01(5,0) - Considere uma onda eletromagnética plana que se propaga num cristal de Ge dada pelas expressões \mathrm{E}_{\mathrm{x}}=0, \mathrm{E}_{\mathrm{y}}=\pi^{2} \cdot \cos \left[\pi \cdot(\mathrm{t}-\mathrm{x} / 0,25 \mathrm{c}) \cdot 10^{15}+3 \pi / 2\right] \mathrm{V} / \mathrm{cm}, \mathrm{E}_{\mathrm{z}}=0.
(b) Represente graficamente a propagação desta onda EM nos eixos x-y-z.

Passo 1

O enunciado dá a expressão da onda elétrica no cristal de Ge e pede que se represente graficamente a propagação nos eixos x- y- z. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
  • \mathrm{E}_x=0.
  • \mathrm{E}_y=\pi^{2}\cdot\cos\!\bigl[\pi\cdot\bigl(t-\dfrac{x}{0,25c}\bigr)\cdot10^{15}+\tfrac{3\pi}{2}\bigr]\\ \mathrm{V/cm}.
  • \mathrm{E}_z=0.
O que se pede em (b): um desenho / esquema que mostre a propagação dessa onda eletromagnética no espaço tridimensional (eixos x,y,z), isto é:
  • direção de propagação,
  • orientação do campo elétrico \mathbf{E},
  • orientação do campo magnético \mathbf{B},
  • como desenhar as frentes de onda, amplitude e comprimento de onda.

Passo 2

Interpretação física e parâmetros úteis (aqui explico passo a passo as quantidades que ajudam a desenhar a onda).
  1. Forma geral: a função dada tem \mathbf{E} só na componente y. Isso significa que a onda é linearmente polarizada ao longo do eixo y; portanto, \mathbf{E} oscila somente na direção y em cada ponto do espaço.
  2. Direção de propagação: o argumento da cosseno é \pi\bigl(t-\dfrac{x}{0,25c}\bigr)\cdot10^{15}+\tfrac{3\pi}{2}. A dependência em t-\dfrac{x}{v} (com v=0,25c) indica que a onda se propaga no sentido positivo de x (ou seja, para +x). Regra: se aparece t - x/v, a onda desloca-se em +x.
  3. Frequência angular \omega e frequência f:
\omega=\text{coeficiente de }t=\pi\cdot10^{15}\quad(\text{rad/s}).
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{\pi\cdot10^{15}}{2\pi}=0{,}5\cdot10^{15}=5\cdot10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  1. Velocidade de fase v:
v=0{,}25\,c.
Tomando c=3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s},
v=0{,}25\cdot3\cdot10^{8}=7{,}5\cdot10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Comprimento de onda \lambda e período T:
\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{7{,}5\cdot10^{7}}{5\cdot10^{14}}=1{,}5\cdot10^{-7}\\ \mathrm{m}=150\\ \mathrm{nm}.
T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{5\cdot10^{14}}=2\cdot10^{-15}\\ \mathrm{s}.
  1. Amplitude do campo elétrico: E_0=\pi^{2}\\ \mathrm{V/cm}. Se quiser em \mathrm{V/m},
E_0=\pi^{2}\cdot100\\ \mathrm{V/m}\approx9{,}87\cdot10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
Esses parâmetros ( \lambda, T, E_0, v) são úteis para marcar no desenho a escala espacial (comprimento de onda) e a escala de amplitude.

Passo 3

Determinar a direção e o valor do campo magnético \mathbf{B} para complementar o desenho (teoria básica):
  • Em uma onda eletromagnética plana e não magnética, \mathbf{E},\mathbf{B} e o vetor de propagação \mathbf{k} são mutuamente perpendiculares e obedecem à regra do produto vetorial:
\mathbf{E}\times\mathbf{B} \propto \mathbf{S}\\ (\text{vetor de Poynting}),
e \mathbf{S} aponta na direção de propagação \mathbf{k}. Assim, \mathbf{B} é dado por
\mathbf{B}=\dfrac{1}{v}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E},
onde \hat{\mathbf{k}} é o versor de propagação.
  • Aqui \hat{\mathbf{k}}=+\hat{\mathbf{x}} e \mathbf{E} está ao longo de \hat{\mathbf{y}}. Então
\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}.
Logo \mathbf{B} está orientado ao longo de +\hat{\mathbf{z}} (mesmo sinal de fase que \mathbf{E}).
  • Amplitude de \mathbf{B} (em SI) aproximadamente:
B_0=\dfrac{E_0}{v}.
Usando E_0\approx9{,}87\cdot10^{2}\\ \mathrm{V/m} e v=7{,}5\cdot10^{7}\\ \mathrm{m/s},
B_0\approx\dfrac{9{,}87\cdot10^{2}}{7{,}5\cdot10^{7}}\approx1{,}32\cdot10^{-5}\\ \mathrm{T}\approx13{,}2\\ \mu\mathrm{T}.
Observação didática: \mathbf{E} e \mathbf{B} estão em fase (mesma função \cos do argumento), portanto em um dado ponto x ambos alcançam máximo e zero ao mesmo tempo. No desenho, setas \mathbf{E} e \mathbf{B} variam simultaneamente.

