Sistema por Unidade

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Teoria

Já pensou como seria mais rápido se não precisássemos transformar corrente, tensões e impedâncias do primário para o secundário e vice-versa?

Então! Com o Sistema por Unidade (PU) a gente pode resolver circuitos com transformadores sem se preocupar com as relações de transformação.

Está duvidando? Vou te provar com um exemplo! Primeiro vamos resolvê-lo da maneira tradicional e depois trabalhando com PU.

No circuito abaixo, temos um gerador de 220   V alimentando um transformador de 220 / 110   V , 1,5   k V A com impedância equivalente Z e q = 4 + j 3   Ω referida ao primário. O secundário desse transformador alimenta uma carga de 20   Ω . Nossa missão é encontrar as correntes do primário I 1 e do secundário I 2 desse transformador.

Primeiro, vamos trabalhar da maneira tradicional em V ,   A e .

Passo 1:

A relação de transformação é de 2 para 1, ou seja:

α = N 1 N 2 = V 1 V 2

α = 220 110 = 2

Refletindo o resistor de 20   Ω para o primário, temos:

R ' = α 2 × 20

R ' = 2 2 × 20

R ' = 80   Ω

Passo 2:

Agora que temos todos os elementos referidos ao primário, temos que analisar o circuito abaixo:

Aplicando a lei de Ohm:

I 1 = 220 ∠ 0 ° 4 + j 3 + 80

I 1 = 220 ∠ 0 ° 84 + j 3

I 1 = 220 ∠ 0 ° 84,05 ∠ 2,05 °

I 1 = 2,6175 ∠ - 2,05 °   A

Passo 3:

Vamos usar a relação de transformação mais uma vez para encontrar a corrente no secundário.

I 1 I 2 = 1 α

Logo,

I 2 = α I 1

I 2 = 2 × ( 2,6175 ∠ - 2,05 ° )

I 2 = 5,235 ∠ - 2,05 °   A

Agora vamos trabalhar no sistema por unidade (PU).

Passo 1:

Nosso primeiro passo é escolher o valor base das grandezas. Nós escolhemos uma potência base para todo o sistema. Quando temos apenas um transformador sempre escolhemos a potência do transformador como potência base.

P b a s e = 1,5   k V A

Agora escolhemos um valor de tensão base para cada trecho do sistema, ou seja, para cada lado do transformador. Sempre procuramos escolher as tensões nominais do transformador!

V b a s e 1 = 220   V             e             V b a s e 2 = 110   V

Passo 2:

Agora que temos os valores bases de potência e tensão, temos que calcular as bases para a corrente e impedância de cada trecho. Faremos isso utilizando aquelas fórmulas já batidas:

I = P V           e         Z = V 2 P

Então, as correntes de base serão:

I b a s e 1 = P b a s e V b a s e 1

I b a s e 1 = 1,5 × 10 3 220

I b a s e 1 = 6,818   A

I b a s e 2 = P b a s e V b a s e 2

I b a s e 2 = 1,5 × 10 3 110

I b a s e 2 = 13,636   A

Já as impedâncias de base:

Z b a s e 1 = V b a s e 1 2 P b a s e

Z b a s e 1 = 220 2 1,5 × 10 3

Z b a s e 1 = 32,267   Ω

Z b a s e 2 = V b a s e 2 2 P b a s e

Z b a s e 2 = 110 2 1,5 × 10 3

Z b a s e 2 = 8,067   Ω

Passo 3:

Agora que todos os valores bases estão calculados, vamos passar nosso circuito inicial para pu. Para isso, pegamos o valor de cada grandeza que temos em nosso circuito e dividimos por seu respectivo valor base.

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e

Começamos pela tensão do gerador. Como ele está no lado do primário do transformador seu valor base é V b a s e 1 = 220   V , então seu valor em pu será:

V G p u = V G V V b a s e 1

V G p u = 220 ∠ 0 ° 220

V G p u = 1 ∠ 0 °   p u

Agora, vamos fazer o mesmo para as impedâncias:

  Z e q p u = Z e q Ω Z b a s e 1

Z e q p u = 4 + j 3 32,267

Z e q p u = 5 ∠ 36,87 ° 32,267

Z e q p u = 0,15496 ∠ 36,87 °   p u

Z e q p u = 0,12397 + j 0,09297   p u

R L p u = R L Ω Z b a s e 2

R L p u = 20 8,067

R L p u = 2,4792   p u

Passo 4:

Como todas as grandezas estão em pu, podemos analisar diretamente o circuito abaixo:

Observe que, em pu, o valor para a corrente é o mesmo em todos os trechos do sistema:

I 1 p u = I 2 p u = I ( p u )

Então, pela lei de Ohm:

