Exercícios Resolvidos de Entalpia, Energia Interna e Calores Específicos de Gases Perfeitos

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Enunciado

Um tanque rígido e isolado termicamente está dividido em duas regiões por meio de uma membrana (veja o esboço da Fig. P5.58). A região A apresenta V A = 0,5   m 3 e contém ar a 250   k P a e 300   K . A região B apresenta V B = 1   m 3 e contém ar a 150   k P a e 1000   K . A membrana é, então, rompida e espera-se que seja estabelecido o equilíbrio. Determine a pressão e a temperatura do ar no estado final deste processo. Use as tabelas abaixo.

Passo 1

E aí, querid@s! Indo direto ao ponto, esse exercício quer saber quanto valem a pressão P 2 e a temperatura T 2 do ar, depois da membrana furar e permitir que o ar das regiões A e B se misturem. A figura abaixo mostra os dados que temos pra calcular T 2 e P 2 .

Como o tanque com ar está isolado termicamente, a troca de calor Q entre o ar e o ambiente vale zero.

Q = 0

Além disso, o trabalho W realizado pela ar no ambiente vale zero, porque a mistura de ar é apenas uma expansão não resistida.

W = 0

Essas duas informações são muito importantes! Usando esses novos dados na equação de conservação de energia, descobrimos quanto vale a energia interna específica u 2 do ar misturado! Saber quanto vale u 2 é fundamental pra achar a temperatura T 2 do ar misturado (que é uma incógnita do problema) através da tabela de gases perfeitos.

Q - W = U 2 - U 1

onde U 2 é a energia interna do ar misturado e U 1 é a soma da energia interna da região A U A com a energia intern da região B U B .

0 - 0 = U 2 - U A + U B

No entanto, a energia interna U é sempre a massa m multiplicada pela energia interna por unidade de massa u .

0 = m 2 u 2 - m A u A + m B u B

u 2 = m A u A + m B u B m 2

Agora que temos uma fórmula pra achar u 2 , podemos começar a encontrar as variáveis u A , u B , m A , m B e m 2 que são necessárias para acharmos u 2 . No próximo passo a gente vai iniciar as contas, encontrando m A , m B e m 2 .

Passo 2

Para achar a massa de ar m A da região A , usamos a equação de gases perfeitos abaixo.

P A V A = m A R T A

m A = P A V A R T A

onde R é a constante de gás do ar que vale 0,2870   k J / k g K .

Substituindo esse valor na fórmula de m A :

m A = 250 × 0,5 0,2870 × 300

m A = 1,4518   k g

Também temos que usar a equação de gases perfeitos pra descobrir a massa m B da região B .

P B V B = m B R T B

m B = P B V B R T B

m B = 150 × 1 0,2870 × 1000

m B = 0,5226   k g

A massa m 2 de ar misturado é a soma das massas m A e m B que o ar tinha antes de se misturar.

m 2 = m A + m B

m 2 = 1,4518 + 0,5226

m 2 = 1,9744   k g

Agora só falta encontrar u A e u B através das tabelas de gás perfetio na próxima etapa pra poder achar u 2 .

Passo 3

Para achar u A e u B , vamos precisar usar a tabela de gás perfeito do ar abaixo.

u A = 214,36   k J k g

u B = 759,19   k J k g

Substituindo esss dois valores na fórmula de u 2 :

u 2 = m A u A + m B u B m 2

u 2 = 1,4518 × 214,36 + 0,5226 × 759,19 1,9744

u 2 = 358,57   k J k g

Como vocês podem ver pela tabela de gás perfeito do ar abaixo, a energia interna u 2 é correspondente a uma temperatura que está entre 480   K e 500   K . Logo, faremos uma interpolação pra achar a temperatura T 2 através dessa tabela.

T 2 = 480 + 500 - 480 359,84 - 345,04 × 358,57 - 345,04

T 2 = 498,3   K

Que beleza! Encontramos uma das informações que o enunciado pedir! Agora só falta encontrar P 2 no próximo passo!

Passo 4

Para encontrar a pressão P 2 do ar misturado, usaremos a equação de gás perfeito para o ar misturado.

P 2 V 2 = m 2 R T 2

P 2 = m 2 R T 2 V 2

P 2 = 1,9744 × 0,2870 × 498,3 1,5

P 2 = 188,2   k P a

Pronto, achamos a pressão e fechamos o exercício! Uhuuuul!

Resposta

T 2 = 498,3   K

P 2 = 188,2   k P a

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