3.33** Iniciando pelo somatório (3.31) e substituindo-o pela integral apropriada, determine o momento de inércia de uma chapa quadrada fina de lado 2 b, girando em torno de um eixo perpendicular à chapa e passando pelo seu centro.
I=\sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha} \rho_{\alpha}^{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá a expressão discreta do momento de inércia
I=\sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha} \rho_{\alpha}^{2},
onde \rho_{\alpha} é a distância do elemento de massa m_{\alpha} ao eixo de rotação.
  • A figura geométrica é uma chapa fina quadrada de lado 2b. O eixo de rotação é perpendicular à chapa e passa pelo centro do quadrado.
  • O que se pede: determinar o momento de inércia total I da chapa (assumindo que a chapa é homogênea, isto é, de massa superficial uniforme). Como o enunciado não forneceu a massa total, vamos chamar a massa total da chapa de M e expressar I em função de M e de b.

Passo 2

Explicar a passagem do somatório para a integral e definir a densidade superficial de massa.
  • Ideia física: quando os elementos m_{\alpha} ficam muito pequenos e numerosos, o somatório vira uma integral de área. Cada m_{\alpha} corresponde a uma pequena área dA com massa dm=\sigma\,dA, onde \sigma é a densidade superficial de massa (massa por unidade de área).
  • Definir \sigma. A área total do quadrado é (2b)\times(2b)=4b^{2}. Se a massa total é M, então
\sigma=\frac{M}{4b^{2}}.
  • Coordenadas: coloque o centro do quadrado na origem do plano (x,y). Assim o quadrado ocupa -b\le x\le b e -b\le y\le b.
  • A distância ao eixo perpendicular pelo centro é \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. O elemento de massa é dm=\sigma\,dA=\sigma\,dx\,dy.
  • Substituindo o somatório pela integral de superfície, a expressão contínua do momento de inércia fica
I=\iint_{\text{chapa}} \rho^{2}\,dm =\iint_{\text{chapa}} (x^{2}+y^{2})\,\sigma\,dx\,dy.

Passo 3

Montar a integral dupla explicitamente e usar simetria para simplificar.
  • Escrevendo os limites do quadrado:
I=\sigma\int_{-b}^{b}\int_{-b}^{b} (x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
  • Separar a integral em duas:
I=\sigma\left(\int_{-b}^{b}\int_{-b}^{b} x^{2}\,dx\,dy+\int_{-b}^{b}\int_{-b}^{b} y^{2}\,dx\,dy\right).
  • Observação de simetria: pela simetria do domínio, as duas integrais são iguais. Portanto
I=2\sigma\int_{-b}^{b}\int_{-b}^{b} x^{2}\,dx\,dy.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro calcule a integral em x:
\int_{-b}^{b} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{b} x^{2}\,dx =2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{b} =2\cdot\frac{b^{3}}{3}=\frac{2b^{3}}{3}.
  • Agora integre em y (é só multiplicar pelo comprimento em y, que é 2b):
\int_{-b}^{b}\left(\int_{-b}^{b} x^{2}\,dx\right)dy =\left(\frac{2b^{3}}{3}\right)\cdot(2b)=\frac{4b^{4}}{3}.
  • Substituindo na expressão para I:
I=2\sigma\cdot\frac{4b^{4}}{3}=\frac{8\sigma b^{4}}{3}.

Passo 5

Substituir a densidade superficial \sigma em termos de M e simplificar para obter a resposta final.
  • Lembrando que \sigma=\dfrac{M}{4b^{2}}, substituímos:
I=\frac{8}{3}\left(\frac{M}{4b^{2}}\right)b^{4} =\frac{8M b^{4}}{3\cdot 4 b^{2}} =\frac{2M b^{2}}{3}.
  • Uma forma alternativa de escrever o resultado usa o lado do quadrado a=2b. Substituindo b=\tfrac{a}{2}
I=\frac{2M}{3}\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{1}{6}M a^{2},
o que coincide com a fórmula conhecida I=\dfrac{1}{12}M(a^{2}+a^{2}) para um retângulo com lados iguais.

Resposta

I=\frac{2}{3}\,M\,b^{2}

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