( 2,00 pontos) No difratograma de raios X de uma célula cúbica, a reflexão referente ao plano 211 ocorre em um ângulo de 58,42 graus, utilizando a radiação do \mathrm{K} \alpha do cobre (1,54 \AA). Calcule a dimensão da aresta dessa célula.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede um único resultado:
  • Plano de difração: (hkl)=(2\,1\,1).
  • Ângulo no difratograma: 58,42^\circ.
  • Radiação utilizada: linha \mathrm{K}\alpha do cobre com comprimento de onda \lambda = 1,54\\ \AA.
  • Pedem: calcular a dimensão da aresta da célula cúbica (valor de a).

Passo 2

Entendendo as grandezas que vamos usar (as fórmulas e o significado de cada símbolo).
  • Lei de Bragg: n\lambda = 2d\sin\theta,
onde:
  • n é a ordem da reflexão (geralmente n=1 para o primeiro pico),
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação (aqui \lambda = 1,54\\ \AA),
  • d é o espaçamento entre planos cristalográficos correspondentes ao índice (hkl),
  • \theta é o ângulo entre os planos e o feixe incidente (na prática, em um difratograma o eixo costuma mostrar 2\theta; então o valor dado no difratograma é tipicamente 2\theta, veja Passo 3).
  • Para uma rede cúbica o espaçamento interplanar d para o plano (hkl) é dado por: d = \frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}},
onde a é a aresta da célula cúbica (o que queremos) e h,k,l são os índices de Miller.
Explicando rapidamente o porquê: em rede cúbica a distância entre planos (hkl) é inversamente proporcional à norma do vetor (h,k,l) no espaço recíproco; o fator \sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}} aparece por simetria da rede cúbica.

Passo 3

Interpretação do ângulo do difratograma e relação com \theta.
  • Num difratograma de raios X, o eixo de posição normalmente indica 2\theta. O enunciado diz que a reflexão aparece em 58,42^\circ no difratograma, então vamos tomar isso como \,2\theta = 58,42^\circ.
  • Portanto \theta = \dfrac{58,42^\circ}{2} = 29,21^\circ.

Passo 4

Calcular o espaçamento interplanar d usando a lei de Bragg (tomando n=1).
Substituindo \lambda e \theta na lei de Bragg:
d = \frac{n\lambda}{2\sin\theta} = \frac{1\cdot 1,54\\ \AA}{2\sin(29,21^\circ)}.
Agora avaliando \sin(29,21^\circ). Aproximação numérica:
\sin(29,21^\circ)\approx 0,4880.
Logo
d \approx \frac{1,54}{2\cdot 0,4880}\\ \AA = \frac{1,54}{0,9760}\\ \AA \approx 1,577\\ \AA.

Passo 5

Relacionar d com a aresta a para o plano (2\,1\,1).
Calculemos h^{2}+k^{2}+l^{2} para (2\,1\,1):
h^{2}+k^{2}+l^{2}=2^{2}+1^{2}+1^{2}=4+1+1=6.
Assim
d=\frac{a}{\sqrt{6}}\quad\Longrightarrow\quad a = d\sqrt{6}.
Substituindo o valor de d:
a \approx 1,577\\ \AA \times \sqrt{6}.
Como \sqrt{6}\approx 2,44949, temos
a \approx 1,577\times 2,44949\\ \AA \approx 3,86\\ \AA.

Passo 6

Breve verificação de ordem de grandeza e significância:
  • Valores de a para muitos metais e materiais cristalinos são da ordem de alguns ångströms ( 2 5\\ \AA), então a\approx 3,86\\ \AA é razoável.
  • Arredondei o resultado para duas casas significativas coerentes com os dados ( \lambda dado com três algarismos e ângulo com quatro); pode-se reportar a\approx 3,86\\ \AA.

Resposta

a \approx 3,86\\ \AA

Exercícios relacionados