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Circuito com Transformadores no Modelo Série

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Teoria Completa

Agora que estamos feras em sistema PU e sabemos refletir tensão, corrente e impedância a partir da relação de transformação do transformador, vamos dar um passo adiante e estudar sistemas um pouco mais complexos.

A gente vai estudar sistemas com um ou mais transformadores que alimentam uma determinada carga, podendo ter fator de potência indutivo ou capacitivo e aprender a calcular a regulação de tensão do transformador. Vem comigo!

No sistema abaixo, a fonte alimenta um transformador de 100   k V A ,   10 / 2   k V através de uma linha de transmissão. A impedância série do circuito equivalente do transformador referida para o lado de baixa é Z e q = 0,16 + j 0,75   Ω . O transformador está conectado com uma carga de 60   k W com fator de potência igual a 0,9 atrasado que possui tensão de 2300   V .

Nossa missão é calcular a tensão da fonte V G e a regulação de tensão do sistema e a sua eficiência. Vamos por partes.

Passo 1:

Primeiro vamos encontrar a tensão na fonte. Podemos fazer isso de duas maneiras, passando o sistema para o sistema pu ou passando todo o sistema para o secundário do transformador através da relação de transformação. Vamos fazer pela segunda maneira.

A relação de transformação desse transformador é

α = V 1 V 2

α = 10 2 = 5

Passo 2:

A tensão da fonte refletida para o secundário do transformador será:

V G ' = V G α

Já a impedância da linha refletida será:

Z l i n h a ' = Z l i n h a α 2

Z l i n h a ' = 20 + j 100 5 2

Z l i n h a ' = 0,8 + j 4   Ω

Passo 3:

Então, temos o seguinte modelo com todas as grandezas refletidas para o secundário:

Vamos considerar que a tensão da carga está na referência, ou seja, seu ângulo é zero:

V C = 2300 ∠ 0 °

Como o transformador alimenta uma carga com 60   k W e F P = 0,9 atrasado, podemos encontrar o conjugado da corrente na carga.

I C * = S V C

Como,

S = S ∠ θ

E

S = P 0,9

S = 60 0,9 = 66,67   k V A

Além disso, o ângulo da potência complexa S é o ângulo do fator de potência. Como o fator de potência é atrasado, a carga é predominantemente indutiva e seu ângulo é positivo.

θ = cos - 1 ⁡ 0,9 = 25,84 °

Então, calculando a corrente da carga:

I C * = 66,67 × 10 3 ∠ 25,84 ° 2300 ∠ 0 °

I C * = 28,98 ∠ 25,84 °   A

I C = 28,98 ∠ - 25,84 °   A

Passo 4:

Agora é aplicar a lei das tensões de Kirchhoff na malha do circuito:

V G ' - 0,8 + j 4 + 0,16 + j 0,75 I C - V C = 0

V G ' = 0,96 + j 4,75 × 28,98 ∠ - 25,84 ° + 2300 ∠ 0 °

V G ' = 0,96 + j 4,75 × 28,98 ∠ - 25,84 ° + 2300 ∠ 0 °

V G ' = 4,85 ∠ 78,57 ° × 28,98 ∠ - 25,84 ° + 2300 ∠ 0 °

V G ' = 140,55 ∠ 52,73 ° + 2300 ∠ 0 °

V G ' = 85,11 + j 111,85 + 2300

V G ' = 2385,11 + j 111,85   V

V G ' = 2387,73 ∠ 2,68 °   V

Passo 5:

Encontramos a tensão da fonte refletida para o secundário, temos que refleti-la para o primário:

V G = α V G '

V G = 5 × 2387,73 ∠ 2,68 °

V G = 11938,67 ∠ 2,68 °   V

Regulação de tensão

A regulação de tensão é definida como a variação de tensão no secundário quando se passa da condição sem carga para carga total ou plena carga. Ela é calculada pela seguinte fórmula:

R T = V V a z i o - V C a r g a V C a r g a × 100

Pela fórmula, a gente nota que para o cálculo da regulação só se utiliza os módulos das tensões.

No nosso circuito, quando a carga está ligada, a tensão nos terminais do secundário é igual à tensão que está sendo aplicada na carga. Logo,

V C a r g a = 2300   V

Agora, vamos analisar a condição sem carga. Quando não há carga conectada ao secundário, ou seja, quando o transformador está a vazio, a gente considera, para o cálculo da regulação de tensão, que a tensão da entrada do sistema permanece constante. Então, temos o circuito abaixo:

Como o circuito está aberto, não tem circulação de corrente, logo não há queda de tensão nas impedâncias do circuito e toda a tensão refletida do primário é aplicada nos terminais do secundário. Logo,

V V a z i o = V G ' = 2387,73   V

Então, a regulação de tensão desse sistema será:

R T = 2387,73 - 2300 2300 × 100

R T = 3,81   %

Antes de continuar e calcular o rendimento do sistema temos que tomar cuidado, pois a regulação de tensão do sistema nem sempre é a regulação de tensão do transformador.

