( 1,0 ) Um empréstimo foi contratado com uma taxa nominal de juros compostos de 6 \% ao trimestre, com capitalização mensal. Determine a taxa efetiva trimestral equivalente desse empréstimo, após determinar a taxa efetiva mensal.

Passo 1

O enunciado dá uma taxa nominal de juros compostos de 6\% ao trimestre, com capitalização mensal, e pede duas coisas:
  1. Determinar a taxa efetiva mensal equivalente dessa taxa nominal.
  2. Depois determinar a taxa efetiva trimestral equivalente, já usando a taxa efetiva mensal obtida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Taxa nominal por trimestre: \;6\% ao trimestre (ou seja, a taxa nominal para o período de 3 meses é \;0,06).
  • Capitalização: mensal, isto é, dentro de cada trimestre há 3 capitais mensais.
  • Objetivo intermediário: achar a taxa efetiva mensal.
  • Objetivo final: achar a taxa efetiva correspondente a um trimestre (3 meses) com base na taxa mensal.

Passo 2

Vamos entender o que significa “taxa nominal de 6\% ao trimestre com capitalização mensal”. Quando uma taxa nominal é dada por período maior (aqui: trimestre) mas a capitalização é feita em subperíodos (aqui: meses), a taxa nominal é dividida igualmente entre os subperíodos. Em termos práticos, se a taxa nominal por trimestre é \;i_{\text{nom,tri}}=0,06 e há m=3 meses por trimestre, então a taxa periódica por mês (a taxa que se aplica efetivamente a cada mês, ainda que inicialmente seja chamada de “taxa nominal mensal”) é
i_{\text{mensal (periódica)}}=\frac{i_{\text{nom,tri}}}{m}.ó
Aqui cada símbolo significa:
  • i_{\text{nom,tri}} = taxa nominal por trimestre (valor numérico 0,06 no problema),
  • m = número de capitais (subperíodos) dentro do trimestre ( m=3),
  • i_{\text{mensal (periódica)}}ó = taxa aplicada a cada mês (antes de converter em efetiva, mas neste contexto essa divisão já nos fornece a taxa efetiva mensal, pois a capitalização é mensal).

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior:
i_{\text{mensal}}=\frac{0,06}{3}.
Faço a divisão passo a passo:
\frac{0,06}{3}=0,02.
Em termos percentuais isso é
i_{\text{mensal}}=0,02=2\%.
Explicação didática: dividir a taxa nominal trimestral por 3 significa repartir uniformemente os 6\% pelos três meses do trimestre; cada mês “recebe” 2\%. Quando a capitalização é mensal, essa taxa mensal de 2\% é a taxa efetiva por mês.

Passo 4

Agora precisamos achar a taxa efetiva trimestral equivalente. Conceito importante: se i_{\text{mensal}} é a taxa efetiva por mês, a taxa efetiva por n meses (aqui n=3) é obtida compondo mensalmente essas taxas, isto é:
1+i_{\text{trimestral}} = (1+i_{\text{mensal}})^{3}.
Aqui:
  • i_{\text{trimestral}} é a taxa efetiva de 3 meses que queremos,
  • i_{\text{mensal}} é a taxa efetiva mensal já encontrada ( 0,02).

Passo 5

Substituo i_{\text{mensal}}=0,02 na fórmula de composição:
1+i_{\text{trimestral}}=(1+0,02)^{3}.
Faço a expansão do cubo para que você veja passo a passo sem usar calculadora:
(1+0,02)^{3}=1 + 3\cdot 0,02 + 3\cdot(0,02)^{2} + (0,02)^{3}.
Calculo cada termo:
3\cdot 0,02 = 0,06,
(0,02)^{2} = 0,0004 \quad\text{e}\quad 3\cdot 0,0004 = 0,0012,
(0,02)^{3} = 0,000008.
Somando todos:
(1+0,02)^{3}=1 + 0,06 + 0,0012 + 0,000008 = 1,061208.

Passo 6

Agora encontramos i_{\text{trimestral}} subtraindo 1:
i_{\text{trimestral}} = 1,061208 - 1 = 0,061208.
Em porcentagem:
i_{\text{trimestral}} = 0,061208 \approx 6,1208\%.
Interpretação prática: uma taxa nominal de 6\% ao trimestre com capitalização mensal é equivalente a uma taxa efetiva mensal de 2\%; acumulando três meses a 2\% ao mês obtemos uma taxa efetiva de aproximadamente 6,1208\% por trimestre.

Resposta

i_{\text{mensal}}=0,02 (ou 2\% ao mês)
i_{\text{trimestral}}=0,061208 (ou aproximadamente 6,1208\% ao trimestre)

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