Enunciado

A chave do circuito mostrado na Figura P7.60 abre em t = 0 depois de estar fechada por um longo tempo. Em quantos milissegundos, depois de a chave estar aberta, a energia armazenada no capacitor atinge 36% de seu valor final?

Esse tipo de problema é como se fosse um algoritmo, tem todo um processo para ser feito, mas é simples, então vamos resolver!

Passo 1

Para t > 0 , temos que o circuito tem algumas peculiaridades, um dos pontos é a corrente i b , que agora será resolvida por divisor de corrente, uma vez que, a corrente da fonte naturalmente vai se dividir.

i b = 33000 80000 120 × 10 - 6 =   49,5   μ A

Agora é fazer um equivalente de Thévenin, a tensão no resistor de 16   k Ω é igual a do capacitor, logo, faz um Thévenin, “mata” o capacitor, encontra a tensão nesse resistor e já temos a tensão de Thévenin (não é do componente!!!).

V t h = - 25 16000 i b =   - 400 × 10 3 i b

Como já sabemos i b , já podemos ter V t h :

V t h = - 400 × 10 3 49,5 × 10 - 6 =   - 19,8   V

R t h nesse caso é o resistor de 16   k Ω , então o circuito simplificado fica dessa forma aqui:

Nesse caso, tenha em vista que quando o circuito se estabilizar, a tensão será negativa e relacionada a fonte de tensão convertida,

v 0 ∞ = - 19,8   V

E para o t = 0 + , temos uma tensão igual a zero:

v 0 0 + = 0

Passo 2

Com todas essas informações, podemos calcular a constante de tempo.

τ = 16000 0,25 × 10 - 6 = 4   m s → 1 τ = 250  

Logo, v ( t ) é igual a:

v t =   - 19,8 + 19,8 e - 250 t   V ,     t ≥ 0

Passo 3

Para chegar no tempo, temos que calcular a energia armazenada no capacitor, e usar a seguinte relação:

w t = 1 2 0,25 × 10 - 6 v 0 2 = w ∞ 1 - e - 250 t 2   J

Fazendo algumas manipulações, chegamos ao seguinte resultado:

1 = e - 250 t 2 = 0,36 w ∞ w ∞ = 0,36

Tirando a raiz, temos:

1 - e - 250 t = 0,6  

e - 250 t = 0,4

Joga o l n , tira a exponencial e encontra o t

ln ⁡ e - 250 t = ln ⁡ 0,4

- 250 t = ln ⁡ 0,4

t = ln ⁡ 0.4 - 250 = 3,67   m s

Logo, terminamos a questão, não muito longa e nem direta, mas ela cobre vários assuntos na análise de circuitos no regime transitório, então, até a próxima questão!

Resposta

t = 3,67   m s

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