(2.50 pontos) Sejam
, e
uma funçāo composta.
a) Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
se existir.
b) Detemine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto (
).
c) Calcule um valor aproximado de
, usando aproximação linear.
a) Calcule a derivada direcional de
b) Detemine a equação do plano tangente ao gráfico de
c) Calcule um valor aproximado de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados:
e
.
Perguntas:
a) Calcular a derivada direcional de no ponto
na direção do vetor
, se existir.
b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
.
c) Calcular uma aproximação de usando a aproximação linear.
a) Calcular a derivada direcional de
b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de
c) Calcular uma aproximação de
Observação importante: no enunciado a segunda componente de
usa a letra
, mas
é função das variáveis
. Vou assumir que isso é um erro de digitação e que a segunda componente correta é
. Ou seja,
Passo 2
Escrevemos explicitamente
fazendo a composição
. Se
com
e
, então
Substituindo,
Podemos simplificar a segunda parcela usando propriedades da exponencial:
Passo 3
Vamos relembrar as ferramentas que precisamos (curta aula prática):
- A derivada direcional de uma função diferenciável
no ponto na direção de um vetor unitário é
Isto é, basta o gradiente de
no ponto e o produto escalar com o vetor unitário de direção.
- Para obter o gradiente
quando , usamos a regra da cadeia para funções vetoriais: se e , então
No nosso caso
, então
e
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais das componentes de
:
Agora usamos a regra da cadeia com
e
, lembrando que
e
.
Então
Substituindo:
Simplificando:
E
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Avaliamoas derivadas parciais no ponto
.
Primeiro calculemos os valores das componentes em
:
Agora
:
E
:
Portanto o gradiente em
é
Passo 6
Agora calculamos a derivada direcional pedida na parte (a). A direção dada é o vetor
; devemos primeiro torná-lo unitário:
Usando a fórmula da derivada direcional:
Logo a derivada direcional existe e é
.
Passo 7
Parte (b): equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Primeiro
. A fórmula do plano tangente em
é
Aqui
e
. Portanto
ou simplesmente
Passo 8
Parte (c): aproximação linear (linearização) para estimar
.
A aproximação linear (expansão de primeira ordem) de
em torno de
é
Substituindo os valores obtidos:
Agora avaliando em
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)