Exercícios Resolvidos de Erro em regime permanente e sensibilidade à perturbação

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Enunciado

Determine o erro em regime permanente para entradas de 15 u ( t ) , 15 t u ( t ) e 15 t 2 u t para o sistema mostrado abaixo. Sabendo que:

G s = 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) s s + 25 ( s + 35 )

E que u ( t ) é o degrau unitário.

Passo 1

Primeiramente vamos relembrar como obter a expressão para o erro E ( s ) .

Pelo diagrama temos que:

G s = C s E s

C s = G s E ( s )

E:

E s = R s - C ( s )

Substituindo a primeira na segunda:

E s = R s - G s E ( s )

E s + G s E s = R ( s )

Portanto:

E s = R s 1 + G s

Passo 2

Fazendo primeiramente para a entrada 15 u ( t ) .

R s = 15 s

Substituindo o valor de G ( s ) que foi dado no enunciado e a entrada degrau, encontraremos a expressão do erro do sistema:

E s = 15 s 1 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) s s + 25 ( s + 35 )

Rearranjando:

E s = 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

Aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 15 s s + 25 s + 35 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) = 0

Passo 3

Para a entrada 15 t u ( t ) :

R s = 15 s 2

Substituindo na expressão do erro:

E s = 15 s 2 1 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) s s + 25 ( s + 35 )

Rearranjando:

E s = 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s 2 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

E aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s 2 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 15 s + 25 s + 35 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) = 2,1875

Passo 4

Por fim, para a entrada 15 t 2 u ( t ) :

R s = 15 s 3

Então, a expressão de E ( s ) fica assim:

E s = 15 s 3 1 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) s s + 25 ( s + 35 )

Rearranjando:

E s = 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s 3 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

E aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s 3 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s 2 s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 15 s + 25 s + 35 s 2 s + 25 s + 35 + 10 s ( s + 20 ) ( s + 30 ) = ∞

Resposta

Para:

R s = 15 s → e ∞ = 0

R s = 15 s 2 → e ∞ = 2,1875

R s = 15 s 3 → e ∞ = ∞