( 2,00 pontos) No difratograma de raios
de uma célula cúbica, a reflexão referente ao plano 211 ocorre em um ângulo de 58,42 graus, utilizando a radiação do
do cobre
. Calcule a dimensão da aresta dessa célula.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede um único resultado:
- Plano de difração:
. - Ângulo no difratograma:
. - Radiação utilizada: linha
do cobre com comprimento de onda . - Pedem: calcular a dimensão da aresta da célula cúbica (valor de
).
Passo 2
Entendendo as grandezas que vamos usar (as fórmulas e o significado de cada símbolo).
- Lei de Bragg:
onde:
-
é a ordem da reflexão (geralmente para o primeiro pico), -
é o comprimento de onda da radiação (aqui ), -
é o espaçamento entre planos cristalográficos correspondentes ao índice , -
é o ângulo entre os planos e o feixe incidente (na prática, em um difratograma o eixo costuma mostrar ; então o valor dado no difratograma é tipicamente , veja Passo 3). -
Para uma rede cúbica o espaçamento interplanar
para o plano é dado por:
onde
é a aresta da célula cúbica (o que queremos) e
são os índices de Miller.
Explicando rapidamente o porquê: em rede cúbica a distância entre planos
é inversamente proporcional à norma do vetor
no espaço recíproco; o fator
aparece por simetria da rede cúbica.
Passo 3
Interpretação do ângulo do difratograma e relação com
.
- Num difratograma de raios X, o eixo de posição normalmente indica
. O enunciado diz que a reflexão aparece em no difratograma, então vamos tomar isso como . - Portanto
.
Passo 4
Calcular o espaçamento interplanar
usando a lei de Bragg (tomando
).
Substituindo
e
na lei de Bragg:
Agora avaliando
. Aproximação numérica:
Logo
Passo 5
Relacionar
com a aresta
para o plano
.
Calculemos
para
:
Assim
Substituindo o valor de
:
Como
, temos
Passo 6
Breve verificação de ordem de grandeza e significância:
- Valores de
para muitos metais e materiais cristalinos são da ordem de alguns ångströms ( – ), então é razoável. - Arredondei o resultado para duas casas significativas coerentes com os dados (
dado com três algarismos e ângulo com quatro); pode-se reportar .