Nesse exemplo, queríamos determinar a regulação de tensão do sistema que é constituído pelo transformador mais a linha de transmissão.

Se quiséssemos calcular a regulação de tensão apenas do transformador, teríamos que considerar a tensão após a queda de tensão na impedância da linha. Se liga no circuito abaixo:

Então, a tensão do primário refletida seria:

V 1 ' - 0,16 + j 0,75 I C - V C = 0

V 1 ' = 0,16 + j 0,75 × 28,98 ∠ - 25,84 ° + 2300 ∠ 0 °

V 1 ' = 0,767 ∠ 77,96 ° × 28,98 ∠ - 25,84 ° + 2300 ∠ 0 °

V 1 ' = 22,22 ∠ 52,12 ° + 2300 ∠ 0 °

V 1 ' = 2313,71 ∠ 0,43 °

Então, a regulação de tensão do transformador será:

R T = 2313,71 - 2300 2300 × 100

R T = 0,596   %

Eficiência ou rendimento

O rendimento de um sistema ou de um transformador é definido como sendo

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100 í

Em que a potência de entrada é a soma da potência de saída somado com as perdas na linha de transmissão e no enrolamento do transformador.

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s í

Da mesma forma que a regulação de tensão, se queremos calcular o rendimento do sistema, devemos considerar a perda de todos os elementos do sistema (linha de transmissão + transformador).

Nosso sistema é esse:

A potência de saída é a potência ativa na carga, ou seja,

P s a i d a = 60   k W

Já as perdas estão relacionadas às resistências da linha e do transformador. Logo,

P p e r d a s = R ' + R e q I C 2

P p e r d a s = ( 0,8 + 0,16 ) × 28,98 2

P p e r d a s = 0,806   k W

Então, a potência de entrada será:

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s í

P e n t r a d a = 60 + 0,806

P e n t r a d a = 60,806   k W

Logo, o rendimento do sistema será:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100 í

η = 60 60,806 × 100

η = 98,67   %

Pronto! Missão cumprida!

Também podemos resolver sistemas com transformadores utilizando o sistema PU. Normalmente quando um sistema possui mais de um transformador, nós resolvemos em pu.

Como vimos no tópico de sistema PU, não precisamos ficar refletindo o circuito para um lado ou o outro dos transformadores. A gente trabalha sem se preocupar com isso e depois basta multiplicarmos pelas bases que determinamos para encontrar os valores em A ,   V e Ω .

Agora vamos destruir os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Chapman, p. 144, Problema 2.2

Um sistema de potência monofásico está mostrado na figura abaixo. A fonte de potência alimenta um transformador de 100 k V A e 14 / 2,4 k V   por meio de uma impedância de alimentador de 38,2 + j 140   Ω . A impedância em série equivalente do transformador, referida ao seu lado de baixa tensão, é 0,10 + j 0,40   Ω . A carga no transformador é 90 k W   com FP 0,80 atrasado e 2300 V .

a   Qual é a tensão na fonte de potência do sistema?

b Qual é a regulação do transformador?

c Qual é a eficiência do sistema de potência?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na letra ( a ) o que ele quer saber é o valor da tensão da fonte. Então, primeiro temos que achar a relação de transformação:

α = V 1 V 2

α = 14 2,4 = 5,833

Passo 2

A impedância da linha refletida para o secundário será:

Z l i n h a ' = Z l i n h a α 2

Z l i n h a ' = 38,2 + j 140 ( 5,833 ) 2

Z l i n h a ' = 1,12 + j 4,11   Ω

Passo 3

Lembrando que:

S = S ∠ θ F P

Assim:

cos - 1 ⁡ 0,8 = 36,87 °

Como foi dito que o FP está atrasado, significa que a corrente está atrasada da tensão e, portanto, o ângulo do FP é positivo (carga predominantemente indutiva).

