( 2,00 pontos) Em uma célula cúbica primitiva, encontre os planos (100) e (111) e justifique qual desses dois apresentará a maior intensidade do feixe de raios X difratado. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede: em uma célula cúbica primitiva, identificar os planos (100) e (111) e justificar qual desses dois planos apresentará maior intensidade do feixe de raios X difratado.
  • Informações implícitas que vamos usar:
    • A rede é cúbica primitiva (célula de aresta a com um átomo na posição (0,0,0) por sítio de rede).
    • Estamos comparando as intensidades das reflexões de raios X correspondentes às famílias de planos (100) e (111).
    • Não há dados numéricos (comprimento de onda, fator de forma numérico etc.), então a comparação será qualitativa fundamentada nas fórmulas gerais de difração.

Passo 2

O que são os planos (100) e (111) (geometria na rede cúbica)?
  • Plano (100): interceptos com os eixos em x= a, y=\infty, z=\infty. Na prática a família \{100\} corresponde às seis faces do cubo: (\pm100), (0\pm10), (00\pm1). São planos paralelos às faces da célula.
  • Plano (111): interceptos em x=a, y=a, z=a (ou permutações e sinais). A família \{111\} tem planos que cortam os três eixos igualmente, são planos diagonais do cubo.
(Aqui descrevi as localizações dos planos sem ainda calcular intensidades.)

Passo 3

Fórmula do espaçamento interplanar d_{hkl} para rede cúbica e valores para os dois planos
  • Para rede cúbica o espaçamento entre planos (hkl) vale:
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},
onde a é a aresta da célula e h,k,l são os índices de Miller.
  • Aplicando:
d_{100}=\frac{a}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\frac{a}{1}=a,
d_{111}=\frac{a}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Logo \,d_{111}<d_{100}\,, isto é, os planos (111) estão mais próximos entre si do que os (100).

Passo 4

Bragg e ângulos de difração: relação entre d e o ângulo de Bragg \theta
  • A lei de Bragg (ordem n=1 para comparação) é:
2d_{hkl}\sin\theta_{hkl}=\lambda,
onde \lambda é o comprimento de onda dos raios X e \theta_{hkl} é o ângulo de Bragg para a família (hkl).
  • Como d_{111}<d_{100}, para o mesmo \lambda obtemos
\sin\theta_{111}=\frac{\lambda}{2d_{111}}>\sin\theta_{100}=\frac{\lambda}{2d_{100}},
ou seja, \theta_{111}>\theta_{100}. Portanto a reflexão (111) ocorre em ângulo maior que (100).

Passo 5

Estrutura de base da cúbica primitiva e fator de estrutura F_{hkl}
  • O fator de estrutura geral é
F_{hkl}=\sum_{j} f_j \, e^{2\pi i(hx_j+ky_j+lz_j)},
onde a soma é sobre os átomos da base na célula unitária, f_j é o fator de espalhamento atômico do átomo j (dependente de \theta / \sin\theta/\lambda) e (x_j,y_j,z_j) são as coordenadas da base em unidades de a.
  • Na cúbica primitiva a base tem um único átomo na posição (0,0,0). Então
F_{hkl}=f\cdot e^{2\pi i(0)}=f,
onde escrevi f para o fator de forma atômico desse átomo. Conclusão importante: para uma rede cúbica primitiva com um átomo por sítio, o fator de estrutura é igual a f para qualquer (hkl) — não há extinções sistemáticas causadas pela base.

Passo 6

Como a intensidade difratada depende de F_{hkl}, do fator de forma e da multiplicidade
  • A intensidade de uma reflexão é, na forma simplificada e qualitativa,
I_{hkl}\propto m_{hkl}\,|F_{hkl}|^2\,\times\\ (\text{fatores de geometria, Debye–Waller, LP, etc.}),
onde m_{hkl} é a multiplicidade (número de planos equivalentes na família \{hkl\}), F_{hkl} é o fator de estrutura e outros fatores dependem de \theta, temperatura e geometria experimental.
  • Para a cúbica primitiva encontramos F_{hkl}=f(\theta). Assim, desprezando outros pequenos fatores, a parte essencial é
I_{hkl}\propto m_{hkl}\,f^2(\theta_{hkl}).
  • Multiplicidades padrão:
m_{\{100\}}=6 \quad\text{(faces ±x, ±y, ±z)},
m_{\{111\}}=8 \quad\text{(os oito triângulos diagonais \(\pm(1,1,1)\) permutações)}.âçõ
Portanto a multiplicidade favorece levemente (111) porque 8>6.

Passo 7

Comportamento do fator de espalhamento atômico f(\theta)
  • O fator de forma atômico f (também chamado de fator de espalhamento) depende de \sin\theta/\lambda e diminui à medida que o ângulo de difração aumenta. Fisicamente, em ângulos maiores as ondas espalhadas por diferentes elétrons do átomo interferem menos coerentemente e f cai.
  • Como vimos, \theta_{111}>\theta_{100}, então em geral
f(\theta_{111})<f(\theta_{100}).
  • Essa diminuição de f com \theta costuma ser significativa: para muitos átomos f reduz sensivelmente quando se vai a ângulos maiores.

Passo 8

Comparação qualitativa final entre I_{100} e I_{111}
  • Usando a expressão simplificada
I_{hkl}\propto m_{hkl}\,f^2(\theta_{hkl}),
temos
\frac{I_{111}}{I_{100}}\approx\frac{m_{111}\,f^2(\theta_{111})}{m_{100}\,f^2(\theta_{100})}=\frac{8}{6}\cdot\frac{f^2(\theta_{111})}{f^2(\theta_{100})}.
  • Mesmo que a multiplicidade dê um fator \dfrac{8}{6}\approx 1{,}33 a favor de (111), o quadrado do fator de forma \dfrac{f^2(\theta_{111})}{f^2(\theta_{100})} é geralmente menor que 1, possivelmente bem menor dependendo do elemento e do ângulo. Em muitas situações práticas (principalmente para elementos não muito leves e comprimentos de onda típicos de RX), a redução de f com o ângulo domina e faz com que I_{111}<I_{100}.
  • Além disso, fatores experimentais (fator de Lorentz-polarização, correção angular, amortecimento térmico) normalmente também tendem a reduzir as intensidades de reflexões de ângulo maior mais do que para ângulo menor.
  • Conclusão qualitativa: na maioria dos casos práticos, a reflexão (100) dará intensidade maior que (111), porque ocorre em ângulo menor (maior f) e o ganho de multiplicidade de (111) não compensa a queda do fator de forma e outros efeitos angulares.

Passo 9

Observação final e exceções (breve)
  • Se fosse fornecido o comprimento de onda \lambda e o tipo de átomo (valores numéricos de f(\theta)), poder-se-ia avaliar numericamente a razão de intensidades e aí, em casos especiais, a família (111) poderia resultar mais intensa se f não decair muito com o ângulo ou para átomos muito pesados com comportamento particular. Mas com informação típica e de modo geral, (100) é mais intenso.

Resposta

O plano (100) apresentará maior intensidade do que o plano (111).

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