01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada por
. - O ponto de interesse é
. - Deve-se verificar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
O que significa existir limite em duas variáveis (explicação didática): dizer que
significa que, ao aproximar
de
por qualquer caminho (reta, curva, sequência, etc.), os valores de
devem aproximar-se sempre do mesmo número
. Uma maneira prática de provar que um limite NÃO existe é encontrar dois caminhos diferentes que tendem a
e que dão limites distintos. Se dois caminhos fornecem valores diferentes, então não existe um único
que funcione para todos os caminhos, logo o limite não existe.
Passo 3
Teste pelo caminho
(reta horizontal). Substituindo
na expressão:
Ao fazermos
mantendo
, a função fica constantemente
. Portanto o limite ao longo de
é
Passo 4
Teste pelo caminho
(reta vertical). Substituindo
:
Ao fazermos
mantendo
, a função vale constantemente
. Portanto o limite ao longo de
é
Passo 5
Interpretação dos resultados dos Passos 3 e 4: pelo Passo 3 obtemos
ao aproximar pelo eixo
, e pelo Passo 4 obtemos
ao aproximar pelo eixo
. Como
, há pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes. Logo, pelo princípio explicado no Passo 2, o limite em
não pode existir.
Passo 6
Complemento didático (opcional, útil na prova): analisar por retas gerais
. Substituindo
com
constante e
:
Esse valor depende de
. Por exemplo
dá
,
dá
,
(reta
) corresponde a
. Como o limite depende do parâmetro
do caminho, fica claro que não existe um valor único para o limite em
.
Passo 7
Outra visão (curta) usando coordenadas polares: escrevendo
,
,
Ao fazer
(ou seja
) o valor da função tende para
, que depende de
. Portanto, como depende do ângulo de aproximação, o limite não é único e não existe.
Resposta
O limite não existe.