01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
\lim _{(x, y) \longrightarrow\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)} \frac{\cos y+1}{y-\sin x}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá a função racional de duas variáveis (x,y) \mapsto \dfrac{\cos y+1}{y-\sin x}.
  • O ponto de interesse é \left(\dfrac{\pi}{2},0\right).
  • O que o enunciado pede: calcular o limite \lim_{(x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)} \frac{\cos y+1}{y-\sin x}.
  • Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
    • O numerador depende apenas de y: \cos y+1.
    • O denominador depende de x e y: y-\sin x.

Passo 2

Calcular o limite do numerador quando (x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right).
  • O numerador é \cos y+1. A função \cos é contínua em y, então o limite quando y\to0 é simplesmente o valor em 0.
  • Portanto, \lim_{(x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)} (\cos y+1) = \lim_{y\to 0} (\cos y+1) = \cos 0 + 1.
  • Como \cos 0 = 1, obtemos \lim_{(x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)} (\cos y+1) = 2.
Explicação didática rápida: continuidade significa que, se a variável se aproxima de um ponto, a imagem pela função aproxima-se do valor da função nesse ponto; por isso basta avaliar em y=0.

Passo 3

Calcular o limite do denominador quando (x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right).
  • O denominador é y-\sin x. Tanto a função identidade y\mapsto y quanto \sin x são contínuas, logo a combinação y-\sin x é contínua.
  • Assim \lim_{(x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)} (y-\sin x) = 0 - \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right).
  • Como \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, temos \lim_{(x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)} (y-\sin x) = -1.
Comentário didático: é importante verificar se o limite do denominador é zero ou não, porque se fosse zero teríamos de analisar com mais cuidado (possível indeterminação ou dependência de caminho). Aqui não é o caso.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente de limites (quando válida).
  • Teorema usado: se \lim f = L e \lim g = M com M\neq 0, então \lim (f/g) = L/M.
  • No nosso caso encontramos L=2 e M=-1 com M\neq 0, logo podemos aplicar a regra do quociente.

Passo 5

Calcular o quociente dos limites e concluir.
  • Pelo passo anterior, \lim_{(x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)} \frac{\cos y+1}{y-\sin x} = \frac{2}{-1} = -2.

Resposta

-2

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