Introdução aos Transformadores

Resumo Completo

As usinas geradoras de energia geram tensões muito elevadas, por volta de 13,8   k V . Essa tensão gerada é elevada à níveis acima de 230   k V na transmissão, depois abaixada para 13,8   k V novamente e, por fim, é abaixada mais uma vez para 220 / 127   V para atender os consumidores.

Então, desde a geração até chegar nas tomadas das nossas casas, a tensão é abaixada e elevada diversas vezes e o equipamento responsável por essa transformação nos valores de tensão é o Transformador.

Com certeza você já deve ter visto um bicho desses pendurado nos postes das ruas perto de sua casa:

Esse é um transformador trifásico de distribuição. É ele que abaixa a tensão de 13,8   k V para 220 / 127   V .

Agora que você já tem uma ideia da importância do transformador e do que ele é capaz, vamos ver como os transformadores monofásicos elevam ou abaixam as tensões.

Transformador ideal

Tudo ou quase tudo nessa vida não é ideal, não é verdade? E com transformadores não poderia ser diferente, mas, na prática, podemos fazer aproximações muito boas e considerar o transformador como sendo ideal.

O transformador é basicamente formado por um núcleo de material ferromagnético e por dois enrolamentos de N espiras, que chamamos de enrolamento do primário e do secundário do transformador. Vou fazer um desenho esquemático do transformador para você visualizar melhor:

Em um transformador ideal não há perdas, ou seja, quando alimentamos o primário com uma tensão v 1 , todo o fluxo ϕ produzido pela passagem da corrente i 1 pelos enrolamentos do primário passa pelos enrolamentos do secundário.

Esse fluxo induz a tensão v 2 nos terminais do enrolamento secundário do transformador e a corrente i 2 na presença de carga conectada ao secundário.

Beleza, mas como é que a tensão no primário se relaciona com a tensão do secundário?

Então, elas se relacionam pelo número de espiras do primário e do secundário. Como estamos trabalhando com corrente alternada, faremos a análise na forma fasorial.

V 1 V 2 = N 1 N 2 = α

α é chamada de relação de transformação do transformador.

Por exemplo, se alimentarmos os terminais do primário com 220   V , o número de espiras do primário for 20 e o enrolamento do secundário tiver 10 espiras. Qual será a tensão medida nos terminais do secundário?

Pelo enunciado, sabemos que:

V 1 = 220   V

N 1 = 20   e s p i r a s

N 2 = 10   e s p i r a s

Utilizando a relação de transformação, temos:

220 V 2 = 20 10

V 2 = 220 2 = 110   V

Simbolicamente podemos representar esse transformador assim:

Pronto, é assim que os transformadores abaixam e elevam as tensões!

Você deve ter visto que quando eu desenho um esquema do transformador eu sempre indico duas bolinhas:

Essas bolinhas são para indicar a polaridade do transformador e o sentido com que a corrente circula pelos enrolamentos. Nós desenhamos a bolinha onde a corrente entra pelo primário e por onde ela sai no secundário.

Já a relação entre a corrente i 1 que entra no primário do transformador e a corrente i 2 que sai do secundário do transformador é

N 1 i 1 = N 2 i 2

Ou

N 2 N 1 = I 1 I 2 = 1 α

Por isso que dizemos que a relação de transformação entre as tensões do primário e do secundário são diretamente proporcionais à relação de suas espiras enquanto a de corrente é inversamente.

Das relações de corrente e tensão com o número de espiras, chegamos à conclusão de que:

v 1 i 1 = v 2 i 2

Logo, a potência do primário é igual à potência instantânea de saída do secundário:

P 1 = P 2

Isso era esperado, porque se trata de um transformador ideal, logo não consideramos as perdas, concorda?

Como já encontramos relação de transformação para tensão e corrente, falta agora encontrarmos uma relação de transformação para a impedância. Calma, não se desespere! A gente vai tirar de letra!

