( 3.00 pontos) Seja f(x, y)=x^{2}-2 x y+y^{2}.
a) Justifique se f possui um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto restrito ao conjunto
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 8, x \geq 0, \text { e } y \geq 0\right\}
b) Determine os pontos críticos de f no interior de A. 0.3
c) Determine os pontos e os valores extremos absolutos de f restrito ao conjunto A.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
f(x,y)=x^{2}-2xy+y^{2}.
O conjunto é
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x^{2}+y^{2}\le 8,\; x\ge 0,\; y\ge 0\}.
Perguntas pedidas:
  1. (a) Justificar se f possui máximo absoluto e mínimo absoluto em A.
  2. (b) Determinar os pontos críticos de f no interior de A.
  3. (c) Determinar os pontos e os valores dos extremos absolutos de f restrito a A.

Passo 2

Observação algébrica útil (vai simplificar tudo): fatorando,
f(x,y)=x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}.
Isto mostra de cara que f(x,y)\ge 0 para todos (x,y), e que f(x,y)=0 exatamente quando x=y. Guarde essa identidade; ela é a chave para encontrar mínimos e para analisar o comportamento em fronteiras.

Passo 3

Resposta à parte (a) com justificativa teórica:
Uma função polinomial é contínua. O conjunto A é fechado (condição \le sobre o círculo e as desigualdades x\ge0,y\ge0 definem fecho) e limitado (está dentro do disco de raio \sqrt{8}), logo A é compacto. Pelo Teorema do Valor Extremo (teorema de Weierstrass), uma função contínua em conjunto compacto atinge mínimo e máximo absolutos. Portanto, f possui máximo absoluto e mínimo absoluto em A.

Passo 4

Cálculo dos pontos críticos em \mathbb{R}^2 (preparando para (b)):
Calcule o gradiente \nabla f. Para f(x,y)=x^{2}-2xy+y^{2},
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2x+2y.
Logo
\nabla f(x,y)=(2x-2y,\,-2x+2y)=2(x-y)\,(1,-1).
Pontos críticos (no sentido clássico) são os pontos onde \nabla f=0, isto é, onde 2(x-y)=0, portanto quando
x-y=0\quad\Longrightarrow\quad x=y.

Passo 5

Determinar os pontos críticos no interior de A — parte (b):
O interior de A é \{(x,y):x>0,\;y>0,\;x^{2}+y^{2}<8\}. Interseccionando com a condição x=y obtém-se
x=y>0,\quad 2x^{2}<8\Longrightarrow x^{2}<4\Longrightarrow 0<x<2.
Portanto os pontos críticos no interior de A são todos os pontos
\{(t,t):\;0<t<2\}.
Cada um desses pontos satisfaz \nabla f=0.

Passo 6

Classificação do valor de f nos pontos críticos encontrados:
Como f(x,y)=(x-y)^{2}, em qualquer ponto (t,t) temos
f(t,t)=(t-t)^{2}=0.
Assim todos esses pontos críticos têm valor 0. Pela identidade, 0 é o menor valor possível de f no plano, então esses pontos são pontos de mínimo local e também candidatos a mínimo global em A.

Passo 7

Análise da fronteira de A para encontrar extremos absolutos — estratégia: separar em três partes da fronteira
  1. eixo x=0 com 0\le y\le \sqrt{8},
  2. eixo y=0 com 0\le x\le \sqrt{8},
  3. arco circular x^{2}+y^{2}=8 com x\ge0,y\ge0.
Trate cada parte.

Passo 8

Fronteiras 1 e 2 (eixos):
  • Para x=0 com 0\le y\le \sqrt{8},
f(0,y)=(0-y)^{2}=y^{2},
que varia entre 0 (em y=0) e (\sqrt{8})^{2}=8 (em y=\sqrt{8}). Logo nesta aresta o máximo é 8 em (0,\sqrt{8}) e o mínimo é 0 em (0,0).
  • Para y=0 com 0\le x\le \sqrt{8},
f(x,0)=x^{2},
que varia entre 0 (em x=0) e 8 (em x=\sqrt{8}). Assim nesta aresta o máximo é 8 em (\sqrt{8},0) e o mínimo é 0 em (0,0).

Passo 9

Arco circular x^{2}+y^{2}=8 com x,y\ge0:
Usando a identidade f=(x-y)^{2} podemos reescrever em pontos do círculo
f(x,y)=x^{2}-2xy+y^{2}=(x^{2}+y^{2})-2xy=8-2xy.
Como x,y\ge0 e x^{2}+y^{2}=8, podemos usar a desigualdade (x-y)^{2}\ge 0 que implica x^{2}+y^{2}\ge 2xy, daí
xy\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{8}{2}=4,
com igualdade quando x=y (ou seja em (2,2)). O produto xy é mínimo (igual a 0) quando um dos coordenados é zero; esses pontos são (\sqrt{8},0) e (0,\sqrt{8}) no arco/axes. Assim em todo o arco:
  • xy varia entre 0 e 4,
  • logo f(x,y)=8-2xy varia entre 8 (quando xy=0) e 0 (quando xy=4, isto é em (2,2)).
Portanto sobre o arco circular o mínimo é 0 em (2,2) e o máximo é 8 em (\sqrt{8},0) e (0,\sqrt{8}).

Passo 10

Reunindo tudo (comparação interior vs fronteira) para decidir extremos absolutos — parte (c):
  • Valores mínimos encontrados: 0. Onde ocorre f=0 dentro de A? Pela identidade f=(x-y)^{2}, f=0 exatamente quando x=y. Em A essa condição dá o segmento diagonal fechado
\{(t,t):\;0\le t\le 2\},
pois t deve satisfazer 2t^{2}\le 8\Rightarrow t\le 2 e t\ge0. Esse segmento inclui os pontos críticos interiores (t,t) com 0<t<2 e também as extremidades (0,0) e (2,2) que ficam na fronteira. Logo o mínimo absoluto de f em A é 0 e é atingido em todos os pontos (t,t) com 0\le t\le 2.
  • Valores máximos encontrados: o maior valor observado foi 8. Ele ocorre nos pontos onde, sobre o disco/quadrante, a diferença |x-y| é máxima. Das análises da fronteira, esses pontos são (\sqrt{8},0) e (0,\sqrt{8}), isto é (2\sqrt{2},0) e (0,2\sqrt{2}). Não há pontos no interior com valor maior que 8. Portanto o máximo absoluto de f em A é 8 e é atingido exatamente em (2\sqrt{2},0) e (0,2\sqrt{2}).

Resposta

(a) Sim, f possui máximo e mínimo absolutos em A (pois f é contínua e A é compacto).
(b) Os pontos críticos de f no interior de A são \{(t,t):\;0<t<2\}.
(c) Mínimo absoluto: valor 0, atingido em todos os pontos (t,t) com 0\le t\le 2.
Máximo absoluto: valor 8, atingido nos pontos (2\sqrt{2},0) e (0,2\sqrt{2}).

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