 ∠ - 45,88 °     A

Essa corrente I vai se separar em duas outras correntes, quando chegar no nó superior do circuito. E por divisão de corrente, temos que a corrente I o 1 nesse caso, vai ser dado por:

I o 1 = - 80   Ω 80   Ω + 160   Ω ⋅ I

I o 1 = - 1 3 ⋅ 0,653 ∠ - 45,88 °

I o 1 = 1 ∠ 180 ° 3 ⋅ 0,653 ∠ - 45,88 °

I o 1 = 0,217 ∠ 134,12 °

Passando pro domínio do tempo:

I o 1 = 0,217 cos ⁡ ( 2000 t + 134,12 ° )   A

Passo 3

E por último, vamos deixar apenas a fonte de tensão contínua, exluindo a fonte de tensão alternada e abrindo o circuito no ramo onde está a fonte de corrente.

Nesse caso, como estamos trabalhando com tensão contínua, o indutor vira um curto circuito e o capacitor se torna um circuito aberto.

Desse modo, nosso circuito fica assim:

E a nossa corrente I o 2 é dada facilmente, por:

I o 2 = 24   V 80   Ω + 60   Ω + 100   Ω

I o 2 = 0,1   A

Passo 4

Nesse último caso, vamos excluir a fonte de tensão contínua e a fonte de tensão alternada, deixando apenas a fonte de corrente.

Antes de pensar em como vai ficar o circuito, bora passar os elementos pro domínio da frequência:

2 sen ⁡ 4000 t = 2 cos ⁡ 4000 t - 90 → 2 ∠ - 90 °       ,   ω = 4000   r a d / s

20   μ F → - j 1 ω C = - j 1 0,00002 ⋅ 4000 = - j 12,5   Ω

40   m H → j ω L = j ( 4000 ⋅ 0,04 ) = j 160   Ω

Desse jeito, o nosso circuito vai ficar com a seguinte aparência:

Vamos usar a lei das malhas para descobri o valor de I o 3 .... Como podemos ver na figura acima, I o 3 é o negativo da corrente de malha I 3 ...

I o 3 = - I 3

Bom! Não precisa aplicar a L K C para a malha 1 ; afinal de contas podemos ver facilmente que:

I 1 = 2 ∠ - 90 °   A

Agora sim! Aplicando a L K C para a malha 2 :

j 160 I 2 - I 1 - j 12,5 I 2 + 80 I 2 - I 3 = 0

- j 160 I 1 + 80 + j 147,5 I 2 - 80 I 3 = 0

( - 160 ∠ 90 ° ) ( 2 ∠ - 9 0 ° ) + 80 + j 147,5 I 2 - 80 I 3 = 0

80 + j 147,5 I 2 - 80 I 3 = 320   ( i )

E aplicando a L K C para a malha 3 :

80 I 3 - I 2 + 60 I 3 - 2 ∠ - 9 0 ° + 100 I 3 = 0  

240 I 3 - 80 I 2 = - 120 j

3 I 3 - I 2 = - 1,5 j

I 2 = 3 I 3 + 1,5 j   ( i i )

Substituindo ( i i ) em ( i ) :

80 + j 147,5 I 2 - 80 I 3 = 320 → 80 + j 147,5 3 I 3 + 1,5 j - 80 I 3 = 320

240 I 3 + 120 j + 442,5 j I 3 - 221,25 - 80 I 3 = 320

160 + 442,5 j I 3 = 541,25 - 120 j

I 3 = 541,25 - 120 j 160 + 442,5 j   A = 0,15 - 1,17 j   A

Passando para polar

I 3 = 1,1782 ∠ - 82,6 °   A

Desse modo, a corrente I o 3 é dada por:

I o 3 = - 1,1782 ∠ - 82,6 °   A

Passando para o domínio do tempo:

I o 3 = - 1,1782 cos ⁡ 4000 t - 82,6 °   A

Passo 5

Por fim, temos apenas que somar as correntes obtidas para achar i 0 :

i 0 = I o 1 + I o 2 + I o 3

i 0 = 0,217 cos ⁡ 2000 t + 134,12 ° - 1,1782 cos ⁡ 4000 t - 82,6 °   A

Resposta

i 0 = 0,217 cos ⁡ 2000 t + 134,12 ° - 1,1782 cos ⁡ 4000 t - 82,6 °   A

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