Enunciado

Olá, jovem padawan, a questão se baseia em dois conteúdos já estudados anteriormente, o método dos nós e o equivalente de Thévenin, logo, como prelúdio para o primeiro passo, temos que encontrar v 0 ( 0 + ) .

Passo 1

Para t > 0 : Vamos utilizar o método dos nós para encontrar algumas tensões, o equacionamento da primeira parte será igual a:

v a 15 + v a - v 0 0 + 5 = 20 × 10 - 3

Fazendo algumas contas, temos:

v a = 0,75 v 0 0 + + 75 × 10 - 3

Passo 2

Fazendo o outro equacionamento, temos:

15 × 10 - 3 + v 0 0 + - v a 5 + v 0 0 + 8 - 9 i Δ + 50 × 10 - 3 = 0

Simplificando, nós chegamos a:

13 v 0 0 + - 8 v a - 360 i Δ =   - 2600 × 10 - 3

Podemos tirar duas informações aqui, de i Δ e v 0 0 + , no caso de i Δ , temos:

i Δ = v 0 0 + 8 - 9 i Δ + 50 × 10 - 3

Simplificando (de novo...)

∴ i Δ = v 0 0 + 80 + 5 × 10 - 3

∴ 360 i Δ = 4,5 v 0 0 + + 1800 × 10 - 3

E para v a , nós temos:

8 v a = 6 v 0 0 + + 600 × 10 - 3

Com isso, se tem o segundo equacionamento totalmente simplificado:

∴ 13 v 0 0 + - 6 v 0 0 + - 600 × 10 - 3 - 4,5 v 0 0 + - 1800 × 10 - 3 =   - 2600 × 10 - 3

2,5 v 0 0 + =   - 200 × 10 - 3 → v 0 0 + =   - 80   m V

E quando o circuito estiver em um estado estável, durante muito tempo, a tensão vai para 0.

v 0 ∞ = 0

Passo 3

Agora, é usar a resistência equivalente de Thévenin “vista” pelo indutor de 4   m H

i T = v T 20 + v T 8 - 9 i Δ

Desenvolvendo, temos:

i Δ = v T 8 - 9 i Δ

Com isso, temos:

∴ 10 i Δ = v T 8 ; → i Δ = v T 80

Logo, i T é igual a:

i T = v T 20 + 10 v T 80 - 9 v T 80

i T v T = 1 20 + 1 80 = 5 80 = 1 16

Como R t h = V T / I T , é só calcular a inversão, logo:

R t h = 16   Ω

Para a constante de tempo, é usar a fórmula, todos os nossos cartuchos de análise já foram usados nessa questão

τ = 4 × 10 - 3 16 = 0,25   m s   → 1 τ = 4000

Então, utilizando a equação geral, encontramos v 0 :

v 0 = 0 + - 80 - 0 e - 4000 t =   - 80 e - 4000 t   m V ,     t ≥ 0 +

E finalmente acabamos a questão, muita análise, mas é uma bela questão, até a próxima!

Resposta

v 0 = - 80 e - 4000 t   m V ,     t ≥ 0 +

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