Enunciado

O circuito mostrado na Figura P8.45 esteve em funcionamento por um longo tempo. Em t = 0 , as duas chaves passam para as novas posições mostradas na figura. Determine

a) i 0 t para t ≥ 0 .

b) v 0 ( t ) para t ≥ 0 .

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaaala, pessoal! Tudo beleza? Vamos resolver essa questão que possui um chaveamento “diferenciado”. Temos que saber primeiramente o comportamento do circuito antes do chaveamento. Como explicitado no enunciado, a chave ficou aberta um tempão, o que significa que o capacitor vai se comportar como um circuito aberto e o indutor como um curto-circuito. Sendo assim, vamos analisar cada um dos lados do circuito acima.

Esse circuito fornece a tensão inicial no capacitor que pode ser obtido pela Lei de Ohm:

v C 0 - = -   v 100 Ω = - 4 ⋅ 100 ⇒ v C 0 - = - 400   V

Esse é o outro circuito onde o ramo mais grosso representa o indutor em regime permanente. Assim,

i 0 0 - = 100 50 ⇒ i 0 0 - = 2   A

Uma vez encontradas essas grandezas, vamos estudar o comportamento do circuito para t > 0 :

α = R 2 L = 500 2 ⋅ 0,4 ⇒ α = 625 r a d s

Além disso,

ω 0 = 1 L C = 1 0,4 × 10 ⋅ 10 - 6 ⇒ ω 0 = 500 r a d s

Conhecendo as duas frequências, vamos compará-las para sabermos o tipo de resposta do circuito. Como ω 0 2 > α 2 , temos que a resposta do circuito é superamortecida. Assim, suas raízes são

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2 = - 625 ± 625 2 - 500

∴ s 1 = - 1000 r a d s                   e                     s 2 = - 250 r a d s

Passo 2

A corrente vai ter a seguinte forma

i 0 t = A 1 e s 1 t + A 2 e s 2 t = A 1 e - 1000 t + A 2 e - 250 t

Vamos começar estudando a corrente quando t = 0 :

i 0 0 = A 1 e - 1000 × 0 + A 2 e - 250 × 0 = A 1 + A 2

Como vimos lá no começo que a corrente inicial no indutor valia 2   A , temos que

A 1 + A 2 = 2

Podemos encontrar outra relação derivando a equação da corrente:

d i 0 d t = A 1 - 1000 e - 1000 t + A 2 - 250 e - 250 t

⇒ d i 0 d t = - 1000 A 1 e - 1000 t - 250 A 2 e - 250 t

Para encontrarmos um valor para essa equação que envolve a derivada da corrente, vamos lembrar que a tensão no indutor é dada por

v L = L d i d t

Para achar o valor de v L temos que usar a LKT, mas precisamos ter muito cuidado pois nessa situação os chaveamentos já ocorreram e nós teremos o seguinte circuito para analisar:

Perceba que a LKT para o circuito marrom vai nos fornecer:

v 0 t + v 500 Ω + v L = 0 ⇒ v L = - - 400 + 500 ⋅ 2 ⇒ v L = -   600   V

Voltando para a expressão da derivada da corrente, temos que

d i 0 d t = - 1000 A 1 e - 1000 t - 250 A 2 e - 250 t = v L L = -   600 0,4

⇒ - 1000 A 1 e - 1000 t - 250 e - 250 t = - 1500

Assim, nosso sistema é composto de duas equações:

A 1 + A 2 = 2 - 1000 A 1 e - 1000 t - 250 e - 250 t = - 1500

Resolvendo este sistema, obtemos que

A 1 = 4 3                          e                       A 2 = 2 3

Logo, a corrente tem a seguinte forma:

i 0 t = 2 3 2 e - 1000 t + e - 250 t   A ,     t ≥ 0

Passo 3

b)

Para resolvermos este item vamos precisar apenas fazer um pouco de algebrismo. Sabemos que a corrente no indutor é dada por

i C = C d v d t

Como estamos trabalhando com v 0 ( t ) , vamos fazer essa mudança de notação posteriormente. Para resolvermos essa equação, vamos olhar para d v e d t como diferenciais. Assim, podemos escrevê-la como

i C C = d v d t ⇒ d v = i C C d t

Integrando ambos os lados da equação, vamos obter

∫ v 0 0 v 0 t d u = ∫ o t i C C d t

Fizemos uma mudança de variáveis apenas por uma questão de formalidade, visto que os limites de integração devem ter uma notação diferente da variável de integração. Assim:

v 0 t - - 400 = 1 10 ⋅ 10 - 6 ∫ 0 t i 0 z d z

Aqui aplicamos o mesmo princípio da notação, visto que i 0 está expressa em função de t. Então:

v 0 t = 10 5 ∫ 0 t 2 3 2 e - 1000 z + e - 250 z d z - 400

Neste ponto, é mais vantajoso dividirmos a integral em 2, pois isso facilitaria bastante a manipulação:

v 0 t = 10 5 4 3 ⋅ e - 1000 z - 1000 z = 0 z = t + 2 3 ⋅ 2 - 250 t - 250 z = 0 z = t - 400

v 0 t = - 133,3 e - 1000 t - 266,7 e - 250 t   V ,     t ≥ 0  

Chegamos assim ao final de mais uma questão. Sugiro fazer uma pausa de 10 minutos antes de irmos para a próxima questão porque tenho um pressentimento que ela será um pouco longa!

Resposta

a)

i 0 t = 2 3 2 e - 1000 t + e - 250 t   A ,     t ≥ 0

b)

v 0 t = - 133,3 e - 1000 t - 266,7 e - 250 t   V ,     t ≥ 0

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