Escreva cada integral dupla abaixo como integral iterada de duas formas, e verifique diretamente a igualdade das integrais iteradas.
\iint_{T} x^{2} y d A, onde T é a região triangular com vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a integral dupla
\iint_{T} x^{2}y\, dA
sobre a região triangular T com vértices (0,0), (1,0) e (1,1) como integrais iteradas de duas formas (ou seja, nas duas ordens de integração) e que eu verifique diretamente que as duas integrais iteradas dão o mesmo valor.
Informações dadas no enunciado:
  • A integranda é \;x^{2}y\;.
  • A região T é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1).
  • Preciso escrever as duas ordens de integração e calcular ambas para verificar a igualdade.

Passo 2

Descrever bem a região T (isso é crucial para montar os limites das integrais). Vou olhar para os lados do triângulo:
  • O lado que liga (0,0) a (1,1) é a reta cuja equação é \;y=x\; (passei pelos pontos e vi que a inclinação é 1 e passa pela origem).
  • O lado que liga (0,0) a (1,0) é o eixo x, ou seja \;y=0\;.
  • O lado que liga (1,0) a (1,1) é a reta vertical \;x=1\;.
Para um mesmo x fixo com 0\le x\le1, os y dentro do triângulo vão do eixo até a reta diagonal, isto é
0 \le y \le x,\quad 0\le x\le1.
Para um y fixo com 0\le y\le1, os x dentro do triângulo vão da diagonal até a vertical x=1, isto é
y \le x \le 1,\quad 0\le y\le1.
Essas duas descrições são equivalentes e servem para montar as duas ordens de integração.

Passo 3

Primeira forma: integrar primeiro em y e depois em x (ordem dy\,dx). Pela descrição acima os limites são x de 0 a 1 e, para cada x, y de 0 a x. Assim a integral iterada é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} x^{2}y \, dy\, dx.
Agora calculo passo a passo. Na integral interna \displaystyle \int_{0}^{x} x^{2}y \, dy trato x como constante (porque estou integrando em y). Então
\int_{0}^{x} x^{2}y \, dy = x^{2}\int_{0}^{x} y \, dy.
A primitiva de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}. Avaliando de 0 a x
x^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{2}.
Agora integro essa expressão em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{2}\, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{4}\, dx.
A primitiva de x^{4} é \dfrac{x^{5}}{5}. Avaliando de 0 a 1
\frac{1}{2}\cdot\frac{1^{5}-0}{5} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{10}.

Passo 4

Segunda forma: integrar primeiro em x e depois em y (ordem dx\,dy). Pela descrição alternativa da região os limites são y de 0 a 1 e, para cada y, x de y a 1. Assim a integral iterada é
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1} x^{2}y \, dx\, dy.
Calculo a integral interna \displaystyle \int_{y}^{1} x^{2}y \, dx. Aqui y é constante (estou integrando em x), então
\int_{y}^{1} x^{2}y \, dx = y\int_{y}^{1} x^{2} \, dx.
A primitiva de x^{2} em relação a x é \dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando de x=y a x=1
y\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{y^{3}}{3}\right)=\frac{y}{3}-\frac{y^{4}}{3}.
Agora integro isso em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{y}{3}-\frac{y^{4}}{3}\right)dy = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} y\, dy - \frac{1}{3}\int_{0}^{1} y^{4}\, dy.
As primitivas são \dfrac{y^{2}}{2} e \dfrac{y^{5}}{5}. Avaliando de 0 a 1 temos
\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{5-2}{10}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{10}.

Passo 5

Concluí que as duas ordens de integração levam ao mesmo valor numérico. Isso aconteceu porque a região é limitada e a função integranda é contínua em T, então as integrais iteradas nas duas ordens são iguais (a conta direta mostrou isso com as duas avaliações).

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{x} x^{2}y \, dy\, dx = \frac{1}{10}
\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{y}^{1} x^{2}y \, dx\, dy = \frac{1}{10}

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