Passo 4

Como desenhar graficamente a onda em x- y- z — instruções passo a passo para o esboço (o que realmente vai na figura):
  1. Configure os eixos: desenhe um eixo horizontal para x (propagação), um eixo vertical para y e o eixo z saindo da página (ou para dentro da página), de forma a representar um sistema 3D com x à direita, y para cima e z saindo de/entrando na página.
  2. Representação do campo elétrico \mathbf{E}(x,t):
  • Em cada posição x desenhe, perpendicular ao eixo x, um pequeno vetor apontando ao longo do eixo y: para máximos positivos do coseno a seta aponta para +y, para mínimos aponta para -y, e para zeros não há seta.
  • Se preferir mostrar a onda como uma curva contínua, desenhe sobre o plano x- y uma senoide/cossenoide ao longo de x cujo valor vertical é E_y(x,t). Essa curva é apenas uma representação do módulo de \mathbf{E} ao longo de y em função de x — lembrar de anotar que a verdadeira grandeza é um vetor vertical em cada x, não uma linha contínua de carga.
  1. Representação do campo magnético \mathbf{B}(x,t):
  • Para cada posição x desenhe um pequeno vetor paralelo ao eixo z (para fora ou para dentro da página). No caso desta onda, como vimos, \mathbf{B} aponta para +z quando \mathbf{E} é positivo em y.
  • Escale o comprimento dos vetores \mathbf{B} de forma consistente com B_0 (mas habitualmente, por clareza, usa-se um fator de escala para que os vetores \mathbf{B} sejam visíveis).
  1. Relação de fase: marque na legenda que \mathbf{E} e \mathbf{B} estão em fase (mesmo argumento do cosseno). Desenhe \mathbf{E} e \mathbf{B} atingindo máximos nos mesmos pontos de x para um mesmo instante t.
  2. Frentes de onda: desenhe planos perpendiculares ao eixo x (ou linhas de posição constante de fase) e marque a distância entre frentes consecutivas como \lambda=150\\ \mathrm{nm}.
  3. Indicação de direção de energia: desenhe uma seta ao longo de +x e rotule-a como vetor de Poynting \mathbf{S} ou direção de propagação.
  4. Anotações numéricas úteis no esquema:
  • E_0=\pi^{2}\\ \mathrm{V/cm} (ou \approx9{,}87\cdot10^{2}\\ \mathrm{V/m} ).
  • v=0{,}25c.
  • \lambda=150\\ \mathrm{nm}.
  • T=2\cdot10^{-15}\\ \mathrm{s}.
  • B_0\approx1{,}3\cdot10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Exemplos de dois “snapshots” no tempo (para desenhar duas curvas que mostram o avanço da onda):
  • Snapshot em t=0: a expressão do argumento vira \varphi(x,0)=-k x+\tfrac{3\pi}{2} (com k=\dfrac{2\pi}{\lambda}). Avalie alguns pontos para marcar no esboço: em x=0, \mathrm{E}_y=E_0\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0 (logo em x=0 a seta \mathbf{E} é nula neste instante). A partir daí, ao longo de x a cossenoide desloca-se mostrando máximos e mínimos separados por \lambda.
  • Snapshot em t=T/4: após T/4 a fase temporal aumenta em \omega T/4 = \tfrac{\pi\cdot10^{15}}{ } \cdot \tfrac{1}{4f} = \tfrac{\pi}{2} (ou seja, uma defasagem de \tfrac{\pi}{2} rad), equivalente a deslocar a curva ao longo de x numa distância \Delta x = v\cdot T/4=\lambda/4. Assim, ao comparar os dois snapshots fica óbvio o movimento da onda na direção +x.
Esses dois snapshots facilitam o desenho: trace a senoide no plano x- y para t=0 e depois desenhe a mesma senoide deslocada para a direita por \lambda/4 para t=T/4, mostrando o avanço.

Passo 6

Observações finais úteis para a figura (dicas práticas para a prova):
  • Desenhe vetores \mathbf{E} e \mathbf{B} em poucos pontos ao longo de x (por exemplo 5 a 7 pontos) e ligue-os com uma linha senoidal apenas para visualização; sempre indique legenda que a linha senoidal representa a amplitude de \mathbf{E} projetada no eixo y.
  • Marque claramente a direção de propagação +x, e rotule os eixos.
  • Como \lambda é muito pequeno (150 nm), na escala do papel faça uma indicação qualitativa e escreva o valor numérico na legenda (não é preciso desenhar \lambda na escala verdadeira).
  • Anote a polarização: "linear ao longo de y" e o fato de \mathbf{B} estar em +z com \mathbf{E} e \mathbf{B} em fase.

Resposta

Onda plana propagando-se em +x; campo elétrico linearmente polarizado ao longo de y com amplitude E_0=\pi^{2}\\ \mathrm{V/cm}; campo magnético paralelo a +z com amplitude B_0\approx E_0/v\approx1{,}3\cdot10^{-5}\\ \mathrm{T}; velocidade v=0{,}25c; comprimento de onda \lambda=150\\ \mathrm{nm}. Desenhar: eixo x horizontal (direção de propagação), vetores \mathbf{E} verticais (em y) cuja magnitude varia como \pi^{2}\cos[\pi(t-x/(0,25c))\cdot10^{15}+3\pi/2], vetores \mathbf{B} ao longo de z em fase com \mathbf{E}, frentes de onda perpendiculares a x, e indicar \lambda, E_0, v e direção de \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B} em +x.

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