Primeiro vamos conectar uma impedância no secundário do transformador:

Pela lei de Ohm, sabemos que

Z L = V 2 I 2

Agora, vamos ver como essa impedância é vista no primário:

Z L ' = V 1 I 1

Pelas relações de transformação:

V 1 = α V 2

I 1 = I 2 α

Então, quando substituímos:

Z L ' = V 1 I 1 = α V 2 I 2 α

Z L ' = α 2 V 2 I 2  

Z L ' = α 2 Z L

Logo, se queremos transformar uma impedância que está conectada no secundário para o primário, temos que usar esta relação.

Esse modo de transferir a impedância de um lado a outro do transformador é conhecido como reflexão de impedâncias.

Modelo série do transformador

Agora vamos considerar os efeitos das resistências dos enrolamentos e do fluxo disperso. Com isso, temos o modelo abaixo:

Onde:

  • R 1 e R 2 representam as perdas que ocorrem por efeito Joule nos enrolamentos do primário e do secundário, respectivamente;
  • X 1 e X 2 representam as perdas devido ao fluxo disperso, chamadas de reatância de dispersão, do primário e do secundário, respectivamente.

Por hora, vamos considerar apenas esses fatores no modelo do transformador. Mas, em um modelo completo também consideramos as perdas que ocorrem no núcleo do transformador e a perda mútua, que ocorre devido ao fluxo comum aos dois enrolamentos.

Para facilitar a nossa análise de circuitos com a presença de transformadores é muito comum substituímos o transformador por um circuito equivalente. Vamos ver como fazer isso passo-a-passo.

Passo 1:

Primeiro, temos que refletir ou referir todas as grandezas para o primário ou secundário do transformador. A gente faz isso utilizando aquelas relações de transformação que acabamos de estudar.

Vamos começar refletindo tudo para o primário do transformador. Sabemos que as tensões têm a seguinte relação de transformação:

V 1 V 2 = α

Logo a tensão V 2 refletida para o primário será:

V 2 ' = α V 2

Sempre usamos apóstrofo (‘) para indicar que a grandeza está refletida.

Fazendo o mesmo para a corrente, temos:

I 1 I 2 = 1 α

I 2 ' = I 2 α

Por último, vamos fazer o mesmo para a impedância:

Z 2 ' = α 2 Z 2

Logo,

R 2 ' = α 2 R 2

X 2 ' = α 2 X 2

Passo 2:

Desenhamos o novo modelo com as grandezas refletidas para o primário:

Para reduzir o modelo fazemos:

R e q = R 1 + R 2 '       e       X e q = X 1 + X 2 '

Chegando no modelo baixo:

Passo 3:

Para terminar, omitimos o transformador ideal e chegamos ao circuito equivalente série referido ao primário. O circuito fica assim:

Viu só, esse é o circuito que você vai utilizar muito daqui para frente!

Se quiséssemos desenhar o circuito equivalente série referido ao secundário faríamos os mesmos passos:

V 1 ' = V 1 α

I 1 ' = α I 1

R 1 ' = R 1 α 2

X 1 ' = X 1 α 2

Onde,

R e q = R 1 ' + R 2       e       X e q = X 1 ' + X 2

Pronto! Agora é destruir os exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

Livro Sadiku, p.538, Problema 13.37

Um transformador elevador de tensão ideal de 480 / 2400   V   R M S libera 50   k W para uma carga resistiva. Calcule:

( a ) A relação de espiras.

b A corrente no primário.

c A corrente no secundário.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar! O enunciado nos disse que o transformador é elevador. Isso quer dizer que ele recebe uma tensão menor e a transforma para uma tensão maior. Então, podemos desenhar o seguinte esquema:

Onde a tensão do primário é

V 1 = 480   V

Já a do secundário:

V 2 = 2400   V

Como não foi dito nada sobre o ângulo e a carga é resistiva não precisamos nos preocupar com defasamentos. Por isso, vamos considerar apenas os módulos dos fasores.

Passo 2

Na letra ( a ) precisamos encontrar a relação de espiras do transformador, ou seja:

N 1 N 2

Sabemos que a relação entre as tensões do primário e do secundário são diretamente proporcionais à relação das espiras em um transformador.