I p u = V G p u Z e q p u + R L p u

I p u = 1 ∠ 0 ° 0,12397 + j 0,09297 + 2,4792

I ( p u ) = 1 ∠ 0 ° 2,6032 + j 0,09297

I ( p u ) = 1 ∠ 0 ° 2,60486 ∠ 2,05 °

I p u = 0,383898 ∠ - 2,05 °   p u

Passo 5:

Para terminar, precisamos encontrar a corrente em ampères. Para isso, temos que multiplicar o valor em pu pelo valor base:

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e       →       v a l o r   r e a l = v a l o r   p u × v a l o r   b a s e

Então,

I 1 A = I p u × I b a s e 1

I 1 A = ( 0,383898 ∠ - 2,05 ° ) × 6,818

I 1 A = 2,6175 ∠ - 2,05 °   A

I 2 A = I p u × I b a s e 2

I 2 A = ( 0,383898 ∠ - 2,05 ° ) × 13,636

I 2 A = 5,235 ∠ - 2,05 °   A

Pronto! Viu só? Utilizamos o sistema pu e encontramos as mesmas respostas sem precisar fazer reflexões de impedância, tensão e corrente.

Então, para resolvermos circuitos utilizando pu temos que seguir esses passos:

  1. Escolher os valores bases de duas grandezas.
  2. A partir dos valores bases escolhidos, calcular as bases para as demais grandezas utilizando as fórmulas já conhecidas:
  3. I = P V           e         Z = V 2 P

  4. Passar o circuito inicial para pu. Para isso, pegamos o valor de cada grandeza que temos em nosso circuito e dividimos por seu respectivo valor base.
  5. v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e

  6. Com todas as grandezas em pu, podemos analisar o circuito e calcular o que se quer em pu.
  7. Para terminar, precisamos passar a grandeza calculada em pu para as unidades tradicionais V ,   A e . Para isso, temos que multiplicar o valor em pu pelo valor base:

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e       →       v a l o r   r e a l = v a l o r   p u × v a l o r   b a s e

Seguindo esses passos não tem erro! Agora é fazer bastante exercícios!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um transformador de 15   k V A e 120 / 460   V tem uma impedância em série equivalente de 0,018 + j 0,042 por unidade. Calcule a impedância em série equivalente em ohms ( a ) referida ao lado de baixa e ( b ) referida ao lado de alta tensão.

Passo 1

Em pu o valor da impedância equivalente do transformador, calculada por qualquer um dos lados, é único. Logo, temos o circuito equivalente abaixo para o transformador:

Passo 2

Como estamos trabalhando com pu, temos que encontrar o valor base das grandezas. Quando temos apenas um transformador sempre escolhemos a potência do transformador como potência base.

P b a s e = 1 5   k V A

Agora escolhemos um valor de tensão base para cada trecho do sistema, ou seja, para cada lado do transformador. Sempre procuramos escolher as tensões nominais do transformador!

V b a s e 1 = 1 20   V             e             V b a s e 2 = 46 0   V

Passo 3

Com esses valores bases a gente já consegue determinar os valores base para as impedâncias do primário e secundário.

Z b a s e 1 = V b a s e 1 2 P b a s e

Z b a s e 1 = 120 2 15 × 10 3

Z b a s e 1 = 0,96   Ω

Z b a s e 2 = V b a s e 2 2 P b a s e

Z b a s e 2 = 460 2 15 × 10 3

Z b a s e 2 = 14,11   Ω

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as impedâncias referidas para o primário e secundário em ohms. Para isso, temos que multiplicar o valor em pu pelo valor base:

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e       →       v a l o r   r e a l = v a l o r   p u × v a l o r   b a s e

A impedância referida para o lado de baixa (primário) será:

Z B T ( Ω ) = Z e q ( p u ) × Z b a s e 1

Z B T ( Ω ) = ( 0,018 + j 0,042 ) × 0,96  

Z B T Ω = 0,01728 + j 0,04032   Ω

Passo 5

Já a impedância referida para o lado de alta (secundário) será:

Z A T ( Ω ) = Z e q ( p u ) × Z b a s e 2

Z A T ( Ω ) = ( 0,018 + j 0,042 ) × 14,11  

Z A T Ω = 0,245 + j 0,593   Ω

Resposta

a   Z B T Ω = 0,01728 + j 0,04032   Ω

b   Z A T Ω = 0,245 + j 0,593   Ω

Exercício Resolvido #2

O circuito equivalente de um transformador de 100   M V A e 7,97   k V / 79,7   k V está mostrado abaixo:

Os parâmetros do circuito equivalente são:

X B = 0,040   Ω                   X A = 3,75   Ω

R B = 0,76   m Ω                   R A = 0,085   Ω  

Converta os parâmetros do circuito equivalente para a forma por unidade usando as especificações nominais do transformador como base.

