3.33** Iniciando pelo somatório (3.31) e substituindo-o pela integral apropriada, determine o momento de inércia de uma chapa quadrada fina de lado
, girando em torno de um eixo perpendicular à chapa e passando pelo seu centro.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá a expressão discreta do momento de inércia
onde
é a distância do elemento de massa
ao eixo de rotação.
- A figura geométrica é uma chapa fina quadrada de lado
. O eixo de rotação é perpendicular à chapa e passa pelo centro do quadrado. - O que se pede: determinar o momento de inércia total
da chapa (assumindo que a chapa é homogênea, isto é, de massa superficial uniforme). Como o enunciado não forneceu a massa total, vamos chamar a massa total da chapa de e expressar em função de e de .
Passo 2
Explicar a passagem do somatório para a integral e definir a densidade superficial de massa.
- Ideia física: quando os elementos
ficam muito pequenos e numerosos, o somatório vira uma integral de área. Cada corresponde a uma pequena área com massa , onde é a densidade superficial de massa (massa por unidade de área). - Definir
. A área total do quadrado é . Se a massa total é , então
- Coordenadas: coloque o centro do quadrado na origem do plano
. Assim o quadrado ocupa e . - A distância ao eixo perpendicular pelo centro é
. O elemento de massa é . - Substituindo o somatório pela integral de superfície, a expressão contínua do momento de inércia fica
Passo 3
Montar a integral dupla explicitamente e usar simetria para simplificar.
- Escrevendo os limites do quadrado:
- Separar a integral em duas:
- Observação de simetria: pela simetria do domínio, as duas integrais são iguais. Portanto
Passo 4
Calcular a integral passo a passo (sem pular etapas).
- Primeiro calcule a integral em
:
- Agora integre em
(é só multiplicar pelo comprimento em , que é ):
- Substituindo na expressão para
:
Passo 5
Substituir a densidade superficial
em termos de
e simplificar para obter a resposta final.
- Lembrando que
, substituímos:
- Uma forma alternativa de escrever o resultado usa o lado do quadrado
. Substituindo dá
o que coincide com a fórmula conhecida
para um retângulo com lados iguais.