- Considere uma onda eletromagnética plana que se propaga num cristal de Ge dada pelas expressões
.
(b) Represente graficamente a propagação desta onda EM nos eixos x-y-z.
Passo 1
O enunciado dá a expressão da onda elétrica no cristal de Ge e pede que se represente graficamente a propagação nos eixos
-
-
. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
-
. -
-
.
O que se pede em (b): um desenho / esquema que mostre a propagação dessa onda eletromagnética no espaço tridimensional (eixos
), isto é:
- direção de propagação,
- orientação do campo elétrico
, - orientação do campo magnético
, - como desenhar as frentes de onda, amplitude e comprimento de onda.
Passo 2
Interpretação física e parâmetros úteis (aqui explico passo a passo as quantidades que ajudam a desenhar a onda).
-
Forma geral: a função dada tem
só na componente . Isso significa que a onda é linearmente polarizada ao longo do eixo ; portanto, oscila somente na direção em cada ponto do espaço. -
Direção de propagação: o argumento da cosseno é
. A dependência em (com ) indica que a onda se propaga no sentido positivo de (ou seja, para ). Regra: se aparece , a onda desloca-se em . -
Frequência angular
e frequência :
- Velocidade de fase
:
Tomando
,
- Comprimento de onda
e período :
- Amplitude do campo elétrico:
. Se quiser em ,
Esses parâmetros (
) são úteis para marcar no desenho a escala espacial (comprimento de onda) e a escala de amplitude.
Passo 3
Determinar a direção e o valor do campo magnético
para complementar o desenho (teoria básica):
- Em uma onda eletromagnética plana e não magnética,
e o vetor de propagação são mutuamente perpendiculares e obedecem à regra do produto vetorial:
e
aponta na direção de propagação
. Assim,
é dado por
onde
é o versor de propagação.
- Aqui
e está ao longo de . Então
Logo
está orientado ao longo de
(mesmo sinal de fase que
).
- Amplitude de
(em SI) aproximadamente:
Usando
e
,
Observação didática:
e
estão em fase (mesma função
do argumento), portanto em um dado ponto
ambos alcançam máximo e zero ao mesmo tempo. No desenho, setas
e
variam simultaneamente.
Passo 4
Como desenhar graficamente a onda em
-
-
— instruções passo a passo para o esboço (o que realmente vai na figura):
-
Configure os eixos: desenhe um eixo horizontal para
(propagação), um eixo vertical para e o eixo saindo da página (ou para dentro da página), de forma a representar um sistema 3D com à direita, para cima e saindo de/entrando na página. -
Representação do campo elétrico
:
- Em cada posição
desenhe, perpendicular ao eixo , um pequeno vetor apontando ao longo do eixo : para máximos positivos do coseno a seta aponta para , para mínimos aponta para , e para zeros não há seta. - Se preferir mostrar a onda como uma curva contínua, desenhe sobre o plano
- uma senoide/cossenoide ao longo de cujo valor vertical é . Essa curva é apenas uma representação do módulo de ao longo de em função de — lembrar de anotar que a verdadeira grandeza é um vetor vertical em cada , não uma linha contínua de carga.
- Representação do campo magnético
:
- Para cada posição
desenhe um pequeno vetor paralelo ao eixo (para fora ou para dentro da página). No caso desta onda, como vimos, aponta para quando é positivo em . - Escale o comprimento dos vetores
de forma consistente com (mas habitualmente, por clareza, usa-se um fator de escala para que os vetores sejam visíveis).
-
Relação de fase: marque na legenda que
e estão em fase (mesmo argumento do cosseno). Desenhe e atingindo máximos nos mesmos pontos de para um mesmo instante . -
Frentes de onda: desenhe planos perpendiculares ao eixo
(ou linhas de posição constante de fase) e marque a distância entre frentes consecutivas como . -
Indicação de direção de energia: desenhe uma seta ao longo de
e rotule-a como vetor de Poynting ou direção de propagação. -
Anotações numéricas úteis no esquema:
-
(ou ). -
. -
. -
. -
.
Passo 5
Exemplos de dois “snapshots” no tempo (para desenhar duas curvas que mostram o avanço da onda):
-
Snapshot em
: a expressão do argumento vira (com ). Avalie alguns pontos para marcar no esboço: em , (logo em a seta é nula neste instante). A partir daí, ao longo de a cossenoide desloca-se mostrando máximos e mínimos separados por . -
Snapshot em
: após a fase temporal aumenta em (ou seja, uma defasagem de rad), equivalente a deslocar a curva ao longo de numa distância . Assim, ao comparar os dois snapshots fica óbvio o movimento da onda na direção .
Esses dois snapshots facilitam o desenho: trace a senoide no plano
-
para
e depois desenhe a mesma senoide deslocada para a direita por
para
, mostrando o avanço.
Passo 6
Observações finais úteis para a figura (dicas práticas para a prova):
- Desenhe vetores
e em poucos pontos ao longo de (por exemplo 5 a 7 pontos) e ligue-os com uma linha senoidal apenas para visualização; sempre indique legenda que a linha senoidal representa a amplitude de projetada no eixo . - Marque claramente a direção de propagação
, e rotule os eixos. - Como
é muito pequeno (150 nm), na escala do papel faça uma indicação qualitativa e escreva o valor numérico na legenda (não é preciso desenhar na escala verdadeira). - Anote a polarização: "linear ao longo de
" e o fato de estar em com e em fase.
Resposta
Onda plana propagando-se em
; campo elétrico linearmente polarizado ao longo de
com amplitude
; campo magnético paralelo a
com amplitude
; velocidade
; comprimento de onda
. Desenhar: eixo
horizontal (direção de propagação), vetores
verticais (em
) cuja magnitude varia como
, vetores
ao longo de
em fase com
, frentes de onda perpendiculares a
, e indicar
,
,
e direção de
em
.