Passo 1

Como queremos trabalhar com pu, temos que encontrar o valor base das grandezas. Escolhendo a potência do transformador como potência base:

P b a s e = 100   M V A

Agora escolhemos um valor de tensão base para cada trecho do sistema, ou seja, para cada lado do transformador. Escolhendo as tensões nominais do transformador:

V b a s e B = 7,97   k V             e             V b a s e A = 79,7   k V

Passo 2

Com esses valores bases a gente já consegue determinar os valores base para as impedâncias do primário e secundário.

Z b a s e B = V b a s e B 2 P b a s e

Z b a s e B = ( 7,97 × 10 3 ) 2 100 × 10 6

Z b a s e B = 0,635   Ω

Z b a s e A = V b a s e A 2 P b a s e

Z b a s e A = ( 79,7 × 10 3 ) 2 100 × 10 6

Z b a s e A = 63,5   Ω

Passo 3

Agora que os valores bases estão calculados, vamos passar nosso circuito inicial para pu. Para isso, pegamos o valor de cada grandeza que temos em nosso circuito e dividimos por seu respectivo valor base.

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e

A impedância, em pu, para o lado de baixa (primário) será:

Z B ( p u ) = Z B Ω Z b a s e B

Z B ( p u ) = 0,00076 + j 0,040 0,635

Z B p u = 0,0012 + j 0,063   p u

Já a impedância, em pu, para o lado de alta (secundário) será:

Z A ( p u ) = Z A Ω Z b a s e A

Z A p u = 0,085 + j 3,75 63,5

Z A p u = 0,00134 + j 0,059   p u

Passo 4

Então, em pu, temos o circuito equivalente abaixo:

Como todo o circuito está em pu, não precisamos nos preocupar com a reflexão de impedâncias, já que, em pu, a relação de transformação é 1 : 1 . Então, podemos omitir o transformador ideal e considerar o circuito equivalente abaixo para o transformador:

Resposta

Z B p u = 0,0012 + j 0,063   p u

Z A p u = 0,00134 + j 0,059   p u

Exercício Resolvido #3

Um transformador de 50   k V A e 2000 / 200   V possui reatância de dispersão do enrolamento de alta de j 4 Ω , equanto que a correspondente do lado de BT é igual a j 0,04 Ω . Determinar o circuito equivalente do transformador em pu considerando como bases as suas grandezas nominais.

Passo 1

O primeiro passo é escolher o valor base das grandezas. Escolhemos uma potência base para todo o sistema:

P b a s e = 50   k V A

Agora, as tensões base:

V b a s e 1 = 2000   V                                                 V b a s e 2 = 200 V

Passo 2

Para calcular as impedâncias base, fazemos o seguinte:

Z b a s e 1 = V b a s e 1 2 P b a s e

Z b a s e 1 = 2000 2 50 × 10 3

Z b a s e 1 = 80 Ω

Para o secundário:

Z b a s e 2 = V b a s e 2 2 P b a s e

Z b a s e 2 = 200 2 50 × 10 3

Z b a s e 2 = 0,8   Ω

Passo 3

Agora já conseguimos calcular o valor das impedâncias em pu:

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e    

Para o primário:

Z 1 p u = j 4 80

Z 1 p u = j 0,05   p u

Para o secundário:

Z 2 p u = j 0,04 0,8

Z 2 p u = j 0,05   p u

Passo 4

A impedância equivalente do circuito será, então:

Z e q p u = Z 1 p u + Z 2 p u

Z e q p u = j 0,05 + j 0,05

Z e q p u = j 0,1   ( p u )

Resposta

Exercício Resolvido #4

Um transformador monofásico de 15   k V / 175   k V , 125   M V A e 60   H z tem impedâncias de primário e secundário de 0,0095 + j 0,063 por unidade cada. Todas as grandezas são por unidade na base do transformador. Calcule as resistências e as reatâncias do primário e do secundário em ohms.

Passo 1

Como estamos trabalhando com pu, temos que encontrar o valor base das grandezas. Como o enunciado disse que todas as grandezas estão na base do transformador, escolhemos seus valores nominais como base.

Escolhendo a potência do transformador como potência base:

P b a s e = 125   M V A

Agora escolhemos um valor de tensão base para cada trecho do sistema, ou seja, para cada lado do transformador. Escolhendo as tensões nominais do transformador:

V b a s e 1 = 15   k V             e             V b a s e 2 = 175   k V

Passo 2

Com esses valores bases a gente já consegue determinar os valores base para as impedâncias do primário e secundário.

Z b a s e 1 = V b a s e 1 2 P b a s e

Z b a s e 1 = ( 15 × 10 3 ) 2 125 × 10 6