(2.50 pontos) Sejam f(u, v)=u^{2}+v^{2}, g(x, y)=\left(y \cos x, e^{v^{2}+x}\right), e h=f \circ g uma funçāo composta.
a) Calcule a derivada direcional de h no ponto (0,0) na direção do vetor (1,1) se existir.
b) Detemine a equação do plano tangente ao gráfico de h no ponto ( 0,0, h(0,0) ).
c) Calcule um valor aproximado de h(-0.02,0.01), usando aproximação linear.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados:
f(u,v)=u^{2}+v^{2},
g(x,y)=\bigl(y\cos x,\; e^{v^{2}+x}\bigr),
e h=f\circ g.
Perguntas:
a) Calcular a derivada direcional de h no ponto (0,0) na direção do vetor (1,1), se existir.
b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de h no ponto \bigl(0,0,h(0,0)\bigr).
c) Calcular uma aproximação de h(-0{,}02,0{,}01) usando a aproximação linear.
Observação importante: no enunciado a segunda componente de g usa a letra v, mas g é função das variáveis x,y. Vou assumir que isso é um erro de digitação e que a segunda componente correta é e^{y^{2}+x}. Ou seja,
g(x,y)=\bigl(y\cos x,\; e^{y^{2}+x}\bigr).

Passo 2

Escrevemos explicitamente h(x,y) fazendo a composição h=f\circ g. Se g(x,y)=\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr) com u(x,y)=y\cos x e v(x,y)=e^{y^{2}+x}, então
h(x,y)=f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)=\bigl(u(x,y)\bigr)^{2}+\bigl(v(x,y)\bigr)^{2}.
Substituindo,
h(x,y)=\bigl(y\cos x\bigr)^{2}+\bigl(e^{y^{2}+x}\bigr)^{2}.
Podemos simplificar a segunda parcela usando propriedades da exponencial:
h(x,y)=y^{2}\cos^{2}x+e^{2(y^{2}+x)}.

Passo 3

Vamos relembrar as ferramentas que precisamos (curta aula prática):
  • A derivada direcional de uma função diferenciável h no ponto (x_{0},y_{0}) na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) é
D_{\mathbf{u}}h(x_{0},y_{0})=\nabla h(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u}.
Isto é, basta o gradiente de h no ponto e o produto escalar com o vetor unitário de direção.
  • Para obter o gradiente \nabla h=(h_{x},h_{y}) quando h=f\circ g, usamos a regra da cadeia para funções vetoriais: se \nabla f(u,v)=(\partial f/\partial u,\partial f/\partial v) e g=(u(x,y),v(x,y)), então
h_{x}=\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\cdot u_{x}+\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\cdot v_{x},
h_{y}=\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\cdot u_{y}+\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\cdot v_{y}.
No nosso caso f(u,v)=u^{2}+v^{2}, então \partial f/\partial u=2u e \partial f/\partial v=2v. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais das componentes de g:
u(x,y)=y\cos x\quad\Rightarrow\quad u_{x}=-y\sin x,\quad u_{y}=\cos x.
v(x,y)=e^{y^{2}+x}\quad\Rightarrow\quad v_{x}=e^{y^{2}+x}\cdot 1 = e^{y^{2}+x},\quad v_{y}=e^{y^{2}+x}\cdot 2y = 2y\,e^{y^{2}+x}.
Agora usamos a regra da cadeia com \partial f/\partial u=2u e \partial f/\partial v=2v, lembrando que u=y\cos x e v=e^{y^{2}+x}.
Então
h_{x}=2u\cdot u_{x}+2v\cdot v_{x}.
Substituindo:
h_{x}=2(y\cos x)\cdot(-y\sin x)+2\bigl(e^{y^{2}+x}\bigr)\cdot e^{y^{2}+x}.
Simplificando:
h_{x}=-2y^{2}\cos x\sin x+2e^{2(y^{2}+x)}.
E
h_{y}=2u\cdot u_{y}+2v\cdot v_{y}.
Substituindo:
h_{y}=2(y\cos x)\cdot(\cos x)+2\bigl(e^{y^{2}+x}\bigr)\cdot\bigl(2y\,e^{y^{2}+x}\bigr).
Simplificando:
h_{y}=2y\cos^{2}x+4y\,e^{2(y^{2}+x)}.

Passo 5

Avaliamoas derivadas parciais no ponto (0,0).
Primeiro calculemos os valores das componentes em (0,0):
u(0,0)=0\cdot\cos 0=0,\qquad v(0,0)=e^{0^{2}+0}=e^{0}=1.
Agora h_{x}(0,0):
h_{x}(0,0)=-2\cdot 0^{2}\cdot\cos 0\cdot\sin 0+2e^{2(0^{2}+0)}=0+2e^{0}=2.
E h_{y}(0,0):
h_{y}(0,0)=2\cdot 0\cdot\cos^{2}0+4\cdot 0\cdot e^{2(0^{2}+0)}=0+0=0.
Portanto o gradiente em (0,0) é
\nabla h(0,0)=\bigl(h_{x}(0,0),h_{y}(0,0)\bigr)=(2,0).

Passo 6

Agora calculamos a derivada direcional pedida na parte (a). A direção dada é o vetor (1,1); devemos primeiro torná-lo unitário:
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
Usando a fórmula da derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}h(0,0)=\nabla h(0,0)\cdot\mathbf{u}=(2,0)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(2\cdot 1+0\cdot 1\bigr)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Logo a derivada direcional existe e é \sqrt{2}.

Passo 7

Parte (b): equação do plano tangente ao gráfico de z=h(x,y) no ponto \bigl(0,0,h(0,0)\bigr).
Primeiro h(0,0)=u(0,0)^{2}+v(0,0)^{2}=0^{2}+1^{2}=1. A fórmula do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z=z_{0}+h_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+h_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0},z_{0})=(0,0,1) e h_{x}(0,0)=2,\\ h_{y}(0,0)=0. Portanto
z=1+2(x-0)+0\cdot(y-0),
ou simplesmente
z=1+2x.

Passo 8

Parte (c): aproximação linear (linearização) para estimar h(-0{,}02,0{,}01).
A aproximação linear (expansão de primeira ordem) de h em torno de (0,0) é
h(x,y)\approx h(0,0)+h_{x}(0,0)\,x+h_{y}(0,0)\,y.
Substituindo os valores obtidos:
h(x,y)\approx 1+2x+0\cdot y=1+2x.
Agora avaliando em x=-0{,}02,\\ y=0{,}01:
h(-0{,}02,0{,}01)\approx 1+2(-0{,}02)=1-0{,}04=0{,}96.

Resposta

(a) \sqrt{2}
(b) z=1+2x
(c) 0{,}96

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