Escreva cada integral dupla abaixo como integral iterada de duas formas, e verifique diretamente a igualdade das integrais iteradas.
, onde
é a região triangular com vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a integral dupla
sobre a região triangular
com vértices
,
e
como integrais iteradas de duas formas (ou seja, nas duas ordens de integração) e que eu verifique diretamente que as duas integrais iteradas dão o mesmo valor.
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
- A integranda é
- A região
é o triângulo com vértices , e . - Preciso escrever as duas ordens de integração e calcular ambas para verificar a igualdade.
Passo 2
Descrever bem a região
(isso é crucial para montar os limites das integrais). Vou olhar para os lados do triângulo:
- O lado que liga
a é a reta cuja equação é (passei pelos pontos e vi que a inclinação é e passa pela origem). - O lado que liga
a é o eixo , ou seja . - O lado que liga
a é a reta vertical .
Para um mesmo
fixo com
, os
dentro do triângulo vão do eixo até a reta diagonal, isto é
Para um
fixo com
, os
dentro do triângulo vão da diagonal até a vertical
, isto é
Essas duas descrições são equivalentes e servem para montar as duas ordens de integração.
Passo 3
Primeira forma: integrar primeiro em
e depois em
(ordem
). Pela descrição acima os limites são
de
a
e, para cada
,
de
a
. Assim a integral iterada é
Agora calculo passo a passo. Na integral interna
trato
como constante (porque estou integrando em
). Então
A primitiva de
em relação a
é
. Avaliando de
a
dá
Agora integro essa expressão em
de
a
:
A primitiva de
é
. Avaliando de
a
dá
Passo 4
Segunda forma: integrar primeiro em
e depois em
(ordem
). Pela descrição alternativa da região os limites são
de
a
e, para cada
,
de
a
. Assim a integral iterada é
Calculo a integral interna
. Aqui
é constante (estou integrando em
), então
A primitiva de
em relação a
é
. Avaliando de
a
dá
Agora integro isso em
de
a
:
As primitivas são
e
. Avaliando de
a
temos
Passo 5
Concluí que as duas ordens de integração levam ao mesmo valor numérico. Isso aconteceu porque a região é limitada e a função integranda é contínua em
, então as integrais iteradas nas duas ordens são iguais (a conta direta mostrou isso com as duas avaliações).