V 1 V 2 = N 1 N 2 = α

Logo, substituindo os valores das tensões no primário e secundário, temos:

480 2400 = N 1 N 2 = α

α = N 1 N 2 = 0,2

Passo 3

Na letra ( b ) temos que calcular a corrente I 1 . Para isso, vamos usar a fórmula da potência:

P 1 = V 1 I 1

Como P 1 = 50   k W , temos:

I 1 = 50 × 10 3 480

I 1 = 104,16   A

Passo 4

Pra terminar, na letra ( c ) temos que calcular a corrente no secundário I 2 . Sabemos que a relação entre as tensões do primário e do secundário são diretamente proporcionais à relação de suas espiras enquanto a de corrente é inversamente.

N 2 N 1 = I 1 I 2 = 1 α

Então,

I 2 = α I 1

I 2 = ( 0,2 ) × ( 104,16 )

I 2 = 20,83   A

Resposta

a   α = N 1 N 2 = 0,2

b   I 1 = 104,16   A    

( c )   I 2 = 20,83   A

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Lista Prof. João Salvador - UFRJ - Ex.5

O lado de alta tensão (AT) de um transformador abaixador tem N P = 800 espiras e o lado de baixa tensão (BT) tem N s = 100 espiras. Uma tensão de 240   V é aplicada ao lado de AT e uma impedância de carga de 3   é ligada ao lado BT. Calcule:

a A corrente e a tensão no enrolamento de BT.

b A corrente no lado de AT.

c A impedância vista dos terminais de AT (impedância do secundário refletida).

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar! O enunciado nos disse que o transformador é abaixador. Isso quer dizer que ele recebe uma tensão maior e a transforma para uma tensão menor. Então, podemos desenhar o seguinte esquema:

Como não foi dito nada sobre o ângulo e a carga é resistiva não precisamos nos preocupar com defasamentos. Por isso, vamos considerar apenas os módulos dos fasores.

Passo 2

Na letra ( a ) precisamos encontrar a corrente e a tensão no enrolamento de BT, que está no secundário do transformador.

Sabemos que a relação entre as tensões do primário e do secundário são diretamente proporcionais à relação das espiras em um transformador.

V P V S = N P N S = α

Logo, substituindo os valores dos números de espiras do primário e do secundário, temos:

V P V S = 800 100

α = V P V S = 8

Logo, a tensão no enrolamento de baixa será:

V S = V P 8

V S = 240 8

V S = 30   V

Passo 3

Agora, vamos aplicar a lei de Ohm na carga para encontrarmos a corrente no enrolamento de BT.

I S = V S 3

I S = 30 3

I S = 10   A

Passo 4

Na letra ( b ) temos que calcular a corrente no lado de AT, I P . Para isso, vamos usar a relação de transformação do transformador.

I P I S = 1 α

I P = I S α

I P = 10 8

I P = 1,25   A

Passo 5

Pra terminar, na letra ( c ) temos que calcular a impedância refletida para o primário. Sabemos que a relação de transformação para transferir a impedância do secundário para o primário é

Z L ' = α 2 Z L

Então,

Z L ' = ( 8 ) 2 × 3

Z L ' = 192  

Resposta

a   V S = 30   V ;   I S = 10   A  

b   I P = 1,25   A    

( c )   Z L ' = 192  

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Lista Prof. João Salvador - UFRJ - Ex.5

Um transformador de 4,6   k V A , 2300 / 115   V ,   60   H z foi projetado para ter uma f.e.m. induzida de 2,5   v o l t s / e s p i r a . Supondo o transformador ideal, calcule:

a O número de espiras do enrolamento de alta tensão (AT), N p . b O número de espiras do enrolamento de baixa tensão (BT), N s . ( c ) A corrente nominal para o enrolamento de AT, I p . ( d ) A corrente nominal para o enrolamento de BT, I s . ( e ) A relação de transformação.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Com os dados que o enunciado nos fornece, vamos desenhar o esquema desse transformador:

Passo 2

Na letra ( a ) , precisamos encontrar o número de espiras do primário. O enunciado nos disse que a f.e.m. induzida é de 2,5   v o l t s / e s p i r a , ou seja, que para cada espira temos 2,5   V . Logo, para encontrar o número de espiras vamos usar a equação abaixo:

N P = V P f . e . m .  

