Enunciado

Calcule x no Ex. 9.4.1, com as constantes arbitrárias determinadas tal que x 0 = 3 e d x 0 d t = 6 .

Passo 1

Fala galera, nesse exemplo vamos utilizar a resolução da equação característica que possuíamos do exemplo anterior e a partir dos valores iniciais dados iremos encontrar as constantes arbitrárias para cada um dos 3 casos. Bora lá!

Passo 2

Para a letra (a), encontramos que estamos no caso super amortecido com as frequências naturais:

s ' = - 1   s ' ' = - 4

Para o caso super amortecido, a resposta natural é dada como:

x = A 1 e s ' t + A 2 e s ' t

Portanto, temos:

x = A 1 e - t + A 2 e - 4 t

Utilizando os valores iniciais agora:

x 0 = A 1 e 0 + A 2 e 0 = A 1 + A 2

3 = A 1 + A 2

A 1 = 3 - A 2

d x t d t = - A 1 e - t - 4 A 2 e - 4 t

d x 0 d t = - A 1 - 4 A 2

6 = - A 1 - 4 A 2

6 = - 3 - A 2 - 4 A 2

6 = - 3 + A 2 - 4 A 2

9 = - 3 A 2

A 2 = - 3

A 1 = 3 - A 2

A 1 = 3 - - 3 = 6

Portanto, a resposta será:

x = 6 e - t - 3 e - 4 t

Passo 3

Para a letra (b), encontramos as seguintes raízes imaginárias e estamos no caso sub amortecido:

s = - 2 ± 3 j

Onde a resposta é dada por:

x = e α t ( B 1 c o s β t + B 2 s e n β t )

x = e - 2 t B 1 cos ⁡ 3 t + B 2 s e n 3 t

Utilizando os valores iniciais teremos:

x 0 = e 0 ( B 1 c o s 0 + B 2 s e n 0 )

3 = B 1

d x t d t = - 2 e - 2 t 3 c o s 3 t + B 2 s e n 3 t + e - 2 t ( - 3 × 3 × s e n 3 t + B 2 × 3 × c o s 3 t )

d x 0 d t = - 2 3 + 3 B 2

6 = - 6 + 3 B 2

B 2 = 4

Logo, a resposta será:

x = e - 2 t 3 c o s 3 t + 4 s e n 3 t

Passo 4

Para a letra (c), encontramos duas raízes iguais e, portanto, estamos no caso criticamente amortecido.

s ' = s ' ' = - 4

Nesse caso, a resposta será dada por:

x = A 1 + A 2 t e s t

x = A 1 + A 2 t e - 4 t

Usando os valores iniciais, teremos:

x 0 = A 1 = 3

d x d t = A 2 e - 4 t + A 1 + A 2 t - 4 e - 4 t

d x 0 d t = A 2 + A 1 - 4

6 = A 2 + 3 - 4

A 2 = 18

Portanto, a resposta será:

x = 3 + 18 t e - 4 t

Resposta

a)

x = 6 e - t - 3 e - 4 t

b)

x = e - 2 t 3 c o s 3 t + 4 s e n 3 t

c)

x = 3 + 18 e - 4 t

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