01 A degradação de um determinado fármaco em solução aquosa segue cinética de primeira ordem. Em um ensaio a 300 K , verificou-se que sua meia-vida é igual a 120 min . Ao repetir o experimento a 330 K , mantendo-se todas as demais condições constantes, observou-se que a constante de velocidade aumentou por um fator igual a 8 .
Considere que a equação de Arrhenius seja aplicável, que o fator pré-exponencial não varie com a temperatura e que \ln 2=0,693.
Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, a energia de ativação da degradação e o tempo necessário, a 330 K , para que reste apenas 12,5 \% da quantidade inicial do fármaco.
A() 46 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} e 45 min
B() 52 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} e 45 min
C() 52 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} e 30 min
D() 57 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} e 45 min
E() 57 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} e 30 min

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • A degradação segue cinética de primeira ordem.
  • À temperatura T_1=300\\ \mathrm{K} a meia-vida é t_{1/2,1}=120\\ \mathrm{min}.
  • À temperatura T_2=330\\ \mathrm{K} a constante de velocidade aumentou por um fator 8, isto é, k_2=8\,k_1.
  • Admitir a equação de Arrhenius com o fator pré-exponencial constante (independente da temperatura).
  • Valor dado: \ln 2=0,693.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a energia de ativação da degradação, E_a (em \mathrm{kJ\;mol^{-1}}).
  • Determinar o tempo necessário, à temperatura T_2=330\\ \mathrm{K}, para que reste apenas 12{,}5\% da quantidade inicial do fármaco (ou seja, para que N/N_0=0{,}125).

Passo 2

Lembrando a equação de Arrhenius e sua manipulação para razão de constantes:
  • A equação de Arrhenius é \displaystyle k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right), onde:
    • k é a constante de velocidade,
    • A é o fator pré-exponencial,
    • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\\ mol^{-1}}),
    • R é a constante dos gases \left(R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}\right),
    • T é a temperatura em kelvin.
  • Se A é constante entre as duas temperaturas, ao dividir as equações para k_2 e k_1 vem:
\frac{k_2}{k_1}=\exp\!\left(-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right).
  • Aplicando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
  • É mais prático escrever como
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).

Passo 3

Usar os números dados para calcular E_a.
  • Sabendo que \dfrac{k_2}{k_1}=8 e \ln 8=\ln(2^3)=3\ln 2=3\cdot 0{,}693=2{,}079.
  • Calcular a diferença de recíprocos de temperatura:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{300}-\frac{1}{330}=\frac{330-300}{300\cdot 330}=\frac{30}{99\,000}=\frac{1}{3\,300}\approx 0{,}00030303\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Substituindo na expressão para E_a:
E_a = R\cdot \frac{\ln(k_2/k_1)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.
  • Numericamente:
E_a = 8{,}314\cdot\frac{2{,}079}{0{,}00030303}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Calculemos passo a passo:
    • Produto no numerador: 8{,}314\cdot 2{,}079 \approx 17{,}285.
    • Dividindo por 0{,}00030303: E_a \approx \dfrac{17{,}285}{0{,}00030303}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}\approx 57\,050\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Convertendo para \mathrm{kJ\;mol^{-1}} e arredondando sensatamente:
E_a \approx 57{,}0\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.

Passo 4

Agora vamos calcular o tempo a T_2 para que reste 12{,}5\% do inicial, usando a cinética de primeira ordem.
  • Para reação de primeira ordem, a lei é \displaystyle N(t)=N_0\exp(-k t), então a fração remanescente é \dfrac{N}{N_0}=e^{-k t}.
  • Para meia-vida em primeira ordem vale \displaystyle t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}. Assim podemos obter k_1 a T_1:
k_1=\frac{\ln 2}{t_{1/2,1}}=\frac{0{,}693}{120\\ \mathrm{min}}=0{,}005775\\ \mathrm{min^{-1}}.
  • Como k_2=8\,k_1:
k_2=8\cdot 0{,}005775\\ \mathrm{min^{-1}}=0{,}04620\\ \mathrm{min^{-1}}.

Passo 5

Calcular o tempo t tal que \dfrac{N}{N_0}=0{,}125.
  • Tomando logaritmo da relação 0{,}125=e^{-k_2 t}:
\ln(0{,}125)=-k_2 t.
  • Note que 0{,}125=\dfrac{1}{8}, então \ln(0{,}125)=\ln(1/8)=-\ln 8=-2{,}079.
  • Portanto
t=\frac{\ln 8}{k_2}=\frac{2{,}079}{0{,}04620}\\ \mathrm{min}.
  • Fazendo a divisão:
t\approx 44{,}97\\ \mathrm{min}\approx 45\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Resumo dos resultados obtidos (sem a alternativa escrita): a energia de ativação calculada é cerca de 57{,}0\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}} e o tempo requerido a 330\\ \mathrm{K} para restar 12{,}5\% é aproximadamente 45\\ \mathrm{min}.

Resposta

D

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