2,00 pontos
Calcule \int_{\eta} \vec{G} \cdot \overrightarrow{d l}, onde \eta é a curva x^{2}+y^{2}=1, x>0, de (\sqrt{2} / 2,-\sqrt{2} / 2) até (\sqrt{2} / 2, \sqrt{2} / 2), e
O enunciado pede o valor da integral de linha \displaystyle \int_{\eta} \vec{G}\cdot\overrightarrow{d l}, onde estão dadas as seguintes informações:
\displaystyle \eta é a curva definida por \displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\; x>0, ou seja, o arco da circunferência unitária no semiplano x>0, que vai do ponto \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) até \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Escolha do método e parametrização da curva (explicação didática).
A curva é um arco da circunferência de raio 1\). A maneira mais direta é parametrizar a curva usando coordenadas polares padrão para a circunferência unitária:
\[x=\cos t,\qquad y=\sin t.
Precisamos determinar os limites de t que correspondem aos pontos inicial e final. Para \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) temos t=-\frac{\pi}{4}. Para \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) temos t=\frac{\pi}{4}. Como queremos o arco com x>0 indo do ponto de y negativo ao ponto de y positivo, tomamos t indo de -\frac{\pi}{4} a \frac{\pi}{4} com t crescentemente. Portanto a parametrização da curva é
Agora vamos precisar de \overrightarrow{d l}=(dx,dy)\]. Derivando em relação a \(t:
dx=-\sin t\,dt,\qquad dy=\cos t\,dt,
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\overrightarrow{d l}=(-\sin t,\;\cos t)\,dt.
Explicação sobre por que essa escolha: parametrizar por t é natural para curvas circulares; com isso transformamos a integral de linha em uma integral em t, que fica fácil de calcular. Além disso, o campo tem termos com x^{2}+y^{2}, que na circunferência valem 1, o que simplifica bastante.]
Passo 3
Decomposição do campo \vec{G} e interpretação em coordenadas polares (conceito importante).
Observamos que podemos escrever \vec{G} como soma de duas parcelas:
Repare que o vetor unitário tangencial (no sentido positivo de \theta) é \displaystyle \mathbf{e}_{\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta). Assim
\vec{G}_1=\frac{1}{r}\,\mathbf{e}_{\theta}.
No caso da nossa curva temos r=1, então em pontos da curva \vec{G}_1=\mathbf{e}_{\theta} (ou seja, é exatamente o vetor tangente unitário à circunferência).
A parcela \vec{G}_2=(0,2x) é um campo vertical (apontando na direção y) cuja componente vertical depende de x.
e vamos calcular cada termo usando a parametrização.
Passo 4
Cálculo de \displaystyle \int_{\eta}\vec{G}_1\cdot d\vec{l} (detalhado).
Na parametrização, \mathbf{e}_{\theta}=(-\sin t,\cos t) e \overrightarrow{d l}=(-\sin t,\cos t)\,dt. Como argumentado antes, em r=1 temos \vec{G}_1=\mathbf{e}_{\theta}. Então o produto escalar é
Você já chegou ao resultado final — mandou bem seguindo os passos! Se quiser, posso mostrar a mesma integral feita de outra forma (por exemplo, verificando se algum potencial existe, ou usando outra parametrização), mas para a prova esse método direto com parametrização e decomposição é o mais rápido.