\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{3}+2 x^{2}+5}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^{2}-3x+1}{x^{3}+2x^{2}+5}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é o polinômio 2x^{2}-3x+1 (grau 2).
  • O denominador é o polinômio x^{3}+2x^{2}+5 (grau 3).
  • O ponto de interesse é x\to -\infty (tendência para menos infinito).

Passo 2

Ideia prática (explicação didática): quando calculamos limites de quocientes de polinômios quando x\to\pm\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Uma técnica segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{3}), o que deixa termos que tendem a zero e facilita a observação do limite. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtemos:
\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{3}+2x^{2}+5} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{3x}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{5}{x^{3}}}.
Simplificando cada fração:
\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{3}+2x^{2}+5} = \frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}}.
Agora, quando x\to -\infty vale que \dfrac{1}{x}\to 0, \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{1}{x^{3}}\to 0. Tomando limite termo a termo no numerador e denominador:
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^{3}}} = \frac{0-0+0}{1+0+0}=\frac{0}{1}=0.

Passo 4

Comentário intuitivo e signo: como o grau do denominador ( 3) é maior que o do numerador ( 2), o denominador cresce mais rápido em módulo e o quociente tende a zero. Observação adicional: para x muito negativo a função se comporta aproximadamente como \dfrac{2x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{2}{x}, que é negativa (porque x<0), então a aproximação se dá por valores pequenos e negativos, mas o limite numérico é 0.

Resposta

0

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