Exercícios Resolvidos de Entalpia, Energia Interna e Calores Específicos de Gases Perfeitos

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Enunciado

Nós precisamos determinar o aumento de temperatura de uma amostra de gás nitrogênio que inicialmente apresentatemperatura igual a 1200   K . Sabendo que o aumento de energia interna específica do nitrogênio é 40   k J / k g , determine a variação de temperatura ocorrida utilizando:

  1. o valor de c v 0 da Tab. A.5
  2. o valor de c v 0 avaliado com a equação presente na Tab. A.6 e na temperatura igual a 1200   K .
  3. Os valores de u apresentados na Tab. A.8

Passo 1

Fala, galera! Vamos fazer esse exercício para entender como se usa o calor específico a volume constante c v 0 no cálculo da variação de temperatura Δ T de um gás?

O exercício quer que a gente calcule a variação de temperatura Δ T do gás N 2 , quando a variação de energia interna específica do gás Δ u vale 40   k J / k g ! Pra achar Δ T de um gás perfeito, assumindo que c v 0 é constante, usamos sempre a equação abaixo.

Δ u = c v 0 Δ T

Δ T = Δ u c v 0

A questão quer que a gente ache o valor de Δ T , usando dois valores de c v 0 diferentes obtidos nas duas tabelas (Tab. A.5 e Tab. A.6) e usando os valores de entalpia h da Tab. A.8.

Primeiro, a questão quer que a gente ache Δ T , considerando o valor de c v 0 constante e igual ao valor presente na tabela A.5. Sabendo disso, já podemos achar Δ T no próximo passo!

Passo 2

O primeiro jeito de encontrar o valor de Δ T é achar o valor de c v 0 na tabela abaixo e substituir esse valor na equação do passo 1.

Através dessa tabela, vemos que o calor específico a volume constante c v 0 de N 2 vale:

c v 0 = 0,7448   k J k g K

Substituindo esse valor na equação de Δ T :

Δ T = Δ u c v 0

Δ T = 40 0,7448

Δ T = 53,7   ° C

Aeeee! A letra (a) da questão já foi resolvida. Agora vamos encontrar Δ T da segunda forma!

Passo 3

Para encontrar Δ T da segunda forma, temos que achar o valor de c v 0 através da equação de c p 0 fornecida pela tabela A.6. O enunciado pede para a gente usar o calor específico na temperatura T 1 = 1200   K na equação de Δ T . Para achar c v 0 a partir do c p 0 da tabela, usamos a equação de gases perfeitos abaixo.

c v 0 = c p 0 - R

onde R é a constante de gás do N 2 e é encontrada na tabela anterior. Ela vale 0,2968 k J k g K .

c p 0 é calculado através da equação abaixo.

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

onde θ é a temperatura que usamos pra calcular c p 0 dividida por 1000 . Logo, θ é:

θ = T 1 1000

θ = 1200 1000 = 1,2

No próximo passo acharemos C 0 , C 1 , C 2 e C 3 através da tabela A.6, para achar Δ T da segunda forma.

Passo 4

Os coeficientes C 0 , C 1 , C 2 e C 3 estão presentes na tabela abaixo.

C 0 = 1,11

C 1 = - 0,48

C 2 = 0,96

C 3 = - 0,42

Substituindo esses valores na equação de c p 0 :

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

c p 0 = 1,11 - 0,48 × 1,2 + 0,96 × 1,2 2 - 0,42 × 1,2 3

c p 0 = 1,19064   k J k g K

Usando a equação que calcula c v 0 a partir de c p 0 :

c v 0 = c p 0 - R

c v 0 = 1,19064 - 0,2968

c v 0 = 0,89384   k J k g K

Para encontrar Δ T , substituímos esse valor de c v 0 na equação do passo 1.

Δ T = Δ u c v 0

Δ T = 40 0,89384

Δ T = 44,8   ° C

Resolvemos a letra (b)! Então vamos tentar resolver a letra (c), calculando Δ T da terceira forma!

Passo 5

Pra calcular a variação de temperatura Δ T da terceira forma, temos que encontrar primeiro o valor da energia interna u 1 que o N 2 tinha, quando sua temperatura valia T 1 = 1200   K e o valor de energia interna u 2 que o N 2 passou a ter depois de aumentar sua energia interna em Δ u = 40   k J / k g .

u 2 = Δ u + u 1

Pra encontrar u 1 , usamos o valor da entalpia h 1 que o N 2 tinha quando sua temperatura T 1 media 1200   K . h 1 está presente na tabela abaixo.

h 1 = 1313,16   k J k g

Pra encontrar u 1 a partir de h 1 , usamos a fórmula que serve apenas para gases perfeitos abaixo.

u 1 = h 1 - R T 1

u 1 = 1313,16 - 0,2968 × 1200

u 1 = 957   k J k g

Substituindo os dados que temos na equação de u 2 :

u 2 = Δ u + u 1

u 2 = 40 + 957

u 2 = 997   k J k g

Agora, temos que encontrar h 2 a partir de u 2 para usar a tabela de gases perfeitos e encontrar a temperatura T 2 que o gás N 2 passa a ter após o aumento na energia interna! Achamos h 2 a partir da equação que serve para gases perfeitos encontrada abaixo.

h 2 = u 2 + R T 2

h 2 = 997 + 0,2968 × T 2

Como vimos na letra (a) e (b) da questão, o aumento de temperatura Δ T deve ser menor que 100   K . Logo, T 2 deve ficar entre 1200   K e 1300   K . Isso quer dizer que podemos achar h 2 interpolando a tabela de entalpia pra gases perfeitos.

h 2 = 1313,16 + 1434,31 - 1313,16 1300 - 1200 × T 2 - 1200

Igualando essa equação de h 2 a outra equação de T 2 , podemos achar o valor de T 2 .

997 + 0,2968 × T 2 = 1313,16 + 1434,31 - 1313,16 1300 - 1200 × T 2 - 1200

Reorganizando essa equação:

T 2 = 99700 - 131316 + 121,15 × 1200 121,15 - 29,68

T 2 = 1243,7   K

Subtraindo T 2 de T 1 , achamos Δ T .

Δ T = T 2 - T 1

Δ T = 1243,7 - 1200

Δ T = 43,7   K

Com a resposta da letra (c) encerramos esse exercício! Show!!!

Resposta

a   Δ T = 53,7   ° C

b   Δ T = 44,8   ° C

c   Δ T = 43,7   K

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