Um mol de gás ideal monoatômico realiza um ciclo reversível indicado na primeira tabela abaixo. Faça o diagrama \mathrm{p}-\mathrm{V} para o ciclo e preencha os espaços vazios da segunda tabela.
Etapa P, atm V, litro \mathrm{T},{ }^{\text {o }} \mathrm{K}
1 1 24,4 300
2 1 48,2 600
3 0,5 48,2 300
Etapa Natureza do processo Q, J W, J \Delta \mathrm{E}, \mathrm{J} \Delta \mathrm{H}, \mathrm{J}
1 \rightarrow 2 ------ ------ ------ ------ ------
2 \rightarrow 3 ------ ------ ------ ------ ------
3 \rightarrow 1 ------ ------ ------ ------ ------
Total do ciclo ------ ------ ------ ------

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Estado 1: P_1=1\\ \text{atm}, V_1=24{,}4\\ \text{L}, T_1=300\\ \text{K}.
    • Estado 2: P_2=1\\ \text{atm}, V_2=48{,}2\\ \text{L}, T_2=600\\ \text{K}.
    • Estado 3: P_3=0{,}5\\ \text{atm}, V_3=48{,}2\\ \text{L}, T_3=300\\ \text{K}.
  • O que pediram:
    • Fazer o diagrama \mathrm{p}-\mathrm{V} do ciclo (traçar os pontos e o caminho).
    • Preencher a tabela com, para cada etapa 1\to2, 2\to3, 3\to1 e total do ciclo:
      • Natureza do processo,
      • Q (energia térmica trocada, em J),
      • W (trabalho realizado pelo gás, em J),
      • \Delta E (variação da energia interna, em J),
      • \Delta H (variação da entalpia, em J).

Passo 2

Identificar a natureza de cada processo (apenas observando P, V, T dados):
  • De 1 para 2: P_1 = P_2 = 1\\ \text{atm} enquanto V e T mudam. Logo é processo isobárico (pressão constante).
  • De 2 para 3: V_2 = V_3 = 48{,}2\\ \text{L} enquanto P e T mudam. Logo é processo isocórico (volume constante, também chamado isovolumétrico).
  • De 3 para 1: T_3 = T_1 = 300\\ \text{K} enquanto P e V mudam. Logo é processo isotérmico (temperatura constante).

Passo 3

Relembrando fórmulas e convenções (aulas rápidas e necessárias para calcular):
  • Dados físicos a usar:
    • Número de mols: n=1.
    • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
    • Gás monoatômico ideal: C_V=\dfrac{3}{2}R e C_P=\dfrac{5}{2}R.
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção que usaremos):
    \Delta E = Q - W,
    em que W é o trabalho realizado pelo gás (portanto, se o gás é comprimido, W<0).
  • Relações úteis:
    • Para processo isobárico: W = p\Delta V. Pelo ideal dos gases, para pressão constante W = nR\Delta T. Também Q = n C_P \Delta T e \Delta E = n C_V \Delta T.
    • Para processo isocórico: W=0. Então Q = \Delta E = n C_V \Delta T e \Delta H = n C_P \Delta T.
    • Para processo isotérmico de gás ideal (temperatura constante): \Delta E=0 e \Delta H=0. O trabalho reversível é W = n R T \ln\!\left(\dfrac{V_{\text{final}}}{V_{\text{inicial}}}\right),e Q = W (pela primeira lei, com \Delta E=0).
  • Observação sobre sinais: mantemos Q>0 quando calor entra no sistema e W>0 quando trabalho é feito pelo sistema.

Passo 4

Cálculos numéricos - constantes e preparações:
  • Valores numéricos: n=1,\quad R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
C_V=\tfrac{3}{2}R=\tfrac{3}{2}\cdot 8{,}314=12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
C_P=\tfrac{5}{2}R=\tfrac{5}{2}\cdot 8{,}314=20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
(vou manter 4 dígitos relevantes nas constantes para clareza.)
  • Também será útil: n R T_1 = 1\cdot 8{,}314\cdot 300 = 2494{,}2\\ \mathrm{J}.
n R (T_2-T_1) = 8{,}314\cdot (600-300)=8{,}314\cdot 300 = 2494{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Etapa 1\to2 (isobárico, P constante):
  • Variação de temperatura:
    \Delta T_{1\to2} = T_2-T_1 = 600-300 = 300\\ \text{K}.
  • Trabalho:
    W_{1\to2} = nR\Delta T = 8{,}314\cdot 300 = 2494{,}2\\ \mathrm{J}.
  • Variação da energia interna:
    \Delta E_{1\to2} = n C_V \Delta T = \tfrac{3}{2}R\cdot 300 = 12{,}471\cdot 300 = 3741{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado (pelo fato Q = \Delta E + W ou diretamente Q=nC_P\Delta T):
    Q_{1\to2} = n C_P \Delta T = \tfrac{5}{2}R\cdot 300 = 20{,}785\cdot 300 = 6235{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
    \Delta H_{1\to2} = n C_P \Delta T = 6235{,}5\\ \mathrm{J}.
(Faça atenção: se alguém calcular W só com p\Delta V usando p em \text{Pa} e volumes convertidos, pode haver pequena diferença numérica por arredondamento dos V fornecidos; usar aqui as relações via temperaturas garante consistência termodinâmica.)

