4- (2,00) Sejam \mathbf{u}=(a, b) um vetor unitário e f uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínua.
(a) Mostre que a segunda derivada direcional de f, na direção de \mathbf{u} é dada por:
D_{\mathbf{u}}^{2} f=D_{\mathbf{u}}\left[D_{\mathbf{u}} f\right]=f_{x x} a^{2}+2 f_{x y} a b+f_{y y} b^{2} .
(b) Determine a segunda derivada direcional de f(x, y)=x e^{2 y}, na direção de \mathbf{v}=(4,6).

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) Pedem que você mostre uma fórmula para a segunda derivada direcional de f na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(a,b).
Informações dadas: \mathbf{u}=(a,b) é um vetor unitário (ou seja, \sqrt{a^{2}+b^{2}}=1) e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (isso garante que f_{xy}=f_{yx}). A tarefa é mostrar que
D_{\mathbf{u}}^{2} f=D_{\mathbf{u}}\left[D_{\mathbf{u}} f\right]=f_{x x} a^{2}+2 f_{x y} a b+f_{y y} b^{2}.
(b) Com a fórmula pronta, calcular a segunda derivada direcional para f(x,y)=x e^{2y} na direção do vetor \mathbf{v}=(4,6). Note que a derivada direcional usual usa um vetor unitário na direção dada, então será preciso normalizar \mathbf{v}.

Passo 2

Primeiro, lembro a definição prática da derivada direcional de primeira ordem (aquela que usamos como “passo 0” antes da segunda derivada). Se \mathbf{u}=(a,b) é unitário, a derivada direcional de f na direção \mathbf{u} é o produto escalar do gradiente de f com \mathbf{u}. Escrevendo isso:
D_{\mathbf{u}} f=\nabla f\cdot \mathbf{u}=f_x a+f_y b.
Explicando: \nabla f=(f_x,f_y) é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f. O produto escalar com \mathbf{u} pega a taxa de variação de f na direção de \mathbf{u}.

Passo 3

Agora vamos obter a segunda derivada direcional, que é a derivada direcional (na mesma direção \mathbf{u}) da função escalar g(x,y)=D_{\mathbf{u}} f(x,y). Ou seja,
D_{\mathbf{u}}^{2} f = D_{\mathbf{u}}(D_{\mathbf{u}} f).
Usamos a expressão de D_{\mathbf{u}} f e aplicamos a definição de derivada direcional novamente. Como D_{\mathbf{u}} f=f_x a+f_y b, temos, pela definição,
D_{\mathbf{u}}^{2} f = a\frac{\partial}{\partial x}\big(f_x a+f_y b\big)+b\frac{\partial}{\partial y}\big(f_x a+f_y b\big).
Aqui aplicamos a regra: a derivada direcional é a\partial_x + b\partial_y aplicada à função f_x a+f_y b.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais dentro da expressão. Como a e b são constantes (componentes do vetor), elas saem das diferenciações:
a\frac{\partial}{\partial x}\big(f_x a+f_y b\big) = a\big(a f_{xx} + b f_{xy}\big)
e
b\frac{\partial}{\partial y}\big(f_x a+f_y b\big) = b\big(a f_{yx} + b f_{yy}\big).
Somando as duas parcelas obtemos
D_{\mathbf{u}}^{2} f = a\big(a f_{xx} + b f_{xy}\big) + b\big(a f_{yx} + b f_{yy}\big).

Passo 5

Usando a hipótese de continuidade das segundas derivadas parciais (que garante f_{xy}=f_{yx}), agrupamos termos iguais:
D_{\mathbf{u}}^{2} f = f_{xx} a^{2} + (f_{xy}+f_{yx}) a b + f_{yy} b^{2} = f_{xx} a^{2} + 2 f_{xy} a b + f_{yy} b^{2}.
Pronto: mostramos a fórmula pedida na parte (a).

Passo 6

Agora vamos à parte (b). Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x e^{2y}. Vou fazer passo a passo:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{2y}\big)=e^{2y},
porque e^{2y} é tratado como constante em relação a x.
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{2y}\big)=x\cdot 2 e^{2y}=2x e^{2y}.
Segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(e^{2y})=0,
pois e^{2y} não depende de x.
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(e^{2y})=2 e^{2y},
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x e^{2y})=2x\cdot 2 e^{2y}=4x e^{2y}.

Passo 7

Temos agora a fórmula geral da parte (a):
D_{\mathbf{u}}^{2} f = f_{xx} a^{2} + 2 f_{xy} a b + f_{yy} b^{2}.
Substituindo as segundas derivadas que acabamos de obter:
D_{\mathbf{u}}^{2} f = 0\cdot a^{2} + 2\cdot(2 e^{2y})\cdot a b + (4x e^{2y})\cdot b^{2}.
Simplificando:
D_{\mathbf{u}}^{2} f = 4 e^{2y} a b + 4 x e^{2y} b^{2} =4 e^{2y}\big(a b + x b^{2}\big).

Passo 8

Como a direção pedida na parte (b) é \mathbf{v}=(4,6), precisamos primeiro normalizá-la para obter o vetor unitário \mathbf{u} na mesma direção. A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.
Logo o vetor unitário na direção de \mathbf{v} é
\mathbf{u}=\frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}=\left(\frac{4}{2\sqrt{13}},\frac{6}{2\sqrt{13}}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}}\right).
Portanto a=\dfrac{2}{\sqrt{13}} e b=\dfrac{3}{\sqrt{13}}.

Passo 9

Substituímos a e b na expressão obtida no Passo 7:
D_{\mathbf{u}}^{2} f = 4 e^{2y}\Big(\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}} + x\cdot\big(\frac{3}{\sqrt{13}}\big)^{2}\Big).
Calculemos as frações:
\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{6}{13},\qquad \big(\frac{3}{\sqrt{13}}\big)^{2}=\frac{9}{13}.
Assim
D_{\mathbf{u}}^{2} f = 4 e^{2y}\Big(\frac{6}{13} + x\frac{9}{13}\Big) = \frac{4 e^{2y}}{13}(6+9x).

Passo 10

Podemos simplificar a constante multiplicativa:
\frac{4}{13}(6+9x)=\frac{4}{13}\cdot 3(2+3x)=\frac{12}{13}(2+3x).
Portanto a expressão final fica
D_{\mathbf{u}}^{2} f(x,y)=\frac{12}{13} e^{2y}(2+3x).

Resposta

D_{\mathbf{u}}^{2} f=f_{x x} a^{2}+2 f_{x y} a b+f_{y y} b^{2}.
D_{\mathbf{u}}^{2} f(x,y)\\ \text{(na direção de }\mathbf{v}=(4,6)\text{)}=\frac{12}{13} e^{2y}(2+3x).çã

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