Calcular a variação de entropia quando um mol de gás perfeito monoatômico é comprimido á metade do seu volume inicial e, ao mesmo tempo, é aquecido ao dobro de sua temperatura inicial
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (colocadas de forma clara para não se perder):
- Quantidade de gás:
mol. - O gás é ideal e monoatômico.
- O volume é comprimido à metade:
. - A temperatura é duplicada:
.
O que se pede:
- Calcular a variação de entropia
do gás no processo entre os estados 1 e 2.
Passo 2
Vamos escrever a relação diferencial que nos permite calcular a entropia. A definição termodinâmica de entropia para um processo reversível é
Pela primeira lei da termodinâmica, para um processo reversível válido em qualquer processo infinitesimal,
Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura e vale
onde
é a capacidade térmica molar à volume constante (explico o que é cada símbolo:
= número de mols,
= capacidade molar à volume constante em unidades de
,
= temperatura em K,
= volume). Substituindo em
e dividindo por
,
Agora usamos a equação de estado do gás ideal
. Desse modo
Portanto obtemos a forma prática para integrar a entropia de um gás ideal:
Observação didática rápida: essa fórmula resume a ideia de que a entropia muda por variação de temperatura (primeiro termo) e por variação de volume (segundo termo). Para um gás monoatômico,
será especificado abaixo.
Passo 3
Integrando a expressão entre o estado inicial (1) e o final (2):
As integrais são logarítmicas, portanto
Isso é uma fórmula geral para a variação de entropia de um gás ideal entre dois estados quaisquer.
Passo 4
Agora substituímos os dados do problema. Temos
mol. Para um gás perfeito monoatômico (modelo clássico), a capacidade molar à volume constante é
porque um átomo monoatômico tem apenas 3 graus de liberdade de translação e
com
. Substituindo
e
na fórmula geral:
Passo 5
Agora usamos as razões dadas:
e
. Substituindo:
Lembrando que
, temos
Portanto a expressão simbólica final é
Passo 6
Vamos avaliar numericamente. Usando
e
,
Comentário de incentivo: note que, apesar de ter havido compressão (tendência a reduzir entropia), o aquecimento mais que compensou no balanço, resultando em aumento de entropia positivo — e o cálculo fica elegante porque os logs simplificam.