Então, calculando a potência aparente na carga:

S = P 0 , 8

S = 9 0 × 10 3 0 , 8 =   112,5 k V A

Logo,

S = 112,5 × 10 3 ∠ 36,87 °   V A

Passo 4

Agora já podemos encontrar o conjugado da corrente na carga:

I C * = S V C

Vamos considerar que a tensão da carga está na referência, ou seja, seu ângulo é zero:

V C = 2300 ∠ 0 °   V

Logo, calculando a corrente na carga:

I C * = 112,5 × 10 3 ∠ 36,87 °   2300 ∠ 0 °  

I C * = 48,91 ∠ 36,87 °   A

Logo, a corrente na carga será:

I C = 48,91 ∠ - 36,87 °   A

Passo 5

Passo 6

Pela Lei das Tensões de Kircchoff, teremos que:

V G ' = Z l i n h a ' + Z e q × I c + V c

V G ' = 1,12 + j 4,11 + 0,10 + j 0,40 × 48,91 ∠ - 36,87 ° + 2300 ∠ 0 °  

V G ' = 1,22 + j 4,51 × 48,91 ∠ - 36,87 ° + 2300

V G ' = ( 4,67 ∠ 74,86 ° × 48,91 ∠ - 36,87 ° ) + 2300

V G ' = 228,51 ∠ 37,993 ° + 2300

V G ' = 180,087 + j 140,66 + 2300

V G ' = 2480,087 + j 140,66

V G ' = 2484,072 ∠ 3,246 °   V

Passo 7

Como a tensão calculada no passo anterior é a tensão da fonte referida para o secundário, temos que voltar com ela para o primário novamente para encontrarmos o valor da tensão da fonte real:

V G = α   V G '

V G = 5,833 × 2484,072 ∠ 3,246 °  

V G = 14489,59 ∠ 3,246 °   V

Passo 8

Para calcularmos a regulação de tensão apenas do transformador, temos que considerar a tensão após a queda de tensão na impedância da linha:

V 1 ' = 0,1 0 + j 0 , 40 I C + V C

V 1 ' = 0,10 + j 0,40 × 48,91 ∠ - 36,87 °   + 2300 ∠ 0 °

V 1 ' = 0 , 412 ∠ 7 5 , 96 ° × 48,91 ∠ - 36,87 ° + 2300

V 1 ' = 20,166 ∠ 39,09 ° + 2300

V 1 ' = 15,65 + j 12,71 + 2300

V 1 ' = 2315,65 + j 12,71

V 1 ' = 2315,686 ∠ 0,3146 °   V

Passo 9

Portanto, a regulação de tensão do transformador será:

R T = 2315,686 - 2300 2300 × 100

R T = 0,682   %

Passo 10

A eficiência do sistema de potência vai ser:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100 í

A potência de saída é aquela que chega à carga. Ou seja:

P s a í d a = 90 k W í

Para o cálculo da potência de entrada, temos que levar em consideração as perdas. Logo:

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s í

As perdas estão relacionadas às resistências da linha e do transformador. Logo,

P p e r d a s = R ' + R e q I C 2

P p e r d a s = 1,12 + 0,1 0 × 48,91 2

P p e r d a s = 2918,47 = 2,91847 k W

Logo:

P e n t r a d a = 90 + 2,91847

P e n t r a d a = 92,91847 k W

A eficiência do transformador será, então:

η = 90 92,91847 × 100

η = 96,859 %

Resposta

a   V G = 14489,59 ∠ 3,246 °   V

b   R T = 0,682   %

c   η = 96,859 %

Exercício Resolvido #2

Livro Chapman, p. 145, problema 2.3 (adaptada)

Considere um sistema de potência simples consistindo em uma fonte ideal de tensão, um transformador elevador ideal, uma linha de transmissão, um transformador abaixador ideal e uma carga. A tensão da fonte é V S = 480 ∠ 0 °   V . A impedância da linha de transmissão é Z l i n h a = 3 + j 4   Ω e a impedância da carga é Z c a r g a = 30 + j 40   Ω .

a   Assuma que os transformadores não estão presentes no circuito. Qual é a tensão da carga e a eficiência do sistema?

b Assuma que o transformador 1 é um transformador elevador 1 : 5 e que o transformador   2   é um transformador abaixador 5 : 1 . Qual é a tensão da carga e a eficiência do sistema?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na letra ( a ) ele pede para desconsiderar os dois transformadores. Então o circuito será:

Pela Lei de Ohm, a corrente na carga será:

I C = 480 ∠ 0 ° 3 + j 4 + 30 + j 40

I C = 8,7272 ∠ - 53,13 °   A

Logo, a tensão da carga será:

V C = Z c a r g a × I C

V C = 30 + j 40 × 8,7272 ∠ - 53,13 °  

V C = 50 ∠ 53,13 ° × 8,7272 ∠ - 53,13 °  

V C = 436,36 ∠ 0 °   V

Passo 2

Para calcular a eficiência do sistema, fazemos:

P s a í d a = P c a r g a = R × I C 2 í

P s a í d a = 30 × 8,7272 2