Calcular a variação de entropia quando um mol de gás perfeito monoatômico é comprimido á metade do seu volume inicial e, ao mesmo tempo, é aquecido ao dobro de sua temperatura inicial

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (colocadas de forma clara para não se perder):
  • Quantidade de gás: n=1 mol.
  • O gás é ideal e monoatômico.
  • O volume é comprimido à metade: V_2=\tfrac{1}{2}V_1.
  • A temperatura é duplicada: T_2=2T_1.
O que se pede:
  • Calcular a variação de entropia \Delta S do gás no processo entre os estados 1 e 2.

Passo 2

Vamos escrever a relação diferencial que nos permite calcular a entropia. A definição termodinâmica de entropia para um processo reversível é
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Pela primeira lei da termodinâmica, para um processo reversível válido em qualquer processo infinitesimal,
\delta Q_{\text{rev}} = dU + P\,dV.
Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura e vale
dU = n C_V\,dT,
onde C_V é a capacidade térmica molar à volume constante (explico o que é cada símbolo: n = número de mols, C_V = capacidade molar à volume constante em unidades de \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}, T = temperatura em K, V = volume). Substituindo em \delta Q_{\text{rev}} e dividindo por T,
dS = \frac{n C_V\,dT}{T} + \frac{P\,dV}{T}.
Agora usamos a equação de estado do gás ideal P V = n R T. Desse modo
\frac{P\,dV}{T} = \frac{n R}{V}\,dV = n R\,\frac{dV}{V}.
Portanto obtemos a forma prática para integrar a entropia de um gás ideal:
dS = n C_V\,\frac{dT}{T} + n R\,\frac{dV}{V}.
Observação didática rápida: essa fórmula resume a ideia de que a entropia muda por variação de temperatura (primeiro termo) e por variação de volume (segundo termo). Para um gás monoatômico, C_V será especificado abaixo.

Passo 3

Integrando a expressão entre o estado inicial (1) e o final (2):
\Delta S = \int_{1}^{2} dS = n C_V \int_{T_1}^{T_2} \frac{dT}{T} + n R \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}.
As integrais são logarítmicas, portanto
\Delta S = n C_V \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + n R \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Isso é uma fórmula geral para a variação de entropia de um gás ideal entre dois estados quaisquer.

Passo 4

Agora substituímos os dados do problema. Temos n=1 mol. Para um gás perfeito monoatômico (modelo clássico), a capacidade molar à volume constante é
C_V = \frac{3}{2}R,
porque um átomo monoatômico tem apenas 3 graus de liberdade de translação e C_V = \tfrac{f}{2}R com f=3. Substituindo n=1 e C_V=\tfrac{3}{2}R na fórmula geral:
\Delta S = \frac{3}{2}R \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + R \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).

Passo 5

Agora usamos as razões dadas: \dfrac{T_2}{T_1}=2 e \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{1}{2}. Substituindo:
\Delta S = \frac{3}{2}R \ln 2 + R \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Lembrando que \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, temos
\Delta S = \frac{3}{2}R \ln 2 - R \ln 2 = \left(\frac{3}{2}-1\right) R \ln 2 = \frac{1}{2} R \ln 2.
Portanto a expressão simbólica final é
\Delta S = \frac{R}{2}\,\ln 2.

Passo 6

Vamos avaliar numericamente. Usando R=8,314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1} e \ln 2 \approx 0,693147,
\Delta S \approx \frac{8,314}{2}\times 0,693147 \approx 2,88\\ \text{J K}^{-1}.
Comentário de incentivo: note que, apesar de ter havido compressão (tendência a reduzir entropia), o aquecimento mais que compensou no balanço, resultando em aumento de entropia positivo — e o cálculo fica elegante porque os logs simplificam.

Resposta

\displaystyle \Delta S=\frac{R}{2}\ln 2 \approx 2,88\\ \text{J K}^{-1}

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