01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas:
- A função em questão é
. - O ponto ao qual
se aproxima é .
O que é pedido: - Determinar o valor do limite, caso exista.
Passo 2
Vou lembrar uma regra útil (bem prática para a prova): se duas funções têm limites quando
e o limite do denominador é diferente de zero, então o limite do quociente é o quociente dos limites. Em fórmula:
então
Também uso que polinômios e combinações (soma, produto, potência) de funções contínuas são contínuas; em particular as funções
e
são contínuas, portanto seus limites são obtidos pela substituição do ponto de interesse.
Passo 3
Calcular o limite do numerador separadamente. Como a função
é contínua,
Explicando de forma bem direta: quando
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 4
Calcular o limite do denominador separadamente. Como
é contínua,
Aqui usei que
.
Passo 5
Verifico a condição para aplicar a regra do quociente: o limite do denominador é
, que é diferente de zero. Logo posso aplicar a regra e obter
Passo 6
Interpretação prática / dica para a prova: essa função é um quociente de polinômios e o denominador no ponto
não anula (vale
), então a função é contínua naquele ponto. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar do ponto é simplesmente o valor da função no ponto, que aqui é
. Caso o denominador fosse zero no ponto, teríamos que usar outros métodos (caminhos diferentes, mudança de coordenadas, desigualdades, etc.).