Sistema por Unidade

Teoria Completa

Já pensou como seria mais rápido se não precisássemos transformar corrente, tensões e impedâncias do primário para o secundário e vice-versa?

Então! Com o Sistema por Unidade (PU) a gente pode resolver circuitos com transformadores sem se preocupar com as relações de transformação.

Está duvidando? Vou te provar com um exemplo! Primeiro vamos resolvê-lo da maneira tradicional e depois trabalhando com PU.

No circuito abaixo, temos um gerador de 220   V alimentando um transformador de 220 / 110   V , 1,5   k V A com impedância equivalente Z e q = 4 + j 3   Ω referida ao primário. O secundário desse transformador alimenta uma carga de 20   Ω . Nossa missão é encontrar as correntes do primário I 1 e do secundário I 2 desse transformador.

Primeiro, vamos trabalhar da maneira tradicional em V ,   A e .

Passo 1:

A relação de transformação é de 2 para 1, ou seja:

α = N 1 N 2 = V 1 V 2

α = 220 110 = 2

Refletindo o resistor de 20   Ω para o primário, temos:

R ' = α 2 × 20

R ' = 2 2 × 20

R ' = 80   Ω

Passo 2:

Agora que temos todos os elementos referidos ao primário, temos que analisar o circuito abaixo:

Aplicando a lei de Ohm:

I 1 = 220 ∠ 0 ° 4 + j 3 + 80

I 1 = 220 ∠ 0 ° 84 + j 3

I 1 = 220 ∠ 0 ° 84,05 ∠ 2,05 °

I 1 = 2,6175 ∠ - 2,05 °   A

Passo 3:

Vamos usar a relação de transformação mais uma vez para encontrar a corrente no secundário.

I 1 I 2 = 1 α

Logo,

I 2 = α I 1

I 2 = 2 × ( 2,6175 ∠ - 2,05 ° )

I 2 = 5,235 ∠ - 2,05 °   A

Agora vamos trabalhar no sistema por unidade (PU).

Passo 1:

Nosso primeiro passo é escolher o valor base das grandezas. Nós escolhemos uma potência base para todo o sistema. Quando temos apenas um transformador sempre escolhemos a potência do transformador como potência base.

P b a s e = 1,5   k V A

Agora escolhemos um valor de tensão base para cada trecho do sistema, ou seja, para cada lado do transformador. Sempre procuramos escolher as tensões nominais do transformador!

V b a s e 1 = 220   V             e             V b a s e 2 = 110   V

Passo 2:

Agora que temos os valores bases de potência e tensão, temos que calcular as bases para a corrente e impedância de cada trecho. Faremos isso utilizando aquelas fórmulas já batidas:

I = P V           e         Z = V 2 P

Então, as correntes de base serão:

I b a s e 1 = P b a s e V b a s e 1

I b a s e 1 = 1,5 × 10 3 220

I b a s e 1 = 6,818   A

I b a s e 2 = P b a s e V b a s e 2

I b a s e 2 = 1,5 × 10 3 110

I b a s e 2 = 13,636   A

Já as impedâncias de base:

Z b a s e 1 = V b a s e 1 2 P b a s e

Z b a s e 1 = 220 2 1,5 × 10 3

Z b a s e 1 = 32,267   Ω

Z b a s e 2 = V b a s e 2 2 P b a s e

Z b a s e 2 = 110 2 1,5 × 10 3

Z b a s e 2 = 8,067   Ω

Passo 3:

Agora que todos os valores bases estão calculados, vamos passar nosso circuito inicial para pu. Para isso, pegamos o valor de cada grandeza que temos em nosso circuito e dividimos por seu respectivo valor base.

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e

Começamos pela tensão do gerador. Como ele está no lado do primário do transformador seu valor base é V b a s e 1 = 220   V , então seu valor em pu será:

V G p u = V G V V b a s e 1

V G p u = 220 ∠ 0 ° 220

V G p u = 1 ∠ 0 °   p u

Agora, vamos fazer o mesmo para as impedâncias:

  Z e q p u = Z e q Ω Z b a s e 1

Z e q p u = 4 + j 3 32,267

Z e q p u = 5 ∠ 36,87 ° 32,267

Z e q p u = 0,15496 ∠ 36,87 °   p u

Z e q p u = 0,12397 + j 0,09297   p u

R L p u = R L Ω Z b a s e 2

R L p u = 20 8,067

R L p u = 2,4792   p u

Passo 4:

Como todas as grandezas estão em pu, podemos analisar diretamente o circuito abaixo:

Observe que, em pu, o valor para a corrente é o mesmo em todos os trechos do sistema:

I 1 p u = I 2 p u = I ( p u )

Então, pela lei de Ohm:

I p u = V G p u Z e q p u + R L p u

I p u = 1 ∠ 0 ° 0,12397 + j 0,09297 + 2,4792

I ( p u ) = 1 ∠ 0 ° 2,6032 + j 0,09297

I ( p u ) = 1 ∠ 0 ° 2,60486 ∠ 2,05 °

I p u = 0,383898 ∠ - 2,05 °   p u

Passo 5:

Para terminar, precisamos encontrar a corrente em ampères. Para isso, temos que multiplicar o valor em pu pelo valor base:

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e       →       v a l o r   r e a l = v a l o r   p u × v a l o r   b a s e

Então,

I 1 A = I p u × I b a s e 1

I 1 A = ( 0,383898 ∠ - 2,05 ° ) × 6,818

I 1 A = 2,6175 ∠ - 2,05 °   A

I 2 A = I p u × I b a s e 2

I 2 A = ( 0,383898 ∠ - 2,05 ° ) × 13,636

I 2 A = 5,235 ∠ - 2,05 °   A

Pronto! Viu só? Utilizamos o sistema pu e encontramos as mesmas respostas sem precisar fazer reflexões de impedância, tensão e corrente.

Então, para resolvermos circuitos utilizando pu temos que seguir esses passos:

  1. Escolher os valores bases de duas grandezas.
  2. A partir dos valores bases escolhidos, calcular as bases para as demais grandezas utilizando as fórmulas já conhecidas:
  3. I = P V           e         Z = V 2 P

  4. Passar o circuito inicial para pu. Para isso, pegamos o valor de cada grandeza que temos em nosso circuito e dividimos por seu respectivo valor base.
  5. v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e

  6. Com todas as grandezas em pu, podemos analisar o circuito e calcular o que se quer em pu.
  7. Para terminar, precisamos passar a grandeza calculada em pu para as unidades tradicionais V ,   A e . Para isso, temos que multiplicar o valor em pu pelo valor base:

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e       →       v a l o r   r e a l = v a l o r   p u × v a l o r   b a s e