01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá a função racional de duas variáveis
. - O ponto de interesse é
. - O que o enunciado pede: calcular o limite
- Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
- O numerador depende apenas de
: . - O denominador depende de
e : .
- O numerador depende apenas de
Passo 2
Calcular o limite do numerador quando
.
- O numerador é
. A função é contínua em , então o limite quando é simplesmente o valor em . - Portanto,
- Como
, obtemos
Explicação didática rápida: continuidade significa que, se a variável se aproxima de um ponto, a imagem pela função aproxima-se do valor da função nesse ponto; por isso basta avaliar em
.
Passo 3
Calcular o limite do denominador quando
.
- O denominador é
. Tanto a função identidade quanto são contínuas, logo a combinação é contínua. - Assim
- Como
, temos
Comentário didático: é importante verificar se o limite do denominador é zero ou não, porque se fosse zero teríamos de analisar com mais cuidado (possível indeterminação ou dependência de caminho). Aqui não é o caso.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente de limites (quando válida).
- Teorema usado: se
e com , então . - No nosso caso encontramos
e com , logo podemos aplicar a regra do quociente.
Passo 5
Calcular o quociente dos limites e concluir.
- Pelo passo anterior,