01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
\lim _{(x, y) \longrightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando (x,y) tende a (0,0) da função
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Deve-se verificar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

O que significa existir limite em duas variáveis (explicação didática): dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer caminho (reta, curva, sequência, etc.), os valores de f(x,y) devem aproximar-se sempre do mesmo número L. Uma maneira prática de provar que um limite NÃO existe é encontrar dois caminhos diferentes que tendem a (0,0) e que dão limites distintos. Se dois caminhos fornecem valores diferentes, então não existe um único L que funcione para todos os caminhos, logo o limite não existe.

Passo 3

Teste pelo caminho y=0 (reta horizontal). Substituindo y=0 na expressão:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1\quad\text{para }x\neq0.
Ao fazermos x\to0 mantendo y=0, a função fica constantemente 1. Portanto o limite ao longo de y=0 é
\lim_{(x,0)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1.

Passo 4

Teste pelo caminho x=0 (reta vertical). Substituindo x=0:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{0-y^{2}}{0+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1\quad\text{para }y\neq0.
Ao fazermos y\to0 mantendo x=0, a função vale constantemente -1. Portanto o limite ao longo de x=0 é
\lim_{(0,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=-1.

Passo 5

Interpretação dos resultados dos Passos 3 e 4: pelo Passo 3 obtemos 1 ao aproximar pelo eixo x, e pelo Passo 4 obtemos -1 ao aproximar pelo eixo y. Como 1\neq-1, há pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes. Logo, pelo princípio explicado no Passo 2, o limite em (0,0) não pode existir.

Passo 6

Complemento didático (opcional, útil na prova): analisar por retas gerais y=kx. Substituindo y=kx com k constante e x\neq0:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}-k^{2}x^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}.
Esse valor depende de k. Por exemplo k=0 1, k=1 0, k\to\infty (reta x=0) corresponde a -1. Como o limite depende do parâmetro k do caminho, fica claro que não existe um valor único para o limite em (0,0).

Passo 7

Outra visão (curta) usando coordenadas polares: escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta,
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\cos^{2}\theta-r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}=\frac{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}{1}=\cos(2\theta).
Ao fazer r\to0 (ou seja (x,y)\to(0,0)) o valor da função tende para \cos(2\theta), que depende de \theta. Portanto, como depende do ângulo de aproximação, o limite não é único e não existe.

Resposta

O limite não existe.

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