N P = 2300 2,5

N P = 920   e s p i r a s

Passo 3

Fazendo o mesmo para o lado de BT, temos:

N S = V S f . e . m .

N S = 115 2,5

N S = 46   e s p i r a s

Passo 4

Na letra ( c ) , precisamos encontrar a corrente no primário. O enunciado nos disse que o transformador é de 4,6   k V A , ou seja,

S = 4600   V A

Como,

S = V P I P

4600 = 2300 × I P

I P = 4600 2300

I P = 2   A

Passo 5

Agora, vamos usar a relação de transformação do transformador para encontrarmos a corrente no lado de BT.

I P I S = N S N P

Logo,

I S = N P N S I P

I S = 920 46 × 2

I S = 40   A

Passo 6

Para terminar, na letra ( e ) , temos que calcular a relação de transformação.

α = N P N S

α = 920 46

α = 20

Resposta

a   N P = 920   e s p i r a s

b   N S = 46   e s p i r a s

c   I P = 2   A

d   I S = 40   A

e   α = 20

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Livro Sadiku, p.538, Problema 13.41

Determine I 1 e I 2 no circuito abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro, vamos determinar a corrente I 1 . Para isso, vamos ter que refletir o resistor de 2   para o primário.

R 2 ' = α 2 R 2

Logo, temos que usar a relação de transformação:

α = N 1 N 2 = 3 1

Mas, temos que tomar cuidado! As bolinhas que indicam a polaridade estão em posições diferentes do que a gente está acostumado. A do primário está na parte de cima do enrolamento enquanto a do secundário está na parte inferior.

Quando isso ocorre, a gente considera a relação de transformação negativa. Então,

α = - 3

Passo 2

Refletindo a resistência de 2   , temos:

R 2 ' = ( - 3 ) 2 × ( 2 )

R 2 ' = 18  

Portanto, o circuito equivalente série do transformador referido ao primário será:

Logo, aplicando a lei de Ohm:

I 1 = 14 0 ° 10 + 18

I 1 = 0,5 0 °   A

Passo 3

Agora, vamos calcular   I 2 . Pela relação de transformação, temos:

I 2 I 1 = N 1 N 2 = α

Logo,

I 2 = α I 1

I 2 = ( - 3 ) × ( 0,5 0 ° )

I 2 = - 1,5 0 °   A

Esse sinal de menos indica que a corrente está no sentido contrário ao que está indicado no desenho. O que faz sentido, pois, como vimos na teria, indicamos com a bolinha onde a corrente está saindo do enrolamento do secundário.

Resposta

I 1 = 0,5 0 °   A

I 2 = - 1,5 0 °   A

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Livro Sadiku, p.538, Problema 13.42

Considere o circuito da figura abaixo e determine a potência absorvida pelo resistor de 2 . Suponha que 80 V seja um valor RMS.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Precisamos determinar a potência absorvida pelo resistor de 2   . Então, primeiro, temos que encontrar a corrente que passa por ele para aplicar a seguinte fórmula de potência:

P = R I 2

Como o resistor de 2 está no secundário do transformador, vamos referir todo o circuito para o secundário. Para isso, precisamos saber a relação de transformação desse transformador.

α = N 1 N 2 = 1 2

α = 0,5

Passo 2

Agora, vamos referir as grandezas do primário para o secundário. A tensão do primário referida para o secundário será:

V 1 ' = V 1 α

V 1 ' = 2 × 80 0 °

V 1 ' = 160 0 °   V

Já a impedância referida para o secundário será:

Z 1 ' = Z 1 α 2

Z 1 ' = 50 - j 0,5 2

Z 1 ' = 200 - j 4  

Então, o circuito equivalente série do transformador referido ao secundário será:

Passo 3

A impedância equivalente do circuito acima é:

Z e q = 202 + j 16  

Então, pela lei de Ohm, a corrente no secundário será:

I 2 = 160 0 ° 202 + j 16

I 2 = 160 0 ° 202,63 4,53 °

I 2 = 0,789 - 4,53 °   A

Passo 4

Agora que temos a corrente que passa pelo resistor de 2   , vamos calcular a potência que ele absorve:

P = 2 × I 2 2

P = 2 × 0,789 2

P = 1,245  

Resposta

P = 1,245  

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Livro Sadiku, p.539, Problema 13.50

Calcule a impedância de entrada do circuito abaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Nesse circuito, temos dois transformadores.

