Enunciado

Mostre que

L {delta^((n)) (t)} = s^n .

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos aqui fazer uma questão teórica para solidificar nossos conceitos. O que se espera aqui é que você possa fazer alguma passagem que o autor omitiu propositalmente com o objetivo de você verificar os passos dados em algum momento do livro. Sendo assim, vamos lá.

Passo 2

Vamos começar esclarecendo uma coisa: existe uma relação entre a função impulso e a função degrau (ou delta de dirac e função de Heavside), a saber

delta (t) = (d u (t))/(d t)

Poderíamos ser tentados a usar esta relação, mas lembre-se que

delta^((n)) (t) = (d^((n)) [delta (t)])/(d t)

Isto tem que ser enfatizado para que não se misturem a letra “d” do alfabeto latino representando a derivada e a letra “d” do alfabeto grego (o " delta " ), representando o delta de dirac.

Além disso, temos que a transformada da derivada é dada por

L {(d^n f ( t ))/(d t)} = s^n F (s) - s^(n - 1) f (0^-) - s^(n - 2) f^' (0^-) - ...

Com isso, podemos escrever a transformada do delta de dirac enésimo como sendo

L {delta^(( n )) (t)} = s^n (L {delta (t)}) - s^(n - 1) delta (0^-) - s^(n - 2) delta^' (0^-) - s^(n - 3) delta^(' ') (0^-) - ...

Passo 3

A transformada do delta de dirac pode ser calculada rapidamente da seguinte maneira:

L {delta (t)} = int_(0^-)^(oo) delta (t) e^(- s t) d t

Nesta situação, delta (t - t_0) = delta (t) => t_0 = 0

Então, o valor da integral é simplesmente o valor de e^(- s t) em t = 0 :

int_(0^-)^(oo) delta (t) e^(- s t) d t = e^(- s xx 0) = 1

Além disso, os demais valores do delta de dirac valem zero (nesta situação, L {delta (0^-)} = 0 ) , assim como suas derivadas. Logo, restará apenas o primeiro termo da transformada. Logo

L {delta^(( n )) (t)} = s^n * 1 = s^n

Resposta

A demonstração.

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