\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{7 x+4}{3 x^{3}-5 x+1}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a -\infty da função racional seguinte:
\lim_{x\to -\infty} \frac{7x+4}{3x^{3}-5x+1}.
Informações dadas:
  • Numerador: 7x+4.
  • Denominador: 3x^{3}-5x+1.
  • O que se pede: o valor numérico do limite quando x cresce em módulo negativamente ( x\to -\infty).

Passo 2

Estratégia algébrica (passo a passo): para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty, é conveniente dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui x^{3}). Vou fazer isso explicitamente para transformar a expressão em termos que tendem a zero.
Dividindo cada termo por x^{3} obtemos:
\frac{7x+4}{3x^{3}-5x+1} = \frac{\dfrac{7x}{x^{3}}+\dfrac{4}{x^{3}}}{\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{5x}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{7}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{3}}}{3-\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 3

Análise dos termos que aparecem depois da divisão: mostrar que todos os termos com potências negativas de x tendem a zero quando x\to -\infty.
Fato usado: para qualquer inteiro n>0,
\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^{n}} = 0.
Justificativa curta e intuitiva: quando x\to -\infty, o valor absoluto |x| cresce sem limite, então 1/|x|^{n}\to 0; como \frac{1}{x^{n}} tem módulo igual a 1/|x|^{n}, também tende a zero. Assim:
\lim_{x\to -\infty} \frac{7}{x^{2}} = 0,\qquad \lim_{x\to -\infty} \frac{4}{x^{3}} = 0,\qquad \lim_{x\to -\infty} \frac{5}{x^{2}} = 0,\qquad \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^{3}} = 0.

Passo 4

Aplicando o limite à expressão transformada e usando que limites somam e dividem quando o denominador tende a número não nulo, temos:
\lim_{x\to -\infty} \frac{\dfrac{7}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{3}}}{3-\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{0+0}{3-0+0} = \frac{0}{3} = 0.
Como o denominador tende a 3\neq 0, a operação de divisão é válida no limite.

Passo 5

Interpretação e regra prática (para decorar e usar na prova): quando o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, o limite da função racional quando x\to\pm\infty é 0. Aqui o numerador tem grau 1 e o denominador grau 3, logo o limite é 0.
Dica rápida de exemplo extra (para treinar): \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x^{2}+1}=0 pela mesma razão: grau do numerador menor que o do denominador. Força aí — você consegue!

Resposta

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