( 3.00 pontos) Seja
.
a) Justifique se
possui um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto restrito ao conjunto
b) Determine os pontos críticos de
no interior de
. 0.3
c) Determine os pontos e os valores extremos absolutos de
restrito ao conjunto
.
a) Justifique se
c) Determine os pontos e os valores extremos absolutos de
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:
O conjunto é
Perguntas pedidas:
- (a) Justificar se
possui máximo absoluto e mínimo absoluto em . - (b) Determinar os pontos críticos de
no interior de . - (c) Determinar os pontos e os valores dos extremos absolutos de
restrito a .
Passo 2
Observação algébrica útil (vai simplificar tudo): fatorando,
Isto mostra de cara que
para todos
, e que
exatamente quando
. Guarde essa identidade; ela é a chave para encontrar mínimos e para analisar o comportamento em fronteiras.
Passo 3
Resposta à parte (a) com justificativa teórica:
Uma função polinomial é contínua. O conjunto é fechado (condição
sobre o círculo e as desigualdades
definem fecho) e limitado (está dentro do disco de raio
), logo
é compacto. Pelo Teorema do Valor Extremo (teorema de Weierstrass), uma função contínua em conjunto compacto atinge mínimo e máximo absolutos. Portanto,
possui máximo absoluto e mínimo absoluto em
.
Uma função polinomial é contínua. O conjunto
Passo 4
Cálculo dos pontos críticos em
(preparando para (b)):
Calcule o gradiente . Para
,
Calcule o gradiente
Logo
Pontos críticos (no sentido clássico) são os pontos onde
, isto é, onde
, portanto quando
Passo 5
Determinar os pontos críticos no interior de
— parte (b):
O interior de é
. Interseccionando com a condição
obtém-se
O interior de
Portanto os pontos críticos no interior de
são todos os pontos
Cada um desses pontos satisfaz
.
Passo 6
Classificação do valor de
nos pontos críticos encontrados:
Como , em qualquer ponto
temos
Como
Assim todos esses pontos críticos têm valor
. Pela identidade,
é o menor valor possível de
no plano, então esses pontos são pontos de mínimo local e também candidatos a mínimo global em
.
Passo 7
Análise da fronteira de
para encontrar extremos absolutos — estratégia: separar em três partes da fronteira
- eixo
com , - eixo
com , - arco circular
com .
Trate cada parte.
Passo 8
Fronteiras 1 e 2 (eixos):
- Para
com ,
que varia entre
(em
) e
(em
). Logo nesta aresta o máximo é
em
e o mínimo é
em
.
- Para
com ,
que varia entre
(em
) e
(em
). Assim nesta aresta o máximo é
em
e o mínimo é
em
.
Passo 9
Arco circular
com
:
Usando a identidade podemos reescrever em pontos do círculo
Usando a identidade
Como
e
, podemos usar a desigualdade
que implica
, daí
com igualdade quando
(ou seja em
). O produto
é mínimo (igual a
) quando um dos coordenados é zero; esses pontos são
e
no arco/axes. Assim em todo o arco:
-
varia entre e , - logo
varia entre (quando ) e (quando , isto é em ).
Portanto sobre o arco circular o mínimo é
em
e o máximo é
em
e
.
Passo 10
Reunindo tudo (comparação interior vs fronteira) para decidir extremos absolutos — parte (c):
- Valores mínimos encontrados:
. Onde ocorre dentro de ? Pela identidade , exatamente quando . Em essa condição dá o segmento diagonal fechado
pois
deve satisfazer
e
. Esse segmento inclui os pontos críticos interiores
com
e também as extremidades
e
que ficam na fronteira. Logo o mínimo absoluto de
em
é
e é atingido em todos os pontos
com
.
- Valores máximos encontrados: o maior valor observado foi
. Ele ocorre nos pontos onde, sobre o disco/quadrante, a diferença é máxima. Das análises da fronteira, esses pontos são e , isto é e . Não há pontos no interior com valor maior que . Portanto o máximo absoluto de em é e é atingido exatamente em e .
Resposta
(a) Sim,
possui máximo e mínimo absolutos em
(pois
é contínua e
é compacto).
(b) Os pontos críticos de no interior de
são
.
(c) Mínimo absoluto: valor , atingido em todos os pontos
com
.
Máximo absoluto: valor , atingido nos pontos
e
.
(b) Os pontos críticos de
(c) Mínimo absoluto: valor
Máximo absoluto: valor