.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da função racional seguinte:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O que se pede: o valor numérico do limite quando
cresce em módulo negativamente ( ).
Passo 2
Estratégia algébrica (passo a passo): para limites de funções racionais quando
, é conveniente dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui
). Vou fazer isso explicitamente para transformar a expressão em termos que tendem a zero.
Dividindo cada termo por
obtemos:
Passo 3
Análise dos termos que aparecem depois da divisão: mostrar que todos os termos com potências negativas de
tendem a zero quando
.
Fato usado: para qualquer inteiro
,
Justificativa curta e intuitiva: quando
, o valor absoluto
cresce sem limite, então
; como
tem módulo igual a
, também tende a zero. Assim:
Passo 4
Aplicando o limite à expressão transformada e usando que limites somam e dividem quando o denominador tende a número não nulo, temos:
Como o denominador tende a
, a operação de divisão é válida no limite.
Passo 5
Interpretação e regra prática (para decorar e usar na prova): quando o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, o limite da função racional quando
é
. Aqui o numerador tem grau
e o denominador grau
, logo o limite é
.
Dica rápida de exemplo extra (para treinar): pela mesma razão: grau do numerador menor que o do denominador. Força aí — você consegue!
Dica rápida de exemplo extra (para treinar):