Enunciado

No circuito da figura abaixo, Z L é um indutor de 15   m H com impedância de j 40   Ω . Determine Z e n t quando k = 0,6 .

Passo 1

Vamos começar calculando a frequência angular ω . O valor de ω será usado mais tarde para determinar o circuito equivalente no domínio da frequência. A partir do valor de Z L podemos calcular ω , já que Z L = j ω L , então:

j ω L = j 40

ω = 40 L

Substituindo L = 15   m H , temos:

ω = 40 L = 40 15 × 10 - 3

ω ≅ 2667   r a d / s

Passo 2

Sabemos que o coeficiente de acoplamento k é 0,6 indicando que os indutores estão firmemente acoplados. Sendo L 1 = 12   m H e L 2 = 30   m H , com o valor de k calculamos a indutância mútua M :

M = k L 1 L 2 = 0,6 12 × 10 - 3 × 30 × 10 - 3

M = 11,384   m H  

Passo 3

Para determinar a impedância de entrada Z e n t , precisamos obter o equivalente no domínio da frequência do circuito.

A impedância complexa de um indutor é dada por:

Z = j ω L

Sabemos que

15   m H   → 40   Ω

e

ω = 2667   r a d / s

Então, no domínio da frequência teremos:

12   m H   → 32   Ω

30   m H → 80   Ω

11,384   m H → 30,36   Ω

Assim, o circuito equivalente é mostrado abaixo:

Passo 4

Obtemos a impedância de entrada, como segue:

Z e n t = R 1 + j ω L 1 + ω 2 M 2 R 2 + j ω L 2 + Z L = 22 + j 32 + 30,36 2 60 + j 80 + j 40 = 22 + j 30 + 921,73 60 + j 120

Vamos converter o denominador da fração para forma polar e assim facilitar nossa divisão:

60 + j 120 ⏞ F o r m a   r e t a r g u l a r →   134,16 ∠ 63,43 ° ⏞ F o r m a   P o l a r

Assim, temos:

Z e n t = 22 + j 30 + 921,73 134,16 ∠ 63,43 ° = 22 + j 32 + 6,87 ∠ - 63,43 °

Feita a divisão, voltamos para forma polar:

6,87 ∠ - 63,43 ° ⏞ F o r m a   p o l a r →   3,07 - j 6,14 ⏞ F o r m a   R e t a n g u l a r

E assim, determinamos a impedância de entrada:

Z e n t = 22 + j 32 + 3,07 - j 6,14 = 25,07 + j 25,86

Resposta

Logo, a impedância de entrada é:

Z e n t = 25,07 + j 25,86   Ω

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