Calcular a impedância de entrada do circuito é refletir todas as impedâncias para o primário do primeiro transformador. Para isso, temos que lembrar que para refletir a impedância do secundário para o primário utilizamos a relação abaixo:

Z 2 ' = α 2 Z 2

Passo 2

Primeiro, vamos refletir a impedância do secundário do transformador 2 para o seu primário. A relação de transformação desse transformador é:

α = - 4 1 = - 4

A gente coloca o sinal de menos antes porque as bolinhas que indicam a polaridade estão em posições diferentes do que a gente está acostumado. A do primário está na parte de cima do enrolamento enquanto a do secundário está na parte inferior.

Quando isso ocorre, a gente considera a relação de transformação negativa.

Z 2 T r a f o 2 ' = - 4 2 × ( 6 - j 10 )

Z 2 T r a f o 2 ' = 96 - j 16 0  

Passo 3

Então, depois desse passo nosso circuito fica assim:

Agora, vamos refletir a impedância do secundário para o primário. Nesse transformador a relação de transformação é:

α = N 1 N 2 = 1 5

Então,

Z 2 T r a f o 1 ' = 1 5 2 × ( 24 + 96 - j 16 0 )

Z 2 T r a f o 1 ' = 0,04 × ( 120 - j 16 0 )

Z 2 T r a f o 1 ' = 4,8 - j 6,4  

Passo 4

Pronto, todas as impedâncias estão refletidas para o primário do transformador 1. Agora é calcular a impedância de entrada.

Z e n t = 8 + j 12 + 4,8 - j 6 , 4

Z e n t = 12,8 + j 5,6  

Resposta

Z e n t = 12,8 + j 5,6  

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Livro Sadiku, p.538, Problema 13.45

Considere o circuito da figura abaixo e determine a potência média absorvida pelo resistor de 8 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro temos que passar o circuito para o domínio da frequência:

4 sen 30 t = 4 cos 30 t - 90

Logo, no domínio da frequência, a tensão da fonte será:

4 - 90 °   V

Temos que passar a tensão para o valor eficaz:

V R M S = 4 - 90 ° 2  

V R M S = 2,83 - 90 °   V

Para o capacitor, temos que lembrar da fórmula:

X C =   - j 1 ω C

X C =   - j 1 30 × 1 120

X C =   - j 4  

Passo 2

Pronto, agora podemos começar a resolver o circuito.

Como ele pede a potência média dissipada no resistor de 8 , que está no secundário, vamos refletir a tensão e a impedância do primário para o secundário para calcular a corrente I 2 .

A relação de transformação será, então:

α = N 1 N 2 = 3 1

Mas, temos que tomar cuidado! As bolinhas que indicam a polaridade estão em posições diferentes do que a gente está acostumado. A do primário está na parte de cima do enrolamento enquanto a do secundário está na parte inferior.

Quando isso ocorre, a gente considera a relação de transformação negativa. Então,

α = - 3

Passo 3

Agora, vamos referir as grandezas do primário para o secundário. A tensão do primário referida para o secundário será:

V 1 ' = 2,83 - 90 ° - 3

V 1 ' = - 0,9433 - 90 °   V

Já a resistência referida para o secundário será:

R 1 ' = R 1 α 2

R 1 ' = 48 ( - 3 ) 2

R 1 ' = 5,333

Passo 4

Agora já é possível calcular a corrente no secundário. Pela Lei de Ohm:

I 2 = - 0,9433 - 90 °   5,333 - j 4 + 8

I 2 = - 0,9433 - 90 °   13 , 333 - j 4

I 2 = - 0,9433 - 90 °   13 , 92 - 16,7 °

I 2 = - 0,06776 106,7 °   A

Passo 5

Finalmente podemos calcular a potência dissipada pelo resistor de 8 :

P 8 = R I 2 2

P 8 = 8 × 0,06776 2

P 8 = 0,0367   W

Resposta

P 8 = 0,0367   W

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