2,00 pontos
Calcule \int_{\eta} \vec{G} \cdot \overrightarrow{d l}, onde \eta é a curva x^{2}+y^{2}=1, x>0, de (\sqrt{2} / 2,-\sqrt{2} / 2) até (\sqrt{2} / 2, \sqrt{2} / 2), e
\vec{G}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha \displaystyle \int_{\eta} \vec{G}\cdot\overrightarrow{d l}, onde estão dadas as seguintes informações:
\displaystyle \eta é a curva definida por \displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\; x>0, ou seja, o arco da circunferência unitária no semiplano x>0, que vai do ponto \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) até \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
O campo vetorial é
\vec{G}(x,y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2x\right).
A pergunta é: calcular
\int_{\eta}\vec{G}\cdot\overrightarrow{d l}.

Passo 2

Escolha do método e parametrização da curva (explicação didática).
A curva é um arco da circunferência de raio 1\). A maneira mais direta é parametrizar a curva usando coordenadas polares padrão para a circunferência unitária: \[x=\cos t,\qquad y=\sin t.
Precisamos determinar os limites de t que correspondem aos pontos inicial e final. Para \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) temos t=-\frac{\pi}{4}. Para \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) temos t=\frac{\pi}{4}. Como queremos o arco com x>0 indo do ponto de y negativo ao ponto de y positivo, tomamos t indo de -\frac{\pi}{4} a \frac{\pi}{4} com t crescentemente. Portanto a parametrização da curva é
\begin{cases} x(t)=\cos t,\\[4pt] y(t)=\sin t, \end{cases}\qquad t\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right].
Agora vamos precisar de \overrightarrow{d l}=(dx,dy)\]. Derivando em relação a \(t:
dx=-\sin t\,dt,\qquad dy=\cos t\,dt,
logo
\overrightarrow{d l}=(-\sin t,\;\cos t)\,dt.
Explicação sobre por que essa escolha: parametrizar por t é natural para curvas circulares; com isso transformamos a integral de linha em uma integral em t, que fica fácil de calcular. Além disso, o campo tem termos com x^{2}+y^{2}, que na circunferência valem 1, o que simplifica bastante.]

Passo 3

Decomposição do campo \vec{G} e interpretação em coordenadas polares (conceito importante).
Observamos que podemos escrever \vec{G} como soma de duas parcelas:
\vec{G}(x,y)=\underbrace{\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)}_{:=\vec{G}_1(x,y)}\;+\;\underbrace{(0,\;2x)}_{:=\vec{G}_2(x,y)}.
Explico cada parcela:
  • A parcela \vec{G}_1 é um campo que, em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, fica
\vec{G}_1=\left(\frac{-r\sin\theta}{r^{2}},\;\frac{r\cos\theta}{r^{2}}\right)=\left(\frac{-\sin\theta}{r},\;\frac{\cos\theta}{r}\right).
Repare que o vetor unitário tangencial (no sentido positivo de \theta) é \displaystyle \mathbf{e}_{\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta). Assim
\vec{G}_1=\frac{1}{r}\,\mathbf{e}_{\theta}.
No caso da nossa curva temos r=1, então em pontos da curva \vec{G}_1=\mathbf{e}_{\theta} (ou seja, é exatamente o vetor tangente unitário à circunferência).
  • A parcela \vec{G}_2=(0,2x) é um campo vertical (apontando na direção y) cuja componente vertical depende de x.
Como a integral é linear, faremos
\int_{\eta}\vec{G}\cdot d\vec{l}=\int_{\eta}\vec{G}_1\cdot d\vec{l}+\int_{\eta}\vec{G}_2\cdot d\vec{l},
e vamos calcular cada termo usando a parametrização.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \int_{\eta}\vec{G}_1\cdot d\vec{l} (detalhado).
Na parametrização, \mathbf{e}_{\theta}=(-\sin t,\cos t) e \overrightarrow{d l}=(-\sin t,\cos t)\,dt. Como argumentado antes, em r=1 temos \vec{G}_1=\mathbf{e}_{\theta}. Então o produto escalar é
\vec{G}_1\cdot\overrightarrow{d l}=\mathbf{e}_{\theta}\cdot\mathbf{e}_{\theta}\,dt=1\cdot dt.
Portanto
\int_{\eta}\vec{G}_1\cdot d\vec{l}=\int_{t=-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 1\,dt.
Calculando:
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 1\,dt = \left[t\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \int_{\eta}\vec{G}_2\cdot d\vec{l} (passo a passo).
Usamos \vec{G}_2=(0,2x). Na parametrização x=\cos t e \overrightarrow{d l}=(-\sin t,\cos t)\,dt. O produto escalar é
\vec{G}_2\cdot\overrightarrow{d l}= (0,2x)\cdot(-\sin t,\cos t)\,dt = 0\cdot(-\sin t) + 2x\cdot\cos t\,dt.
Substituindo x=\cos t:
\vec{G}_2\cdot\overrightarrow{d l}=2\cos t\cdot\cos t\,dt = 2\cos^{2}t\,dt.
Agora integramos entre os mesmos limites:
\int_{\eta}\vec{G}_2\cdot d\vec{l}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2\cos^{2}t\,dt.
Para integrar usamos a identidade de redução:
\cos^{2}t=\frac{1+\cos(2t)}{2}.
Logo
2\cos^{2}t = 2\cdot\frac{1+\cos(2t)}{2}=1+\cos(2t).
Então
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2\cos^{2}t\,dt = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \bigl(1+\cos(2t)\bigr)\,dt.
Calcule termo a termo:
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 1\,dt = \frac{\pi}{2},
e
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2t)\,dt = \left[\frac{1}{2}\sin(2t)\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=\frac{1}{2}(1-(-1))=\frac{1}{2}\cdot 2=1.
Somando:
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \bigl(1+\cos(2t)\bigr)\,dt = \frac{\pi}{2}+1.

Passo 6

Somando os dois resultados e conclusão (explicação final curta e incentivadora).
Reunindo os dois termos:
\int_{\eta}\vec{G}\cdot d\vec{l} = \int_{\eta}\vec{G}_1\cdot d\vec{l} + \int_{\eta}\vec{G}_2\cdot d\vec{l} = \frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2}+1\right)=\pi+1.
Você já chegou ao resultado final — mandou bem seguindo os passos! Se quiser, posso mostrar a mesma integral feita de outra forma (por exemplo, verificando se algum potencial existe, ou usando outra parametrização), mas para a prova esse método direto com parametrização e decomposição é o mais rápido.

Resposta

\pi+1

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