Passo 6

Etapa 2\to3 (isocórico, V constante):
  • \Delta T_{2\to3} = T_3-T_2 = 300-600 = -300\\ \text{K}.
  • Trabalho:
    W_{2\to3} = 0\\ \mathrm{J} \quad(\text{volume constante}).
  • Variação da energia interna:
    \Delta E_{2\to3} = n C_V \Delta T = 12{,}471\cdot(-300) = -3741{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado (igual a \Delta E porque W=0):
    Q_{2\to3} = -3741{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
    \Delta H_{2\to3} = n C_P \Delta T = 20{,}785\cdot(-300) = -6235{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Etapa 3\to1 (isotérmico, T=300\\ \text{K} constante):
  • Para processo isotérmico em gás ideal \Delta E=0 e \Delta H=0.
  • Trabalho (reversível):
    W_{3\to1} = n R T \ln\!\left(\dfrac{V_1}{V_3}\right).
    Aqui T=300\\ \text{K}, V_1=24{,}4\\ \text{L}, V_3=48{,}2\\ \text{L}. Usando volumes diretamente como razão (a unidade cancela):
    \dfrac{V_1}{V_3} = \dfrac{24{,}4}{48{,}2}=0{,}506226\ldots
\ln\!\left(\dfrac{V_1}{V_3}\right)=\ln(0{,}506226)\approx -0{,}680784.
W_{3\to1} = 8{,}314\cdot 300 \cdot (-0{,}680784) \approx -1697{,}7\\ \mathrm{J}.
  • Como \Delta E=0, tem-se Q_{3\to1}=W_{3\to1}: Q_{3\to1} \approx -1697{,}7\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Total do ciclo:
  • Soma das variações de energia interna:
    \Delta E_{\text{total}} = 3741{,}3 + (-3741{,}3) + 0 = 0\\ \mathrm{J}.
  • Soma das variações de entalpia:
    \Delta H_{\text{total}} = 6235{,}5 + (-6235{,}5) + 0 = 0\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho total realizado pelo gás:
    W_{\text{total}} = 2494{,}2 + 0 + (-1697{,}7) = 796{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Calor total trocado:
    Q_{\text{total}} = 6235{,}5 + (-3741{,}3) + (-1697{,}7) = 796{,}5\\ \mathrm{J},
    o que confirma Q_{\text{total}} = W_{\text{total}} e \Delta E_{\text{total}}=0.

Passo 9

Como desenhar o diagrama \mathrm{p}-\mathrm{V} (guia passo a passo — faça no papel):
  • Eixos: horizontal V (em litros), vertical P (em atm).
  • Plote os três pontos usando os dados do enunciado:
    • Ponto 1: (V_1=24{,}4\\ \text{L},\; P_1=1\\ \text{atm}).
    • Ponto 2: (V_2=48{,}2\\ \text{L},\; P_2=1\\ \text{atm}).
    • Ponto 3: (V_3=48{,}2\\ \text{L},\; P_3=0{,}5\\ \text{atm}).
  • Trajetória:
    • 1\to2: linha horizontal para a direita (expansão isobárica).
    • 2\to3: linha vertical para baixo (queda de pressão em volume constante).
    • 3\to1: curva hiperbólica (isoterma a T=300\\ \text{K}) que volta de (48{,}2,\;0{,}5) para (24{,}4,\;1). Desenhe suave no sentido de compressão.
  • Indique setas no sentido 1\to2\to3\to1. A área encerrada pelo ciclo no gráfico é exatamente o trabalho líquido W_{\text{total}} (área positiva porque o ciclo é no sentido horário e W_{\text{total}}>0).

Resposta

1 \to2: Isobárico; Q=6235{,}5\\ \mathrm{J}; W=2494{,}2\\ \mathrm{J}; \Delta E=3741{,}3\\ \mathrm{J}; \Delta H=6235{,}5\\ \mathrm{J}
2 \to3: Isocórico; Q=-3741{,}3\\ \mathrm{J}; W=0\\ \mathrm{J}; \Delta E=-3741{,}3\\ \mathrm{J}; \Delta H=-6235{,}5\\ \mathrm{J}
3 \to1: Isotérmico; Q=-1697{,}7\\ \mathrm{J}; W=-1697{,}7\\ \mathrm{J}; \Delta E=0\\ \mathrm{J}; \Delta H=0\\ \mathrm{J}
Total do ciclo: Q_{\text{total}}=796{,}5\\ \mathrm{J}; W_{\text{total}}=796{,}5\\ \mathrm{J}; \Delta E_{\text{total}}=0\\ \mathrm{J}; \Delta H_{\text{total}}=0\\ \mathrm{J}

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