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Obtenha v(t) e i(t) para t > 0 no circuito da Figura 8.84.

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é analisar o circuito para os instantes t = 0- e t > 0.

Em t = 0-:

  6 u t = 0

Então:

i 0   =     0 e     v ( 0 )     =     4 0   V

Passo 2

Quando t > 0, teremos um circuito RLC série como mostra a figura abaixo:

Então, precisamos calcular os valores de α, ωo e S:

α = R 2 L = 2   +   5   +   1 2 ∙ 5 = 0,8

ω o =   1 L C = 1 5 ∙ 0,2 = 1

Descobrimos que α

s 1,2 = - α ± α 2 - ω o 2 = - 8 ± j 0.6

Passo 3

Já podemos partir para a nossa equação de resposta natural. Ela é da seguinte forma:

v ( t ) =   V s   + [ A c o s 0.6 t + B s i n 0.6 t e - 0.8 t ]

V s = 30 + 40 = 70   V

Passo 4

Estamos quase lá, mas ainda não sabemos os valores de A e B. Nossa missão agora é calculá-los.

Vamos analisar as equações que já encontramos, mas dessa vez, no instante t = 0:

v 0 = 40 = 70 + A         →           A = - 30

i ( 0 )     =   C d v 0 d t     =     0  

Mas:

d v d t = [ – 0.8 A c o s 0.6 t + B s i n 0.6 t e – 0.8 t ] + [ 0.6 – A s i n 0.6 t + B c o s 0.6 t e – 0.8 t ]

d v 0 d t =   – 0.8 A + 0.6 B    

Substituindo A:

  B = 0.8 ∙ – 30 0.6                 →               B =   – 40  

Portanto:

v ( t ) = { 70   – [ 30 c o s 0.6 t + 40 s i n 0.6 t e – 0.8 t ] }     V

Passo 5

Por fim, vamos encontrar i(t).

Já estamos carecas de saber que:

i   = C d v d t

Como nós já calculamos a derivada de v(t), só nos resta multiplicar aquilo tudo pelo valor da capacitância, ficando assim:

  i = 0.2 { [ 0.8 30 c o s 0.6 t + 40 s i n 0.6 t e - 0.8 t ] + [ 0.6 30 s i n 0.6 t – 40 c o s 0.6 t e - 0.8 t ] }

i t = 10 s i n 0.6 t e - 0.8 t   A

Resposta

v ( t ) = { 70   – [ 30 c o s 0.6 t + 40 s i n 0.6 t e – 0.8 t ] }     V

E

i t = 10 s i n 0.6 t e - 0.8 t   A

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