Enunciado

Determine i ( t ) para t > 0 no circuito da Figura 8.96 .

Passo 1

Galerinha, vamos lá. No momento t = 0^- , o momento antes da chave fechar, nós temos o circuito sendo alimentado por uma fonte de corrente e uma fonte de tensão, em regime permanente. Sabemos que, sob esse regime, o indutor se comporta como um fio e o capacitor como um circuito aberto.

Aqui, podemos fazer uma transformação de fonte, fazendo a fonte de tensão virar uma fonte de corrente. Logo,

I_f o n t e = (12)/(4) = 3 A

Assim, a corrente i (t) é a soma das correntes das duas fontes, uma vez que os resistores ficam curto-circuitados:

i (0) = 3 + (12)/(4)

i (0) = 3 + 3

i ( 0 ) = 6 A

v (0) = 0

Passo 2

Quando t > 0 , a chave é aberta e o resistor de 4 Ω e a fonte de tensão são curto-circuitadas, restando apenas um circuito RLC paralelo com uma fonte de corrente. Logo, a próxima coisa que podemos começar a fazer é analisar os valores de alpha e omega_0 e achar as raízes características:

alpha = (1)/(2 R C) = (1)/(2 (5) (1 // 20)) = 2

omega_0 = (1)/(sqrt(L C)) = (1)/(sqrt((5) (1 // 20))) = 2

Como temos que alpha = omega_0 , a resposta do circuito é amortecida crítica.

s_1,2 = - alpha +- sqrt(alpha^2 - omega_0^2) = - 2

Portanto, a equação da nossa corrente será da forma:

i (t) = I_S + [(A + B t) e^(- 2 t)] , I_S = 3 A

Para o instante inicial t = 0 , o enunciado já nos forneceu o valor da corrente! Assim, substituindo na expressão acima t = 0 , obtemos:

i (0) = 6 = 3 + A

A = 3

A mesma análise inicial também foi feita para a tensão. Sabemos que, em t = 0 , v (0) = 0 V . Como temos nossos três elementos do circuito em paralelo, todos eles estão sob a mesma tensão, ou seja

v_R = v_L = v_C = v

Portanto, podemos escrever o seguinte:

v (0) = 0 = L (d i (0))/(d t)

Vamos calcular a derivada da corrente?

(d i)/(d t) = [B e^(- 2 t)] + [- 2 (3 + B t) e^(- 2 t)]

Quando t = 0 ,

(d i (0))/(d t) = 0 = B - 6

B = 6

Portanto, a nossa corrente será igual a:

i (t) = {3 + [(A + B t) e^(- 2 t)]}

i (t) = {3 + [(3 + 6 t) e^(- 2 t)]} A

Resposta

O valor para i ( t ) é:

i (t) = {3 + [(3 + 6 t) e^(- 2 t)]} A

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No circuito da Figura 8.92 , determine v ( t ) e i ( t ) para t0 . Suponha que v 0 = 0V e i 0 = 1A .
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No circuito da Figura 8.102 , determine i ( t ) para t0 .
Considere a Figura 8.100 e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor os circuitos de segunda ordem gerais.
O interruptor da Figura 8.105 se encontrava na posição 1 para t0 . Em t = 0 , ela muda instantaneamente para o terminal superior do capacitor. Observe que o interruptor fecha um contato (no terminal d