(2,0) Um estudante do curso de Engenharia Civil da UFAL- Campus Sertão passou numa seleção de estágio e receberá uma remuneração de \mathrm{R} \ 1.500,00 mensais, durante a vigência de seu contrato, de 24 meses. Durante todo esse período, o veterano restringe seus gastos mensais emêí\mathrm{R} $1.000,00 , guardando em uma conta o restante do valor, que remunera a taxa de8 %$ ao ano. Qual o valor acumulado pelo estudante ao término do seu estágio?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Remuneração mensal do estudante: \mathrm{R}\$ 1.500,00.
  • Gastos mensais (o que ele consome): \mathrm{R}\$ 1.000,00.
  • Logo, poupanca mensal (o que ele guarda): \mathrm{R}\$ 500,00.
  • Duração do contrato: \,24 meses.
  • A conta rende \,8\% ao ano.
  • Pergunta: Qual o valor acumulado pelo estudante ao término dos \,24 meses?
Listei todas as informações importantes e o que pedem; agora vou explicar e calcular passo a passo como chegar no valor acumulado.

Passo 2

Primeira decisão importante: a taxa de juros foi dada em base anual ( \,8\% ao ano) e os depósitos são mensais ( \mathrm{R}\$ 500,00 todo mês). Para usar uma fórmula padrão de acumulação de depósitos mensais, precisamos transformar a taxa anual numa taxa por mês. Fazemos isso dividindo a taxa anual nominal por 12 (assumindo capitalização mensal, que é o caso mais comum nesses exercícios).
Defino a taxa periódica mensal \,i assim:
i=\frac{0,08}{12}=0,006\overline{6}\quad\text{(ou aproximadamente }0,0066667\text{)}.
Isto significa que a cada mês o dinheiro rende cerca de 0{,}666\%.

Passo 3

Agora explico o que usamos para somar várias aplicações mensais que rendem juros: o valor futuro (acumulado) de uma série de depósitos iguais feitos periodicamente (uma anuidade). Suponha que a cada mês você aplique um valor fixo \,P (aqui \mathrm{R}\$ 500,00) no final de cada mês, durante \,n meses, com taxa periódica por mês \,i. O valor acumulado ao final do último mês é dado pela fórmula da soma geométrica (valor futuro de uma anuidade ordinária):
S = P\frac{(1+i)^n-1}{i}.
Vou justificar rápido por que essa fórmula funciona (passo didático, sem pular etapas): cada depósito cresce com juros durante um número diferente de meses. O primeiro depósito (feito ao final do mês 1) terá (n-1) meses para render até o final; o depósito do mês 2 terá (n-2) meses, e assim por diante, até o depósito do mês n que não rende (feito no fim do último mês). Somando todos os valores futuros obtém-se uma soma geométrica cuja soma leva à fórmula acima. A derivação forma a soma
S = P\big((1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+1\big),
que é uma progressão geométrica com razão (1+i); somando-a e simplificando chega-se à fórmula indicada.

Passo 4

Aplicamos a fórmula com os números do problema:
  • Pagamento periódico: P=\mathrm{R}\$ 500,00.
  • Número de períodos: n=24.
  • Taxa mensal: i=0,006\overline{6}.
Substituindo na fórmula:
S = 500\cdot\frac{(1+0,006\overline{6})^{24}-1}{0,006\overline{6}}.

Passo 5

Agora calculamos passo a passo o fator (1+i)^{24}. Primeiro calculemos 1+i:
1+i = 1 + 0,006\overline{6} = 1,006\overline{6}.
Elevando à \,24:
(1+i)^{24} = (1,006\overline{6})^{24}\approx 1,172886\\ (\text{cálculo numérico aproximado}).áé
(Usei aqui uma aproximação numérica com precisão suficiente para a conta manual da prova; se for permitida calculadora, você pode calcular esse expoente diretamente.)

Passo 6

Continuando a substituição e cálculo numérico:
(1+i)^{24}-1 \approx 1,172886 - 1 = 0,172886.
Dividindo por i:
\frac{(1+i)^{24}-1}{i} \approx \frac{0,172886}{0,006\overline{6}} \approx 25,9329.
Multiplicando por P=500:
S \approx 500 \times 25,9329 \approx 12.966,45.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final: o valor acumulado ao final dos \,24 meses, considerando depósitos mensais de \mathrm{R}\$500,00 e taxa nominal de \,8\% ao ano com capitalização mensal, fica aproximadamente \mathrm{R}\$ 12.966,45. Boa notícia: isso significa que, além dos \mathrm{R}\$12.000,00 que ele poupou (24 vezes \mathrm{R}\$ 500,00), os juros compuseram cerca de \mathrm{R}\$ 966,45.

Resposta

\mathrm{R}\$ 12.966,45

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