( 2,00 pontos) No movimento bruscamente variado as linhas de corrente apresentam curvaturas acentuadas e a distribuição das pressões é hidrostática.
( ) Certo
( ) Errado
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado afirma: “No movimento bruscamente variado as linhas de corrente apresentam curvaturas acentuadas e a distribuição das pressões é hidrostática.” Preciso dizer se isso é ( ) Certo ou ( ) Errado e justificar.
Informações dadas pelo enunciado:
  • Há referência a “movimento bruscamente variado” (fluxo com variações rápidas de velocidade/seção/energia).
  • Diz que, nesse movimento, as linhas de corrente têm curvaturas acentuadas.
  • Diz que, nesse movimento, a distribuição das pressões é hidrostática.

Passo 2

O que é “movimento bruscamente variado”? Vou explicar de forma simples e intuitiva. Movimento bruscamente variado é quando o escoamento muda rapidamente em espaço (e muitas vezes em tempo): por exemplo, um choque hidráulico (hydraulic jump), uma contração súbita de seção, separação em canto agudo, ou zonas com grandes gradientes de velocidade. Nessas situações há acelerações importantes do fluido, troca de energia entre velocidade e pressão e, normalmente, centros de rotação/curvatura das linhas de corrente perto das descontinuidades. Exemplos práticos: escoamento em contração súbita, escoamento após uma placa obstrutora, e o salto hidráulico.

Passo 3

As linhas de corrente (ou streamlines) em escoamentos bruscamente variados normalmente apresentam curvaturas acentuadas. Isso acontece porque o fluido precisa descrever trajetórias curvas quando muda rapidamente de direção ou ao entrar/ sair de uma região de diferente geometria. Portanto a primeira parte da afirmação (“as linhas de corrente apresentam curvaturas acentuadas”) costuma ser verdadeira — essa parte faz sentido físico.

Passo 4

O que significa “distribuição das pressões é hidrostática”? A distribuição hidrostática é a que vale em fluidos praticamente em repouso (ou onde as acelerações são desprezíveis): a pressão depende apenas da profundidade vertical e satisfaz
\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g,
onde \rho é a densidade, g a gravidade e z a coordenada vertical. Em palavras: a pressão aumenta linearmente com a profundidade por causa do peso do fluido acima. Essa fórmula pressupõe ausência de acelerações significativas do fluido (estática ou aproximação de estática).

Passo 5

Quando o escoamento não está em repouso, a pressão não precisa obedecer à lei hidrostática. Para ver por quê, uso a equação do movimento para um fluido ideal e estacionário (equação de Euler):
\rho (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = -\nabla p + \rho \mathbf{g},
onde \mathbf{v} é o vetor velocidade e \mathbf{g} o vetor gravidade. Em coordenadas locais ligadas à linha de corrente (direção tangencial s e normal n à linha de corrente), o componente normal desta equação relaciona o gradiente de pressão normal à curvatura das linhas de corrente. Para fluxo quase unidimensional ao longo de uma curva, obtém-se a relação (magnitude)
\frac{\partial p}{\partial n} \sim \rho \frac{v^{2}}{R},
onde v é a velocidade local e R o raio de curvatura da linha de corrente. Essa relação diz: se as linhas de corrente são curvas, existe um gradiente de pressão na direção normal à corrente proporcional à aceleração centrípeta \dfrac{v^{2}}{R}. Em outras palavras, a pressão varia lateralmente (normal à corrente) por causa da necessidade de fornecer a força centrípeta que curva o escoamento.

Passo 6

Conectando as ideias: em movimento bruscamente variado há grandes variações de velocidade e curvaturas acentuadas das linhas de corrente. Essas curvaturas exigem gradientes de pressão normais às linhas de corrente dados por \rho v^{2}/R. Portanto a pressão tem componentes dinâmicos importantes além da componente hidrostática -\rho g z. Logo, a distribuição de pressão não é puramente hidrostática — é fortemente não-hidrostática (dinâmica). Exceção: apenas em casos muito particulares em que as acelerações (incluindo componentes normais) sejam desprezíveis é que a aproximação hidrostática poderia ser usada; isso não é o caso geral para escoamentos bruscamente variáveis.

Passo 7

Conclusão final da justificativa: a primeira parte da frase (linhas de corrente com curvaturas acentuadas) costuma ser verdadeira. A segunda parte (distribuição das pressões é hidrostática) é falsa para escoamentos bruscamente variáveis, porque existem acelerações e gradientes de pressão dinâmicos (por exemplo \partial p/\partial n\approx\rho v^{2}/R) que quebram a hipótese de hidrostaticidade. Portanto a afirmação completa dada no enunciado está errada.

Resposta

Errado

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