01-Calcule os limites a seguir, caso existam:
\lim _{(x, y) \longrightarrow(1,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função em questão é \displaystyle \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto ao qual (x,y) se aproxima é (1,0).
    O que é pedido:
  • Determinar o valor do limite, caso exista.

Passo 2

Vou lembrar uma regra útil (bem prática para a prova): se duas funções têm limites quando (x,y)\to(1,0) e o limite do denominador é diferente de zero, então o limite do quociente é o quociente dos limites. Em fórmula:
\text{se }\lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y)=L_f,\quad \lim_{(x,y)\to(1,0)} g(x,y)=L_g\quad\text{e}\quad L_g\neq0,
então
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{L_f}{L_g}.
Também uso que polinômios e combinações (soma, produto, potência) de funções contínuas são contínuas; em particular as funções x\mapsto x^2 e (x,y)\mapsto x^2+y^2 são contínuas, portanto seus limites são obtidos pela substituição do ponto de interesse.

Passo 3

Calcular o limite do numerador separadamente. Como a função x\mapsto x^{2} é contínua,
\lim_{(x,y)\to(1,0)} x^{2} = 1^{2} = 1.
Explicando de forma bem direta: quando x se aproxima de 1, x^2 se aproxima de 1.

Passo 4

Calcular o limite do denominador separadamente. Como (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua,
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) = \lim_{(x,y)\to(1,0)} x^{2} + \lim_{(x,y)\to(1,0)} y^{2} = 1 + 0 = 1.
Aqui usei que \lim_{(x,y)\to(1,0)} y^{2}=0^{2}=0.

Passo 5

Verifico a condição para aplicar a regra do quociente: o limite do denominador é 1, que é diferente de zero. Logo posso aplicar a regra e obter
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{\lim_{(x,y)\to(1,0)} x^{2}}{\lim_{(x,y)\to(1,0)} (x^{2}+y^{2})} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 6

Interpretação prática / dica para a prova: essa função é um quociente de polinômios e o denominador no ponto (1,0) não anula (vale 1), então a função é contínua naquele ponto. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar do ponto é simplesmente o valor da função no ponto, que aqui é \dfrac{1^{2}}{1^{2}+0^{2}}=1. Caso o denominador fosse zero no ponto, teríamos que usar outros métodos (caminhos diferentes, mudança de coordenadas, desigualdades, etc.).

Resposta

\;1

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