( 1,0 ) Um empréstimo foi contratado com uma taxa nominal de juros compostos de
ao trimestre, com capitalização mensal. Determine a taxa efetiva trimestral equivalente desse empréstimo, após determinar a taxa efetiva mensal.
Passo 1
O enunciado dá uma taxa nominal de juros compostos de
ao trimestre, com capitalização mensal, e pede duas coisas:
- Determinar a taxa efetiva mensal equivalente dessa taxa nominal.
- Depois determinar a taxa efetiva trimestral equivalente, já usando a taxa efetiva mensal obtida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Taxa nominal por trimestre:
ao trimestre (ou seja, a taxa nominal para o período de 3 meses é ). - Capitalização: mensal, isto é, dentro de cada trimestre há
capitais mensais. - Objetivo intermediário: achar a taxa efetiva mensal.
- Objetivo final: achar a taxa efetiva correspondente a um trimestre (3 meses) com base na taxa mensal.
Passo 2
Vamos entender o que significa “taxa nominal de
ao trimestre com capitalização mensal”. Quando uma taxa nominal é dada por período maior (aqui: trimestre) mas a capitalização é feita em subperíodos (aqui: meses), a taxa nominal é dividida igualmente entre os subperíodos. Em termos práticos, se a taxa nominal por trimestre é
e há
meses por trimestre, então a taxa periódica por mês (a taxa que se aplica efetivamente a cada mês, ainda que inicialmente seja chamada de “taxa nominal mensal”) é
Aqui cada símbolo significa:
-
= taxa nominal por trimestre (valor numérico no problema), -
= número de capitais (subperíodos) dentro do trimestre ( ), -
= taxa aplicada a cada mês (antes de converter em efetiva, mas neste contexto essa divisão já nos fornece a taxa efetiva mensal, pois a capitalização é mensal).
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Faço a divisão passo a passo:
Em termos percentuais isso é
Explicação didática: dividir a taxa nominal trimestral por 3 significa repartir uniformemente os
pelos três meses do trimestre; cada mês “recebe”
. Quando a capitalização é mensal, essa taxa mensal de
é a taxa efetiva por mês.
Passo 4
Agora precisamos achar a taxa efetiva trimestral equivalente. Conceito importante: se
é a taxa efetiva por mês, a taxa efetiva por
meses (aqui
) é obtida compondo mensalmente essas taxas, isto é:
Aqui:
-
é a taxa efetiva de 3 meses que queremos, -
é a taxa efetiva mensal já encontrada ( ).
Passo 5
Substituo
na fórmula de composição:
Faço a expansão do cubo para que você veja passo a passo sem usar calculadora:
Calculo cada termo:
Somando todos:
Passo 6
Agora encontramos
subtraindo 1:
Em porcentagem:
Interpretação prática: uma taxa nominal de
ao trimestre com capitalização mensal é equivalente a uma taxa efetiva mensal de
; acumulando três meses a
ao mês obtemos uma taxa efetiva de aproximadamente
por trimestre.