Um estudante do curso de Engenharia Civil da UFAL- Campus Sertão passou numa seleção de estágio e receberá uma remuneração de
1.500,00
\mathrm{R} $1.000,00
8 %$ ao ano. Qual o valor acumulado pelo estudante ao término do seu estágio?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Remuneração mensal do estudante:
. - Gastos mensais (o que ele consome):
. - Logo, poupanca mensal (o que ele guarda):
. - Duração do contrato:
meses. - A conta rende
ao ano. - Pergunta: Qual o valor acumulado pelo estudante ao término dos
meses?
Listei todas as informações importantes e o que pedem; agora vou explicar e calcular passo a passo como chegar no valor acumulado.
Passo 2
Primeira decisão importante: a taxa de juros foi dada em base anual (
ao ano) e os depósitos são mensais (
todo mês). Para usar uma fórmula padrão de acumulação de depósitos mensais, precisamos transformar a taxa anual numa taxa por mês. Fazemos isso dividindo a taxa anual nominal por
(assumindo capitalização mensal, que é o caso mais comum nesses exercícios).
Defino a taxa periódica mensal
assim:
Isto significa que a cada mês o dinheiro rende cerca de
.
Passo 3
Agora explico o que usamos para somar várias aplicações mensais que rendem juros: o valor futuro (acumulado) de uma série de depósitos iguais feitos periodicamente (uma anuidade). Suponha que a cada mês você aplique um valor fixo
(aqui
) no final de cada mês, durante
meses, com taxa periódica por mês
. O valor acumulado ao final do último mês é dado pela fórmula da soma geométrica (valor futuro de uma anuidade ordinária):
Vou justificar rápido por que essa fórmula funciona (passo didático, sem pular etapas): cada depósito cresce com juros durante um número diferente de meses. O primeiro depósito (feito ao final do mês 1) terá
meses para render até o final; o depósito do mês 2 terá
meses, e assim por diante, até o depósito do mês
que não rende (feito no fim do último mês). Somando todos os valores futuros obtém-se uma soma geométrica cuja soma leva à fórmula acima. A derivação forma a soma
que é uma progressão geométrica com razão
; somando-a e simplificando chega-se à fórmula indicada.
Passo 4
Aplicamos a fórmula com os números do problema:
- Pagamento periódico:
. - Número de períodos:
. - Taxa mensal:
.
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora calculamos passo a passo o fator
. Primeiro calculemos
:
Elevando à
:
(Usei aqui uma aproximação numérica com precisão suficiente para a conta manual da prova; se for permitida calculadora, você pode calcular esse expoente diretamente.)
Passo 6
Continuando a substituição e cálculo numérico:
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Interpretação e arredondamento final: o valor acumulado ao final dos
meses, considerando depósitos mensais de
e taxa nominal de
ao ano com capitalização mensal, fica aproximadamente
. Boa notícia: isso significa que, além dos
que ele poupou (24 vezes
), os juros compuseram cerca de
.