( 2,00 pontos) Em uma célula cúbica primitiva, encontre os planos (100) e (111) e justifique qual desses dois apresentará a maior intensidade do feixe de raios
difratado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado pede: em uma célula cúbica primitiva, identificar os planos
e e justificar qual desses dois planos apresentará maior intensidade do feixe de raios difratado. - Informações implícitas que vamos usar:
- A rede é cúbica primitiva (célula de aresta
com um átomo na posição por sítio de rede). - Estamos comparando as intensidades das reflexões de raios
correspondentes às famílias de planos e . - Não há dados numéricos (comprimento de onda, fator de forma numérico etc.), então a comparação será qualitativa fundamentada nas fórmulas gerais de difração.
- A rede é cúbica primitiva (célula de aresta
Passo 2
O que são os planos
e
(geometria na rede cúbica)?
- Plano
: interceptos com os eixos em , , . Na prática a família corresponde às seis faces do cubo: . São planos paralelos às faces da célula. - Plano
: interceptos em , , (ou permutações e sinais). A família tem planos que cortam os três eixos igualmente, são planos diagonais do cubo.
(Aqui descrevi as localizações dos planos sem ainda calcular intensidades.)
Passo 3
Fórmula do espaçamento interplanar
para rede cúbica e valores para os dois planos
- Para rede cúbica o espaçamento entre planos
vale:
onde
é a aresta da célula e
são os índices de Miller.
- Aplicando:
Logo
, isto é, os planos
estão mais próximos entre si do que os
.
Passo 4
Bragg e ângulos de difração: relação entre
e o ângulo de Bragg
- A lei de Bragg (ordem
para comparação) é:
onde
é o comprimento de onda dos raios
e
é o ângulo de Bragg para a família
.
- Como
, para o mesmo obtemos
ou seja,
. Portanto a reflexão
ocorre em ângulo maior que
.
Passo 5
Estrutura de base da cúbica primitiva e fator de estrutura
- O fator de estrutura geral é
onde a soma é sobre os átomos da base na célula unitária,
é o fator de espalhamento atômico do átomo
(dependente de
/
) e
são as coordenadas da base em unidades de
.
- Na cúbica primitiva a base tem um único átomo na posição
. Então
onde escrevi
para o fator de forma atômico desse átomo. Conclusão importante: para uma rede cúbica primitiva com um átomo por sítio, o fator de estrutura é igual a
para qualquer
— não há extinções sistemáticas causadas pela base.
Passo 6
Como a intensidade difratada depende de
, do fator de forma e da multiplicidade
- A intensidade de uma reflexão é, na forma simplificada e qualitativa,
onde
é a multiplicidade (número de planos equivalentes na família
),
é o fator de estrutura e outros fatores dependem de
, temperatura e geometria experimental.
- Para a cúbica primitiva encontramos
. Assim, desprezando outros pequenos fatores, a parte essencial é
- Multiplicidades padrão:
Portanto a multiplicidade favorece levemente
porque
.
Passo 7
Comportamento do fator de espalhamento atômico
- O fator de forma atômico
(também chamado de fator de espalhamento) depende de e diminui à medida que o ângulo de difração aumenta. Fisicamente, em ângulos maiores as ondas espalhadas por diferentes elétrons do átomo interferem menos coerentemente e cai. - Como vimos,
, então em geral
- Essa diminuição de
com costuma ser significativa: para muitos átomos reduz sensivelmente quando se vai a ângulos maiores.
Passo 8
Comparação qualitativa final entre
e
- Usando a expressão simplificada
temos
-
Mesmo que a multiplicidade dê um fator
a favor de , o quadrado do fator de forma é geralmente menor que , possivelmente bem menor dependendo do elemento e do ângulo. Em muitas situações práticas (principalmente para elementos não muito leves e comprimentos de onda típicos de RX), a redução de com o ângulo domina e faz com que . -
Além disso, fatores experimentais (fator de Lorentz-polarização, correção angular, amortecimento térmico) normalmente também tendem a reduzir as intensidades de reflexões de ângulo maior mais do que para ângulo menor.
-
Conclusão qualitativa: na maioria dos casos práticos, a reflexão
dará intensidade maior que , porque ocorre em ângulo menor (maior ) e o ganho de multiplicidade de não compensa a queda do fator de forma e outros efeitos angulares.
Passo 9
Observação final e exceções (breve)
- Se fosse fornecido o comprimento de onda
e o tipo de átomo (valores numéricos de ), poder-se-ia avaliar numericamente a razão de intensidades e aí, em casos especiais, a família poderia resultar mais intensa se não decair muito com o ângulo ou para átomos muito pesados com comportamento particular. Mas com informação típica e de modo geral, é mais intenso.
Resposta
O plano
apresentará maior intensidade do que o plano
.