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Sejam
um vetor unitário e
uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínua.
(a) Mostre que a segunda derivada direcional de
, na direção de
é dada por:
(b) Determine a segunda derivada direcional de
, na direção de
.
(a) Mostre que a segunda derivada direcional de
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) Pedem que você mostre uma fórmula para a segunda derivada direcional de na direção do vetor unitário
.
Informações dadas: é um vetor unitário (ou seja,
) e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (isso garante que
). A tarefa é mostrar que
(a) Pedem que você mostre uma fórmula para a segunda derivada direcional de
Informações dadas:
(b) Com a fórmula pronta, calcular a segunda derivada direcional para
na direção do vetor
. Note que a derivada direcional usual usa um vetor unitário na direção dada, então será preciso normalizar
.
Passo 2
Primeiro, lembro a definição prática da derivada direcional de primeira ordem (aquela que usamos como “passo 0” antes da segunda derivada). Se
é unitário, a derivada direcional de
na direção
é o produto escalar do gradiente de
com
. Escrevendo isso:
Explicando:
é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
. O produto escalar com
pega a taxa de variação de
na direção de
.
Passo 3
Agora vamos obter a segunda derivada direcional, que é a derivada direcional (na mesma direção
) da função escalar
. Ou seja,
Usamos a expressão de
e aplicamos a definição de derivada direcional novamente. Como
, temos, pela definição,
Aqui aplicamos a regra: a derivada direcional é
aplicada à função
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais dentro da expressão. Como
e
são constantes (componentes do vetor), elas saem das diferenciações:
e
Somando as duas parcelas obtemos
Passo 5
Usando a hipótese de continuidade das segundas derivadas parciais (que garante
), agrupamos termos iguais:
Pronto: mostramos a fórmula pedida na parte (a).
Passo 6
Agora vamos à parte (b). Primeiro calculamos as derivadas parciais de
. Vou fazer passo a passo:
porque
é tratado como constante em relação a
.
Segundas derivadas:
pois
não depende de
.
Passo 7
Temos agora a fórmula geral da parte (a):
Substituindo as segundas derivadas que acabamos de obter:
Simplificando:
Passo 8
Como a direção pedida na parte (b) é
, precisamos primeiro normalizá-la para obter o vetor unitário
na mesma direção. A norma de
é
Logo o vetor unitário na direção de
é
Portanto
e
.
Passo 9
Substituímos
e
na expressão obtida no Passo 7:
Calculemos as frações:
Assim
Passo 10
Podemos simplificar a constante multiplicativa:
Portanto a expressão final fica